資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
模型48 “一線三等角”模型
基礎(chǔ)模型
結(jié)論分析
結(jié)論:異側(cè)一線三等角:△CAP∽△PBD
結(jié)論:同側(cè)一線三等角:△CAP∽△PBD
自主證明：
證明:∵ ∠CPB 是△ACP 的外角,∴∠CPB =∠1+∠C,
即∠2+∠BPD=∠1+∠C,
又∵∠1=∠2,
∴∠BPD=∠C.
模型拓展
拓展方向：由一線三垂直的一般情況到特殊情況
圖示
條件 ∠1=∠2=∠3=90°
結(jié)論 △ACP∽△BED
模型解題三步法
例1 如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D 是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將直線AD繞點(diǎn)D
∠B=∠C=60° ∠ADE=60°
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與AB 邊交于點(diǎn) E，若 則△ABC的周長(zhǎng)為( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
例2如圖,在 ABCD中,AB=3,BC=4,∠B=60°,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)E作EF⊥DE,交 BC邊于點(diǎn) F,且∠EFD=60°,則AE的長(zhǎng)為 .
題以類解
1.如圖,將矩形 ABCD 沿 CE 折疊,點(diǎn) B 落在AD邊上的點(diǎn) F 處.若AE=4,CD=9,則 DF的長(zhǎng)度為 ( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
2.如圖,△ABC 和△AED 均為等腰直角三角形,點(diǎn)D 在BC邊上,AB 與DE 交于點(diǎn) F,若 則BF 的長(zhǎng)為 ( )
B. 1 D. 4
3. 如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,AB=10,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),連接DE,CE,若∠A=∠B=∠DEC,則 的值為 ( )
A. B. C. D.
4. 如圖，點(diǎn)C 在以AB 為直徑的⊙O上,連接AC,分別過點(diǎn)A,C作⊙O 的切線交于點(diǎn) D,若AB=3,BC=1,則△ACD 的面積為 .
5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A.點(diǎn)B在x軸上，且OA=BA，反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn) C,且∠ABC=90°,則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 .
6.如圖，拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)、B,與y軸交于點(diǎn) C(0,-3).
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線y=x+3交拋物線于第一象限的點(diǎn)M，若N是拋物線 上一點(diǎn)，且∠MAN=∠OCB,求點(diǎn)N的坐標(biāo).
模型展現(xiàn)
自主證明：
∵∠1=∠C+∠APC,∠3=∠APC+∠BPD,∠1=∠3,
∴∠C=∠BPD,
∵∠1=∠2,∴∠CAP=∠PBD,
∴△CAP∽△PBD.
模型解題三步法
例1 B 【解析】∵△ABC 是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,∵ 直線 AD 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,與AB 邊交于點(diǎn) E,∴∠ADE=60°.根據(jù)同側(cè)銳角一線三等角模型可得：△BED∽ 即 ∴BC=3,∴△ABC的周長(zhǎng)為9.
例2 一題多解
解法一：如解圖①，根據(jù)同側(cè)一線三等角模型得： 四邊形 ABCD 是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD=3,∴∠DCG=∠B=∠G=60°,∴ △DCG 是等邊三角形,∴CG= G
解法二：如解圖②，根據(jù)同側(cè)一線三垂直模型得:△EMF∽△DNE,∵四邊形ABCD 為平行四邊形,∠B=60°,∴AD∥BC,AD=BC=4,∴ 設(shè)AE=x,則BM=AB-AE-EM=1-x,NE=AN+AE=2+x,在Rt△BMF 中, 解得
題以類解
1. C 【解析】找模型：一線：哪條線上有三個(gè)角：線段AD,三等角:哪三個(gè)角相等:∠A=∠EFC=∠D.抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)同側(cè)一線三垂直模型可得： 在Rt△AEF中,EF=BE=9-4=5,∴AF=
2. A 【解析】找模型：一線：哪條線上有三個(gè)角：線段BC，三等角：哪三個(gè)角相等： 抽離模型：如解圖，用模型：在 中， 根據(jù)同側(cè)銳角一線三等角模型可得： 即
3. D 【解析】∵∠A=∠B=∠DEC,∴△DAE∽△EBC(鈍角一線三等角模型)， AD=4,AB=10,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∴AE=BE=
【解析】如解圖，過點(diǎn) D 作AC 的垂線，交 AC 于 點(diǎn) E. 在 Rt △ABC 中, AC = ∵AD,CD 是圓O的切線,∴AD=CD(切線長(zhǎng)定理),在 Rt△ADE 和Rt△CDE 中, ∴ Rt△ADE≌Rt△CDE(HL),∴AE ∠CAB=90°,∠DAE+∠ADE=90°,∴∠CAB=∠ADE,又∵∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△BAC(異側(cè)一線三垂直相似模型)
【解析】如解圖,作AD⊥x軸于點(diǎn) D,CE⊥x軸于點(diǎn) E,設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ∴正比例函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A， 解得x=3(負(fù)值已舍去)，∴A(3, ).∵AO=AB,AD⊥x軸,∴OD=BD 軸,CE⊥x軸,∠ABC=90°,∴ △ADB∽△BEC(同側(cè)一線三垂直模型)， 解得 (舍去), 則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(2
6. 解:(1)將C(0,-3)代入拋物線解析式中得,c=-3,
將A(-3,0)代入拋物線解析式中得9-3b-3=0,∴b=2,
∴拋物線的解析式為：
(2)∵直線y=x+3交拋物線于第一象限的點(diǎn)M,
∴聯(lián)立 解得 或
∴M(2,5),直線y=x+3過點(diǎn)A,易得B(1,0),
在Rt△OBC中,
①如解圖，當(dāng)點(diǎn)N在AM下方時(shí)，過點(diǎn)A 作y軸的平行線，過點(diǎn) M作x軸的平行線，兩線交于點(diǎn) G,過M作 MQ⊥AM 交 AN 延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過點(diǎn) Q 作y軸的平行線交 GM 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∴∠AGM=∠MHQ=90°,
∴∠AMG+∠GAM=90°,
又∵AM⊥MQ,∴∠AMQ=90°,
∴∠AMG+∠HMQ=90°,
∴∠GAM=∠HMQ,∴△AGM∽△MHQ,
∵A(-3,0),M(2,5),∴AG=5,GM=5,
設(shè)直線AQ為：
代入點(diǎn)A，點(diǎn)Q，得
∴ 直線AQ為
聯(lián)立 化簡(jiǎn)得， 或x=-3(舍解得去),
當(dāng) 時(shí)，
②當(dāng)N在AM 上方時(shí),同理可得,N(3,12),
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為( 或(3,12).

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