資源簡介

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模型55 “布洛卡點”模型
基礎模型
圖示
點P是△ABC內部一點,連接AP,BP,CP,∠1=∠2=∠3
模型拓展
拓展方向：由一般三角形到特殊三角形.
類型 等腰三角形 直角三角形
圖示
條件 在△ABC中,AB=AC,點 P 為△ABC 內部一點,連接AP,BP,CP,∠1=∠2=∠3 在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,點 P 為△ABC內部一點,連接AP,BP,CP,∠1=∠2=∠3
結論 1. △ABP∽△BCP; 2. PB =PA·PC 1. △ABP∽△BCP; 2. ∠APC=90°; 3. tan∠ACP= 即CP=2AP; 4.若點 P到三角形的邊AB，BC，AC的距離分別是h ,h ,h ,則h =h ·h
模型解題三步法
例 如圖①,△ABC內有一點 P,滿足. ，那么點 P 被稱為△ABC 的“布洛卡點”.如圖②,在△DEF中, ,若點 Q 是△DEF的一個“布洛卡點”,DQ=1,則EQ 的長為 .
題以類解
1. 如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,P為△ABC 內部一點,且 ∠APB = ∠BPC=150°.
(1)求證:PA=3PC;
(2)若AB=10,求PA的長.
2. 如圖,點 P 在△ABC 內,且滿足∠APB =∠APC,∠APB+∠BAC=180°.
(1)求證:△PAB∽△PCA;
(2)若∠APB = 120°,∠ABC = 90°,求 的值；
(3)若∠BAC=45°,且△ABC 是等腰三角形,求 tan∠PBC 的值.
模型55 “布洛卡點”模型
模型解題三步法
例 2 【解析】在等腰直角△DEF中,∠EDF=90°,DE=DF,根據“布洛卡點”模型得△DQF
題以類解
1. (1)證明:如解圖,過點 C 作 CD⊥AB 于點D.
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,
∠ACB)=30°,
∵在 Rt△CDB中,∠CBD=30°,
∵∠CAP+∠3=30°,∠1+∠2=30°,
∠APB=∠BPC=150°,
∴∠3+∠2=∠PCB+∠1=30°,
即∠CAP=∠2=∠PCB,
∴ 點 P 是△ACB 的一個“布洛卡點”,
∴ △PAB∽△PBC(“布洛卡點”模型),
(2)解：如解圖，將線段 BP 繞點 B 順時針旋轉60°得到 BP',連接 PP',CP',則△BPP'為等邊三角形，
∴∠5=∠BPC-∠4=150°-60°=90°,
∵在 Rt△PP'C中,.
∴∠6=30°,
∴P'C=2PC,
∴在 Rt△BCP'中, 由(1)中 可得 在Rt△CP'B中, (負值已舍去)，
由(1)得 PA=3PC,
2. (1)證明:∵ ∠APB+∠BAC=180°,
即 +∠CAP,
∴∠ABP=∠CAP,
又∵∠APB=∠APC,
∴△PAB∽△PCA;
(2)解:如解圖①,
∵∠APB+∠BAC=180°,∠APB=120°,
∴∠BAC=60°,
在△ABC中,∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,
又∵△PAB∽△PCA,
即
(3)解:∵ ∠BAC = 45°,∠APB +∠BAC =180°,∠APB=∠APC,
∴∠APB=∠APC=135°.
∵△PCA∽△PAB,
①如解圖②，
當△ABC 是等腰三角形,且 AB = AC 時,
②如解圖③，
當△ABC 是等腰三角形,且 AB = BC 時,∠ACB=∠BAC=45°,∠ABC=90°,
③如解圖④，
當△ABC 是等腰三角形,且 AC = BC 時,∠ABC=∠BAC=45°,∠ACB=90°,
綜上所述,tan∠PBC的值為1或2或

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