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模型49 “射影定理”模型
基礎(chǔ)模型
圖示
條件 AD 是 Rt△ABC斜邊上的高(∠BAC=90°,AD⊥BC)
結(jié)論 1. △DBA∽△DAC AD =BD·CD; 2. △DBA∽△ABC AB =BD·BC; 3. △DAC∽△ABC AC =CD·BC
結(jié)論分析
結(jié)論1：
證明:在△ABD和△CAD中,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠C=90°,
∴∠BAD=∠C.
又∵∠ADB=∠CDA=90°,
即
結(jié)論2：
自主證明：
模型解題三步法
例1 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,若BD=1,AB=4,則BC的長為 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2 已知AB為⊙O 的直徑,C為⊙O上一點,CD⊥AB于點D,連接AC.若AB=直徑所對的圓周角為90°15,CD=6,則tan∠CAD的值為 .
題以類解
1. 如圖,在菱形ABCD 中,AB=8,對角線AC,BD交于點O,過點O 作OE⊥AB于點 E,若BE=2,則∠DAB的度數(shù)為( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
2.如圖，在矩形AB-CD中,點 E 是 BC 的中點,將△CDE 沿 DE折疊后得到△FDE,延長 DF 交邊 AB 于點G. 若 AD = 6, CD = 9,則 GF = ,cos∠AGD= .
3. 如圖,在△ABC 中,CD 是AB 邊上的高,且 .若CD=4,BD=6,則AD的長為 .
4. 如圖,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CE 是∠ACB的平分線,CD 為 AB 邊上的高,若AC=9,BC=12,則DE的長為 .
5.如圖,正方形ABCD的頂點 A 和頂點D恰好在反比例函數(shù) 0)的圖象上，點B為x軸負(fù)半軸上一點，邊AB 與第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象交于點A，E，若點A的坐標(biāo)為(-2,4),則點 E 的坐標(biāo)為 .
6.如圖,AB 為⊙O 的直徑,點 C 為圓上一點,連接AC,BC,過點B作⊙O 的切線BD,連接AD,交BC 于點E,交⊙O 于點 F,連接BF,且AD恰好平分∠BAC.
(1)求證:BD=BE;
(2)若DE=2,BD= ,求⊙O 的半徑.
模型49 “射影定理”模型
模型展現(xiàn)
自主證明：
在△ABD 和△CBA中,
∵∠ADB=∠CAB=90°,∠ABD=∠CBA,
∴△DBA∽△ABC,
即
模型解題三步法
例1 B 【解析】找模型：是否存在直角三角形：Rt△ABC，直角三角形中是否存在斜邊上的高：高CD，抽離模型：如解圖，用模型：由“射影定理”模型可得:△DBC∽△CBA,
4,∴BC =4,∴BC=2(負(fù)值已舍去).
例2 2或 【解析】找模型：是否存在斜邊上的高：高CD；缺少：高所在的直角三角形，抽離模型：如解圖，用模型：連接BC，∵AB是⊙O 的直徑,∴∠ACB=90°,根據(jù)“射影定理”模型可得：△CAD∽△BCD,∴CDBD= 設(shè)AD為x,則BD=15-x,∵CD=6,∴x(15-x)=36,解得x=3或x=12,∴如解圖①,當(dāng)AD=3時. tan∠CAD 如解圖②,當(dāng) AD = 12 時, 綜上所述，tan∠CAD 的值為2或
題以類解
1. D 【解析】找模型：是否存在直角三角形：Rt△AOB，直角三角形是否存在斜邊上的高：高OE.抽離模型：如解圖，用模型：∵四邊形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,在 Rt△AOB 中,OE⊥AB,由“射影定理”模型可得△BOE∽△OAE,∴OE =AE·BE,∵AB=8,BE=2,∴ =OEA=2 = ,∴∠OAE=30°,∴∠DAB=2∠OAE=60°.
2. 1; 【解析】找模型：是否存在斜邊上的高：高EF.缺少：高所在的直角三角形.構(gòu)造模型:如解圖,連接GE.用模型:∵△DFE 是由△DCE 折疊得到的,點 E 為 BC 中點,∴ ∠EFD = ∠C = 90°, ∠FED = ∠CED. 在Rt△GFE 和 Rt △GBE 中, ∴ Rt△GFE≌Rt△GBE(HL),∴ ∠GEF = 由“射影定理”模型可得EF =GF·DF,∴GF= .
3. 【解析】∵ ·AB(有平方，有垂直，逆推可得到三角形相似)， ∵∠ABC=∠CBD,∴ △ABC∽△CBD,∴ ∠ACB=∠CDB=90°,∵ ∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠B=90°,∴∠ACD=∠B,又∵∠ADC=∠CDB,∴ (“射影定理”模型)，
【解析】∵AC=9,BC=12,∠ACB=90°,CD是AB 邊上的高，. ∠CBD=∠ABC,∠BDC=∠BCA=90°,∴△BDC “射影定理”模型)，即 如解圖，過點A作AF∥BC 交 CE 的延長線于點 F,則△BEC CE 是∠ACB 的平分線,∴∠ACE=∠BCE,∴∠ACF=
5. (-8,1) 【解析】如解圖,過點 A 向x 軸作垂線，垂足為點F.把點A(-2，4)代入反比例函數(shù) 中，得 點D與點A關(guān)于原點對稱,∴點 D 的坐標(biāo)為(2,-4), 4 ,∵ ∠BAF+∠FAO=90°,∠FAO+∠AOF=90°,∴ ∠BAF =∠AOF,∵ ∠BFA =∠BAO,∴ (“射影定理”模型)，即( 解得BO=10(負(fù)值已舍去)，∴點 B 的坐標(biāo)為(-10,0).設(shè)直線AB 的解析式為y= kx+b,把點A(-2,4),B(-10,0)代入,解得一次函數(shù)解析式為 聯(lián)立解得 (舍去), ,把x=-8代入 得y=1,∴點 E 的坐標(biāo)為(-8,1).
6. (1)證明:∵AD 平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.
∵AB 是⊙O 的直徑,∴∠C=90°,
∴∠CAE+∠CEA=90°,
∵∠DEB=∠CEA,∴∠DEB+∠DAB=90°.
∵ BD 是⊙O 的切線,∴BD⊥AB,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD+∠D=90°,∴∠DEB=∠D,
∴BD=BE;
(2)解:∵AB是⊙O 的直徑,
∴∠AFB=90°,∴ BF⊥DE,
∵ BD 是⊙O 的切線,∴ BD⊥AB,∴ ∠ABD=90°,
∵BF⊥AD,
∴ Rt△BDF∽Rt△ADB(“射影定理”模型),
∴AD=5,
在Rt△ABD中,

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