資源簡介

模型57 “12345”模型
基礎模型
在如圖所示的由大小相同的小正方形組成的網格內
圖示 結論
1. 如圖①,若tan∠DAF= ,tan∠BAE= 則∠DAF+∠BAE=45°;(“ ”+“ ”=45°) 2. 如圖①,若tan∠DFA=3,tan∠AEB=2,則∠DFA+∠AEB=135°;(“3”+“2”=135°)
3. 如圖②,若tan∠AFG= ,tan∠AEB=2,!則∠AEB-∠AFG=45°;(“2”-“ ”=45°)
4. 如圖③,若 tan∠DFA=3,tan∠AEH= 則∠DFA-∠AEH=45°;(“3”- “”=45°)
結論1：如圖①，若 則
證明：根據網格線計算AE= ,EF= ,AF=
∴ △AEF 是等腰直角三角形,且∠AEF=90°, ∴∠DAF+∠BAE=45°.
結論2:如圖①,若tan∠DFA=3,tan∠AEB=2,則.
證明：∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEB=∠EFC,
∴∠AFE=45°,∠AEF=90°,
∵∠AEB+∠FEC=90°,∠FEC+∠EFC=90°, ∴∠DFA+∠AEB=135°.
結論3：如圖②，若 則
∴ ∠AEB-∠AFG = ∠DAE-∠DAF = ∠EAF=45°.
∵AD∥BC,
(結論4證明同結論3)
∴∠AEB=∠DAE,∠AFG=∠DAF,
模型拓展
拓展方向：結論中未直接給出“12345”模型
圖示 結論
1. 如圖①,若tan∠AEB=2,tan∠FEC= 則∠AEB+∠FEC=90°;(“2”+“ ”=90°)
2. 如圖②,若tan∠AEB=3,tan∠FEC= 則∠AEB+∠FEC=90°;(“3”+“ ”=90°)
3. 如圖③,若tan∠BDA= ,tan∠DBA=則 tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC= ;(“ ”+“ ”=“ ”)
4. 如圖④,若tan∠BDA= ,tan∠DBA= 則 tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC= ;(“ ”+“ ”=“ ”)
模型解題三步法
例1 如圖,在正方形網格中,點A,M,C,N,F都在格點上,AN與CM相交于點 P,則∠APC為( )
A. 115° B. 125° C. 135° D. 145°
例2如圖,在正方形ABCD中,AB=4,點E是BC的中點,將△ABE沿AE 折疊得到△AFE,延長EF交DC于點 G,則DG的長為( )
A. B. C. D.
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題以類解
1.如圖，在矩形ABCD 中，對角線AC 的垂直平分線交AD 于點H，交AC于點G，交BC于點E,交AB的延長線于點 F,連接AE,若AB=8,BE=6,則BF的長為 .
2.如圖，在邊長為6 的正方形ABCD中,點 E 為 AB 上靠近點A 的三等分點,連接DE,點F,G分別為BC,AD上一點,連接 FG 交 DE 于點 P,且∠EPF=45°,則GF 的長為 .
3. 如圖,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,以 BC 為直徑作⊙O,D 是 的中點,連接 CD,交 AB 于點 E,則 DE 的長為 .
4.如圖，一次函數 的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點，將直線AB繞點B逆時針旋轉45°，旋轉后的直線交x軸于點 C，則直線BC 的解析式為 .
5.如圖，拋物線 與x軸交于A(3,0),B兩點,且經過點(
(1)求拋物線的解析式及其頂點 C 的坐標；
(2)設點 D 是x軸上一點，當 時，求點D 的坐標.
模型故事
為什么叫“12345”模型
何為“1,2,3”
如圖，
何為“4,5”
如圖，當滿足 時，
對于這里的數據，為了便于記憶，通常稱為“12345”模型.
模型57 “12345”模型
模型解題三步法
例1 C 【解析】找模型: 抽離模型：如解圖，用模型：根據“12345”模型,得∠MCF+∠MAN =45°,∵ ∠AFC = 90°,∴ ∠APC = ∠MCF+∠MAN+∠AFC=135°.
例2 B 【解析】找模型：是否存在特殊的正切值： 抽離模型：如解圖，用模型:連接AG,∵四邊形ABCD 是正方形,AB=4,且點 E 是 BC 的中點,∴ BE = 2. 由折疊性質可得，AF=AB，∠AFE = ∠B = 90°,∴ AD = AF,∠ADG =∠AFG=90°. 又∵ AG=AG,∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL),∴∠FAG=∠DAG,∵ ∠BAE= ∠FAE, ∴ ∠BAE + ∠DAG = 45°, ∴tan∠DAG= (“12345”模型), 即DG的長為
題以類解
1.12 【解析】找模型：是否存在特殊的正切值： 抽離模型：如解圖，用模型:∵ FG 垂直平分AC,∴AE=CE,∠ACE=∠EAC,∵AB=8,BE=6,∠ABC=90°,∴AE=10,∴AE=CE=10,∴BC=16,根據“12345”模型得：t =∠EGC=90°,∠BEF=∠GEC,∴ △BEF∽△GEC,∴ ∠BFE=∠GCE,∴tan∠BFE= ,∴BF=2BE=12.
2. 3 【解析】找模型：是否存在特殊角的正切值： 構造模型：如解圖，過點D作DM∥GF,交BC于點M,用模型:∵DG∥FM,DM∥GF,∴四邊形 DGFM 是平行四邊形,∴DM=GF,又∵點 E 是AB 上靠近點A 的三等分點， (三等分點的性質),∵DM∥GF,且∠EPF=45°,∴∠EDM=45°,∴ ∠ADE+∠CDM=45°,∴ tan∠CDM= 又∵正方形 ABCD 的邊長為6,∴ CM =3,∴ DM =
3. 【解析】如解圖,連接OD,DB,OD 交AB于點 F,∵ 點 D 為 的中點,∴ ∠ACD =∠DCB,又∵在 Rt△ABC中, ∵ D 是 的中點， =4,OD⊥AB(垂徑定理), :·AB=8,AC=6,∴BC=10,在Rt△BDC中, =∠ABD,∴在Rt△BDE中,
4. y=2x-1 【解析】如解圖,分別過點 A 與點B作y軸與x軸的平行線，兩平行線交于點P,根據題意可得A(3,0),B(0,-1),∴ 又∵ ∠ABC=45°,∴∠ABP+ 設直線 BC 的~~解析式為y= kx+b,將B(0,-1),C( ,0)分別代入y= kx+b,得 解得 ∴直線 BC 的解析式為y=2x-1.
5. 解:(1)把點(3,0),((2, 代入
í
∴該拋物線的解析式為 頂點 C 的坐標為(1,3);
(2)∵拋物線頂點 C(1,3),
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
如解圖，設拋物線對稱軸與x軸交于點H，連接OC,AC,DC,則H(1,0),當點 D在對稱軸左側時，
在Rt△CHO中,CH=3,OH=1,
∵∠COH=∠ODC+∠DCO,
∴當∠DCO=∠CAO時,tan(∠ODC+∠CAO)=tan∠COH=3,
∵∠CAO=∠DCO,∠CDA=∠CDO,
∴△CDO∽△ADC,
設OD=a,
得
解得a=10或 (舍去),
∴D(-10,0);
當點 D 在對稱軸右側時，點D 關于直線x=1的對稱點D'的坐標為(12,0),
∴點 D 的坐標為(-10,0)或(12,0).

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