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模型52 “胡不歸”模型
當(dāng)AP+kBP 中系數(shù)k大于1時，考慮提取k值轉(zhuǎn)化為 +BP)，這樣就轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)模型了.
如圖，求這類帶有系數(shù)的折線最值問題，通常我們都是將折線轉(zhuǎn)化成為線段，再利用兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短求解.
該模型就是利用了垂線段最短的性質(zhì)，具體解題步驟如下：
一找：找?guī)в邢禂?shù)k的線段kAP；
二構(gòu)：在點(diǎn)B 異側(cè)，構(gòu)造以線段AP 為斜邊的直角三角形：
①以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠PAC,使得sin∠PAC=k;
②過動點(diǎn) P 作垂線構(gòu)造 Rt△PAC;
三轉(zhuǎn)化：化折為直，將kAP 轉(zhuǎn)化為 PC；
四求解：使得kAP+BP=PC+BP，利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BD的長度.
模型解題三步法
例 如圖,在△ABC中,∠A=15°,AB=10,P為AC邊上的一個動點(diǎn)(不與A、C重合),連接BP,則 的最小值是 .
題以類解
1. 如圖,在 ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,P為邊 CD 上一動點(diǎn)，則 的最小值為 .
2. 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,P 是 BC 上一點(diǎn),若AC=2,BC=3,則 的最小值為 .
3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) 分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn),若C為y軸上一動點(diǎn),則2AC+BC的最小值為 .
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4.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC 垂直平分BD，相交于點(diǎn)O,且OB=OC,∠BAD=120°.
(1)∠ABC 的度數(shù)為 ;
(2)若E為BD上的一個動點(diǎn)， 當(dāng)AE 取得最小值時，BE 的長為 .
5.如圖,在△ABC 中,AB=AC=5,以 AB 為直徑作⊙O,分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,連接DE,BD,若點(diǎn) F是線段 BD 上的一個動點(diǎn),且 tan∠CED=2,則 的最小值為 .
6.如圖，拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)，過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線對稱軸于點(diǎn) D，拋物線的頂點(diǎn)為 G，線段CO上有一動點(diǎn)M,連接DM,DG.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)求 的最小值以及此時點(diǎn) M 的坐標(biāo).
模型解題三步法
例 5 【解析】根據(jù)“胡不歸”模型作解圖，作∠PAD=45°,過點(diǎn) P 作 PD⊥AD 于點(diǎn) D,過點(diǎn)B作BE⊥AD 于點(diǎn) E,則 的最小值為 BE 的長,∵ ∠BAC = 15°,∴ ∠BAD = 的最小值為5
題以類解
1. 3 【解析】找模型：是否存在一定線和定線上一動點(diǎn)：線段：CD，動點(diǎn)：點(diǎn)P，定線外是否存在一定點(diǎn)：點(diǎn)B，是否求一動點(diǎn)和兩定點(diǎn)構(gòu)造線段和的最小值，且一條線段帶系數(shù)： 抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)“胡不歸”模型作解圖，以點(diǎn) D 為頂點(diǎn)，在CD上方作∠EDP=60°,過點(diǎn) P 作 PE⊥DE 于點(diǎn)E,過點(diǎn) B 作 BF⊥DE 于點(diǎn) F.∵ 四邊形 AB-CD 是平行四邊形，∴AB∥CD(平行四邊形的性質(zhì)),∴∠A=∠CDE=60°(兩直線平行,同位角相等),∴E,D,A三點(diǎn)共線,∵PE⊥DE, ∴當(dāng)E,P,B 三點(diǎn)共線時，EP+PB 有最小值，最小值為 BF 的長(垂線段最短),∵ ∠A=60°,∴ ∠ABF= 的最小值為3
2.5 【解析】找模型：是否存在一定線和定線上一動點(diǎn)：線段：BC，動點(diǎn)：點(diǎn)P，定線外是否存在一定點(diǎn)：點(diǎn)A，是否求一動點(diǎn)和兩定點(diǎn)構(gòu)造線段和的最小值，且一條線段帶系數(shù)： .抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)“胡不歸”模型作解圖，以點(diǎn) B 為頂點(diǎn)，BC 為一邊在下方作∠CBM=45°,過點(diǎn) P 作 PF⊥BM于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作AD⊥BM于點(diǎn) D,交BC于點(diǎn)E， 要使 的值最小，只需 最小(垂線段最短)， 的最小值為AD 的長,∵ ∠CBM = 45°,AD⊥BM,∴∠BED =∠AEC=45°,∵ ∠ACB =90°,∴sin∠AEC =sin 45°=AC∥,∵AC=2,∴CE=2,AE=2 ,∵ 的最小值為 AD,即為5.
3. 6 【解析】∵一次函數(shù). 分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),∴A( ,0),B(0,3), 找模型：是否存在一定線和定線上一動點(diǎn)：定線：y軸，動點(diǎn)：點(diǎn)C，定線外是否存在一定點(diǎn)：點(diǎn)A，是否求一動點(diǎn)和兩定點(diǎn)構(gòu)造線段和的最小值，且一條線段帶系數(shù)：2AC+BC.抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)“胡不歸”模型作解圖，以點(diǎn)B 為頂點(diǎn)，在y軸左側(cè)作∠CBD=30°,過點(diǎn) C 作 CD⊥BD 于點(diǎn) D,過點(diǎn) A作AE⊥BD 于點(diǎn) E,直線 BD 交 x 軸于點(diǎn) F.∴∠ABD=60°,BF=2 ,∴△ABF 是等邊三角形(頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形),∵ =2(AC+CD),當(dāng)A,C,D 三點(diǎn)共線時,AC+CD有最小值，為AE 的長(垂線段最短)，∵AB=2 ,∴AE=3,即2AC+BC 的最小值為2AE,即為6.
4. (1)75°;(2)2 【解析】(1)∵AC 垂直平分 BD,∴ AB = AD, ∴ ∠ABD = ∠ADB,∵ ∠BAD=120°,∴ ∠ABD=(180°-120°)÷2=30°,∵OB=OC,OB⊥OC,∴∠OBC=45°,∴ ∠ABC=30°+45°=75°;(2)如解圖,作點(diǎn) A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A',連接A'B,過點(diǎn)A作AG⊥A'B于點(diǎn) G,過點(diǎn)E作EF⊥A'B于點(diǎn) F,∵
設(shè)AG與OB交于點(diǎn) E',當(dāng)A,E,F三點(diǎn)共線時, 有最小值,此時 BE'為所求 BE 的長,∵ BC=6,∠OBC=45°,∴OB=OC=BC·cos45°=3 ∵ ∠ABA'=60°,AB=A'B,∴ △ABA'是等邊三角形， 即 BE 的長為2
5. 2 【解析】如解圖,連接AE,過點(diǎn) C 作 CG⊥AB 于點(diǎn) G,過點(diǎn) F 作 FH⊥AB 于點(diǎn) H.∵四邊形 ABED 是圓內(nèi)接四邊形,∴∠DAB+∠DEB=180°,∵ ∠CED+∠DEB=180°,∴∠CED=∠DAB(等角代換),在 Rt△ADB 中, 解得AD (負(fù)值舍去),∴BD=2 ,∵AB=AC=5,∠AEB=90°,∴AE⊥BC,又∵ BD⊥AC,∴ (三角形等面積法),∴CG=BD=2 ,∵∠FHB=∠ADB= 當(dāng)C,F,H三點(diǎn)共線時，CF+FH有最小值，為 CG的長(垂線段最短)，即 的最小值為
6. 解:(1)∵拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),
∴設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a(x+3)(x-1),
∵拋物線與y軸交于點(diǎn) C(0,-3),
∴-3=-3a,解得a=1,
∴拋物線的表達(dá)式為 2x-3;
(2)如解圖，過點(diǎn) O 作直線l與y軸夾角為45°,過點(diǎn) M 作 MH⊥直線l于點(diǎn) H,過點(diǎn) D作DN⊥l于點(diǎn)N,交y軸于點(diǎn)M',
GD+DM+MH≥DG+DN,
∴當(dāng)D,M,H三點(diǎn)共線時, 的值最小,即為GD+DN,
∵易得D(-1,-3),直線l的解析式為y=-x,
∵∠MON=45°,DN⊥l,
∴∠DM'C=∠OM'N=45°,∴DC=CM'=1,
,點(diǎn) M'(0,-2),
∴ 直線DM'的解析式為y=x-2,
聯(lián)立 解得
∴N(1,-1),M'(0,-2),
∵GD=1,
的最小值為

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