資源簡介

模型60 阿基米德折弦定理
中小學教育資源及組卷應用平臺
基礎模型
折弦 圓周上任意一點出發的兩條弦所組成的折線，我們稱之為該圓的一條折弦，如圖①中折線ABC
圖示
定理 如圖②,點M為AC的中點,點B為AM上任意一點,且MD⊥BC,則有AB+BD=DC
逆定理 已知AB+BD=DC. 1. 若M為ABC的中點,則MD⊥BC; 2. 若MD⊥BC,則點 M為ABC的中點
結論分析
結論:AB+BD=DC
補短法
證明1:如圖③,延長DB至點F,使BF=BA,連接MF,MB,MC,MA,AC.
∵M為 的中點,∴AM=CM,
∴ ∠MAC=∠MCA.
又∵∠MBC=∠MAC,∠MBC+∠MBF=180°,∠MBA+∠MCA=180°,∴∠MBF=∠MBA.
在△MBF和△MBA中,
∴△MBF≌△MBA(SAS),
∴ MF=MA=MC.
∵MD⊥CF,∴DF=DC,
∴FB+BD=DC,∴AB+BD=DC.
證明2:如圖④,連接MB,MA,MC,AC,過點M作MH⊥AB,交AB 的延長線于點H,∵M為 的中點,∴AM=CM,
滿分技法
證明線段和差關系，很重要的一個方法就是截長補短法.
補短法即：①在DB的延長線上補長度為AB 的線段 BF,只需求證 DF=DC即可.
②在AB 的延長線上構造與BD 等線段的長度BH，求證AH=DC 即可.
截長法即：在長線段 DC 上截取一條線段等于AB 或BD的長，求證剩余長度與 BD 或 AB 相等即可.
在△MHA 和△MDC中,
∴△MHA≌△MDC(AAS),∴AH=CD,MH=MD,
在Rt△MHB 和Rt△MDB中,
∴ Rt△MHB≌Rt△MDB(HL),
∴BH=BD,
又∵AH=AB+BH,AH=DC,
∴AH=AB+BD,∴AB+BD=DC.
結論:AB+BD=DC.
自主證明：請用截長法證明結論.
模型拓展
拓展方向：當點 M 在特殊位置時的考查
條件 點M為劣弧AB的中點，連接MB，MC 點M為優弧ACB的中點,連接MB,MC
圖示
結論 MC -MB =AC·BC MB -MC =AC·BC
模型解題三步法
例1 如圖,△ABC 內接于⊙O,已知 點 D 為 上的任意一點，連接AD，DC，∠ABD=45°,∠CBD=15°,AE⊥BD 于點E,則△BDC的周長是 .
例2 如圖，等腰Rt△ABC內接于⊙O，在另一側的半圓上有一點D，連接CD，AD，過點D作DE⊥BC 于點 E,恰好使得AB+BE=CE,則∠DCB= .
題以類解
1. 如圖,已知A,B,C,D四點共圓,且AB=BD,BP⊥AC,垂足為P,若AP=7,CP=2,則CD的長為 .
2.如圖，四邊形ABCD 內接于⊙O，連接對角線AC,BD,AE⊥BD于點E,若AB=AC=6,AD=3,則BD·CD的值為 .
3. 如圖,△ABC內接于⊙O,AB=AC,OD 垂直AB 于點 D,點 E 為劣弧 上一點,連接BE,CE,若 5,CE=12,則BE的長為 .
4.如圖，在 中，D為AC邊上一點，且AD 過D 作AC 的垂線交 的外接圓于M，過M作AB的垂線MN，交⊙O于點N.求證:MN為 外接圓的直徑.
5. 如圖,在⊙O中, 點D 是優弧 上一動點(點 D 不與點 C,B 重合),連接DA,DB,DC,
(1)若 求⊙O 的半徑；
(2)求證:
模型故事
阿基米德折弦定理
阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一.他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子.
阿爾·比魯尼的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據阿爾·比魯尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理.
阿基米德折弦定理：一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點.
模型展現
自主證明：截長法：
如圖⑤,在 CD 上截取 DG=DB,連接 MG,MB,MC,MA,AC,
∵MD⊥BG,∴MB=MG,
∴∠MBG=∠MGB.
又∵
∴∠MBG=∠MAC,
由 M 為 中點易得
∠MAC=∠MCA,
∴∠MBG=∠MCA,
∴∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG,
而∠MGB=∠GMC+∠MCG,
∴∠GMC=∠BCA=∠BMA,
在△BMA 和△GMC中,
∴△BMA≌△GMC(SAS),
∴AB=CG,
∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC.
模型解題三步法
例1 【解析】根據阿基米德折弦定理得,CD+DE=BE,∵ ∠ABD =45°,∴ BE=2 =2,∴CD+DE=2,∵∠CBD=15°,∠ABD=45°,∴∠ABC=60°,∵AB=AC,∴△ABC 是等邊三角形(一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形),∴ BC=AB=AC=2 ,∴△BDC 的周長為 BE+(CD+DE)+
例2 22.5° 【解析】找模型：圓上是否存在折線：折線 ABC，折線是否存在線段關系：AB+BE=CE,是否存在垂線:DE ⊥ BC, 抽離模型：如解圖，用模型：根據阿基米德折弦定理的逆定理可得點D 是優弧AC的中點,∴AD=DC,∴△ACD 是等腰三角形,又∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ ∠ABC = ∠ACB =∠ADC=45°,∴ ∠DCA=(180°-45°)÷2=67.5°,∴∠DCB=∠DCA-∠ACB=22.5°.
題以類解
1.5 【解析】找模型：圓上是否存在折線：折線ACD，是否存在弧的中點：點B，是否過中點作垂線：BP⊥AC.抽離模型：如解圖，用模型：根據阿基米德折弦定理得,AP=CP+CD,∴CD=AP-CP=7-2=5.
2.27 【解析】找模型：圓上是否存在折線：折線BDC，是否存在弧的中點：點A，是否過中點作垂線：AE⊥BD.抽離模型：如解圖，用模型：根據阿基米德折弦定理得,BE=CD+DE,∵AE⊥BD,∴在 Rt△AEB中, 在 Rt△AED中,DE =AD -AE ,∴BD·CD=(BE+
3.24 【解析】如解圖,連接OA,OB,AE,過點A作AF⊥BE 于點 F,∵ OD⊥AB,∴ ∠AOD= 解得EF
=6.∵AB=AC,∴點A為優弧 的中點，∵AF⊥BE，∴根據阿基米德折弦定理得，BF=EF+CE=6+12=18,∴BE=18+6=24.
4. 證明:如解圖,延長AC 至點E,使CE=BC,連接MA,MB,ME,BE,
∵AD=DC+BC,∴AD=DC+CE=DE,
∵MD⊥AE,
∴MA=ME,∠MAE=∠MEA,
又∵∠MAE=∠MBC,∴∠MEC=∠MBC,
又∵CE=BC,∴∠CEB=∠CBE,
∴∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE,
即∠MEB=∠MBE,∴ME=MB,
又∵ME=MA,∴MA=MB,
又∵MN⊥AB,∴MN垂直平分AB,
∴MN是圓的直徑.
5. (1)解:如解圖①,連接OC,OA,BC,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠ACB=30°,
∴∠ADC=∠ABC=30°,
∴∠AOC=2∠ADC=60°,
∵OC=OA,∴△AOC 是等邊三角形,
∴OA=AC=4;
(2)證明:如解圖②,在 CD上截取DF=DB,過點A作AG⊥CD于點 G,連接AF
∵AC=AB,
∴∠CDA=∠BDA(等弧所對的圓周角相等),在△ABD 和△AFD中,
∴△ABD≌△AFD(SAS),
∴AF=AB=AC,∴△ACF為等腰三角形,
∵AG⊥CF,∴CG=FG,
∴DC+DB=2DG,
∵ ∠BAC = 120°,∴ ∠CDB = 180°-120°=
在 Rt△AGD 中,

展開更多......

收起↑