資源簡介

模型56 “主從聯動”模型
模型展現
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主從聯動問題變換前后的圖形形狀不變，但大小可能發生變化，其解題方法就是構造旋轉、位似圖形，本質就是對圖形中的每個點進行旋轉變化和位似變化
結論分析
直線軌跡結論：1. P，Q兩點軌跡所在直線的夾角等于α；
2. P,Q 兩點軌跡長度之比等于AP:AQ
以A，Q，P三點共線為例證明
證明:如圖①,連接AB,AC,過點Q作BC的平行線,分別交AB,AC于點M,N,根據平行線分線段成比例可得
∵點 P 的軌跡為 BC,點 Q 的軌跡為 MN,
∴ P，Q兩點軌跡所在直線的夾角等于0°(結論1)；
P，Q兩點軌跡長度之比等于AP：AQ(結論2).
注：若三點不共線，則考慮 則有
圓軌跡結論：1.兩圓心與定點連線的夾角等于主、從動點與定點連線的夾角，即
2.主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比，也等于兩圓半徑之比，即AP：AQ
以A，Q，P三點共線為例證明
證明：如圖②，連接AO，過點Q作OP 的平行線，交AO于點M，根據平行線分線段成比例可得
∵A,M,O三點共線,
∴ P，Q兩點軌跡所在圓的圓心與點A 連線的夾角等于( (結論1);
主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比，也等于兩圓半徑之比，即 (結論2).
注：若三點不共線，則考慮 則有
模型解題三步法
例1 如圖，⊙O 的直徑 ,P為⊙O上的動點,連接AP,Q為AP的中點,若點 P在⊙O 上運動一周，則點 Q 經過的路徑長是 .
例2 如圖， 是等邊三角形，D是BC邊上的動點，以AD 為邊在AD 右側作等邊 連接CE,F是AC的中點,連接EF,若 ，則EF的最小值是 .
題以類解
1. 如圖,在△ABC中,BC=6,點 P 在線段BC上移動，點Q 為 AP 上靠近點 A 的三等分點，當點 P 由點 B 移動到點 C 時，點Q 的運動軌跡長為 .
2. 如圖,在矩形ABCD 中,AB=11,BC=6,E為AB上一點,且AE=2,F 為AD 邊上的一個動點，連接EF，若以EF 為邊向右側作等腰Rt△EFG,EF=EG,連接 CG,則 CG 的最小值為 .
3.如圖，正比例函數y=-3x的圖象與反比例函數 的圖象交于A,B兩點,點 P 是以C(3,0)為圓心,2為半徑的⊙C 上一點,連接AP,點 Q 是AP 的中點，若 OQ 長的最大值為 ,則 k 的值為 .
4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 與x軸交于A(1,0),B兩點,與y軸交于點C(0,5).
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點 P 在以點 B 為圓心，2為半徑的⊙B上,⊙B與x軸交于 D,E兩點(點D在點 E 左側),連接AP,以AP 為邊在 AP 下方作等腰 Rt△APQ,且. 連接EQ,求EQ長度的取值范圍.
模型故事
主從聯動(瓜豆模型)
“主從聯動模型”也叫“瓜豆模型”，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆”.這類動點問題中，一個動點隨另一個動點的運動而運動，我們把它們分別叫做從動點和主動點，從動點和主動點的軌跡是一致的，即所謂“種”線得線，“種”圓得圓(而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是).解決這一類問題通常用到旋轉和相似.
模型解題三步法
例1 2π 【解析】如解圖,連接 OQ,∵ AB=4,∴AO=2,∵ Q 為AP的中點, ∴ OQ ⊥ AP, ∴∠AQO=90°,∴點 Q 在以AO為直徑的圓上運動，∴點Q 經過的路徑長為2π.
例2 點D 點E 【解析】∵△ABC 和△ADE 均為等邊三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE= 60°,∴ ∠BAD = ∠CAE,∴ △ABD ≌△ACE,∴ ∠ABD=∠ACE,∵ ∠ABD=60°,∴ ∠ACE = 60°,∴ 點 D 在運動過程中,∠ACE 始終等于 60°,∴點 E 的運動軌跡在射線 CE上,∵ F 為 AC 的中點,∴當 EF⊥CE時,EF的長最小,∵AC=AB=4,F為AC的中點,∴ AF = CF =2,∴ EF最小 = CF ·
題以類解
1.2 【解析】找模型：三角形邊上是否存在一動點：點P(主動點)，動點和定點的連線上是否存在另一動點：點Q(從動點)，抽離模型：如解圖，用模型：∵點 P 的運動軌跡是線段，∴點 Q 的運動軌跡是平行于 BC 的線段，如解圖,過點Q作MN∥BC,交AB于點M,交AC于點N,則有: 線段MN即為點 Q 的運動軌跡.根據“主從聯動”模型得： 又∵BC=6,∴MN=2,即點Q 的運動軌跡長為2.
2.5 【解析】找模型：矩形邊上是否存在一動點：點F(主動點)，是否存在與動點和定點連線相關的另一動點：點G(從動點)，抽離模型：如解圖，用模型：過點 G作 GH⊥AB 于點H,過點 G作MN∥AB,分別交AD,BC于點M,N.∵四邊形ABCD 是矩形,AB=11,BC=6,∴CD=11,AD=6,∵AE=2,∴BE=9,∵∠GHE = ∠A = ∠GEF = 90°,∴ ∠GEH +∠EGH=90°,∠GEH+∠FEA=90°,∴ ∠EGH= ∠FEA,
∴ GH=AE=2,∴點 G在平行于 AB 且在AB上方到AB 距離為2 的直線 MN 上運動，
∴當點 F 與點 D 重合時，CG 有最小值，此時 即CG的最小值為5.
【解析】如解圖，連接BP，由對稱性得：OA=OB,∵Q是AP的中點,. 長的最大值為 ,∴BP 長的最大值為5,當 BP 過圓心 C時,BP 最長,過點 B作BD⊥x軸于點 D,∵CP=2,∴ BC=3,∵點B在直線y=-3x上,設 B(t,-3t),則CD=3-t,BD=3t,在 Rt△BCD中,由勾股定理得： 解得t=0(舍去)或 點 B 在反比例函數 的圖象上，∴
4. 解:(1)將點A(1,0),C(0,5)代入 c中,
得
∴拋物線的解析式為
(2)如解圖，將點 B 繞點A 順時針旋轉90°到點 B',連接AB',PB,B'Q,
∵ ∠B'AQ+∠BAQ=90°,∠PAB+∠BAQ=90°,
∴ ∠B'AQ=∠BAP,
∵AB=AB',AP=AQ,
∴△AQB'≌△APB(SAS),∴BP=B'Q,
∵PB=2,∴B'Q=2,
∴點 Q 在以點 B'為圓心，2為半徑的圓上運動，
由(1)得B(5,0),A(1,0),
∴ B'(1,-4),AB'=4,
∵BE=2,∴點E(7,0),AE=6,
∴ EQ 的 最 大 值 為 最小值為

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