資源簡(jiǎn)介

模型58 “海盜埋寶”模型
模型展現(xiàn)
圖示
條件 △ACD和△BEC是等腰直角三角形，A，B為直角頂點(diǎn)，且C點(diǎn)為公共點(diǎn)，連接DE，F(xiàn) 為DE的中點(diǎn),連接FA,FB,AB
作法 延長(zhǎng)AF至點(diǎn) P,使得FP=AF,連接PE,PB,延長(zhǎng)PE交AC于點(diǎn) Q
結(jié)論 1. △DAF≌△EPF(SAS); 2. △ACB≌△PEB(SAS); 3.△ABP 是等腰直角三角形； 4.△FAB 是等腰直角三角形
結(jié)論分析
結(jié)論:1. △DAF≌△EPF(SAS);2. △ACB≌△PEB(SAS);
3. △ABP 是等腰直角三角形;4. △FAB 是等腰直角三角形
證明：如圖，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)P，使得FP=AF，連接PE,PB,延長(zhǎng)PE交AC 于點(diǎn)Q.
∵F為DE的中點(diǎn),∴DF=EF.
在△DAF和△EPF中,
∴ △DAF≌△EPF(SAS)(結(jié)論1),
∴DA=EP,∠DAF=∠EPF,
∴DA∥PQ,
∴∠EQC=∠DAQ=90°.
在四邊形 EQCB 中,∠EQC+∠EBC=90°+90°=180°,
∴∠QEB+∠QCB=180°.
又∵∠QEB+∠PEB=180°,
∴∠QCB=∠PEB.
∵△ACD 和△BEC 為等腰直角三角形,∴ AD=AC,BE=BC,∴AC=PE.
在△ACB 和△PEB中,
∴△ACB≌△PEB(SAS)(結(jié)論2),
∴AB=PB,∠ABC=∠PBE,
∴∠ABC+∠ABE=∠PBE+∠ABE,即∠CBE=∠ABP=90°,
∴ △ABP 是等腰直角三角形(結(jié)論3).
又∵F是AP 的中點(diǎn),
∴BF⊥AP,BF=AF,
∴△FAB 是等腰直角三角形(結(jié)論4).
模型解題三步法
例 如圖,在△ABC 中,分別以AC 和AB 為斜邊,向△ABC 的內(nèi)側(cè)作等腰 Rt△AEC 和等腰Rt△ADB,F是BC的中點(diǎn),連接FD,FE,DE,若FD=4,則線段DE的長(zhǎng)為 .
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題以類解
1. 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,在等腰直角△BDE 中,∠BDE=90°,若 F 是AE的中點(diǎn)，則∠DFC 的度數(shù)為 ( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
2. 如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB,AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰 Rt△ADB和等腰 Rt△AEC,分別過(guò)點(diǎn) D,E 作 DF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AC 于點(diǎn) G,若 M 是 BC 的中點(diǎn),連接MD,ME,FM,GM,則下列結(jié)論不正確的是 ( )
A. BF=CG
B. MD=ME
C. △DFM 和△EGM 都是等腰三角形
D.四邊形AFMG不是菱形
3.如圖，在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,延長(zhǎng)BC 到點(diǎn) E,以CE 為斜邊,在 CE 下方作等腰Rt△CDE,連接 BD,AE,F 為 AE的中點(diǎn),連接BF,DF.若AB=2,CD=3 ，則BF的長(zhǎng)為 ,△BFD的面積為 .
4.如圖,等腰 Rt△ABC 和等腰Rt△BDE有公共頂點(diǎn) B,∠BAC=∠BDE=90°,連接CE,F是CE的中點(diǎn),連接FA,FD.
(1)如圖①,若D,A,B 三點(diǎn)共線,求證:AF∥BE;
(2)如圖②,當(dāng)∠ABD=45°,DF=4時(shí),求AF的長(zhǎng).
5. 如圖,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,四邊形 BEDF是正方形,連接CD,M是CD的中點(diǎn),連接AM,EM.
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn) E 在線段BC 上時(shí)，求線段MA，ME的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
(2)如圖②,將圖①中的△ABC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) C 落在 FD 的延長(zhǎng)線上，其余條件都不變，則MA，ME的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系仍然成立嗎 請(qǐng)說(shuō)明理由.
模型58 “海盜埋寶”模型
模型解題三步法
例 【解析】根據(jù)“海盜埋寶”模型作解圖,∴ △DFE 是等腰直角三角形，∴FD=FE = 4,在 Rt △DFE
中，
題以類解
1. B 【解析】找模型：是否存在兩個(gè)等腰直角三角形共底角頂點(diǎn)：△BDE 和△ABC，共頂點(diǎn)：點(diǎn)B，是否存在另一組底角頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)：點(diǎn)F.抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)“海盜埋寶”模型得,DF⊥CF,∴∠DFC=90°.
2. D 【解析】找模型：是否存在兩個(gè)等腰直角三角形共底角頂點(diǎn)：△ADB 和△AEC，共頂點(diǎn)：點(diǎn)A，是否存在另一組底角頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)：點(diǎn)M.抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)“海盜埋寶”模型,得△DBM≌△ECM,∴ MD=ME,故B 選項(xiàng)正確,不符合題意;∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形,∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°,∠ADB=∠AEC=90°,在△ADB 和△AEC 中,△ADB≌△AEC(AAS),∴ BD=CE,AD=AE,∵DF⊥AB 于點(diǎn) F,EG⊥AC 于點(diǎn) G,∴DF= CG,故A 選項(xiàng)正確,不符合題意;∵F,M,G分別是AB,BC,AC的中點(diǎn),∴MF,MG 是△ABC的中位線， 和△EGM都是等腰三角形，故C 選項(xiàng)正確，不符合題意;如解圖,連接AM,∵AB=AC,M 是BC的中點(diǎn),∴AM⊥BC,∴∠AMB=∠AMC= 90°,又∵ GM= AC=AG,∴AF=FM=GM=AG,∴四邊形AFMG是菱形，故D 選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.
【解析】∵AB=2,CD=3 ,∴BC=AB=2,CE= CD=6,∴BE=BC+CE=8,∴ ∵點(diǎn)F 是AE 的中點(diǎn),∴ (直角三角形斜邊中線等于斜邊一半)，由“海盜埋寶”模型知，△BFD 是等腰直角三角形，∴
4. (1)證明:如解圖①,延長(zhǎng)AF交DE于點(diǎn)M,∵∠CAD=∠BAC=∠BDE=90°,∴AC∥DE,∴∠ACF=∠MEF,
∵F為CE的中點(diǎn),∴CF=EF,在△ACF和△MEF中,
∴△ACF≌△MEF(ASA),
∴AC=EM,AF=MF,
∵ △ABC 和△BDE是等腰直角三角形,
∴AB=AC,BD=DE,∠DEB=45°,
∵EM=AC=BA,
∴BD-AB=DE-EM,∴AD=DM,
又∵∠ADM=90°,∴∠DMA=45°=∠DEB,
∴AF∥BE;
(2)解:如解圖②,延長(zhǎng)CA 交 BD 于點(diǎn) P,連接 PE,延長(zhǎng) ED與BA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G,連接CG,
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,∠BAC=90°,
∵∠ABD=45°,
∴∠APB=45°=∠ABD=∠ACB,
∴AB=AP,BC=BP,
∴AC=AP(等腰三角形“三線合一”),
∵F為CE的中點(diǎn),
(中位線的性質(zhì)).
同理可得
在△BCG和△BPE中,
∴△BCG≌△BPE(SAS)(“海盜埋寶”模型),
∴CG=PE,
∴AF=DF=4.
5. 解:(1)在△ACD中,
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn),∠BAC=90°,
∴ ∠MAC=∠MCA.
∵四邊形 BEDF 是正方形,
∴∠DEC=90°.
在△DEC中,∵M(jìn)是CD的中點(diǎn),
∴MA=ME,
∵∠MCA+∠MCE=∠ACB=45°,
∴ ∠AME=∠MAC+∠MCA+∠MCE+∠MEC=2∠ACB=90°,
∴MA⊥ME;
(2)成立.理由如下：
如解圖，設(shè)AB與CF交于點(diǎn)N，在BF上截取BG=CM,連接AG,EG,MG,
∵∠BAC=∠F=90°,∠ANC=∠BNF,
∴∠ACM=∠FBA(三角形的內(nèi)角和為180°),在△ABG和△ACM中,
∴ △ABG≌△ACM(SAS),
∴AG=AM,∠BAG=∠CAM,
∵∠BAC=90°,
∴∠GAM=90°,∵ BG=CM,DM=CM,
∴BG=DM,
在△EBG和△EDM中,
∴△EBG≌△EDM(SAS),
∴EG=EM,∠BEG=∠DEM,
∵ ∠BED = 90°,∴∠GEM=90°,
∴ ∠EGM = ∠EMG=∠AGM=∠AMG=45°, “海盜埋寶”模型)
∴∠AGE=∠AME=90°,
∴ 四邊形AMEG 為矩形,
又∵EG=EM,∴ 四邊形AMEG是正方形,
∴MA=ME,MA⊥ME.

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