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模型 50 “飛魚”模型
基礎模型
飛魚”模型與“斜8 字”燕尾型的區別：
“飛魚”模型：已知的是兩組對邊相等，不產生相似三角形；
“斜8字”燕尾型：已知的是一組角相等，產生相似三角形.
結論：已知 則
證明:如圖,過點D作DG∥BE交AC于點G,
拓展模型
拓展方向：解決“飛魚”模型常見輔助線作法
類型 過點A作輔助線 過點 B作輔助線 過點 C作輔助線 過點 F作輔助線
圖示 過點 E 與點 A 輔助線作法一樣 過點 D 與點 B 輔助線作法一樣
模型解題三步法
例一題多解 如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,AE:CE=1:2,F是BE的中點,BF:EF=1:1連接AF并延長交BC于點 D，則BD：CD的值為( )
A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3
題以類解
1. 如圖,PA是⊙O 的切線,OP 交⊙O 于點 B,點C是⊙O 上一點,連接AC,BC,AC 交 OP于點E,延長CB交 PA 于點 D,且 CD⊥PA,若AE:EC=3:4,PD:DA=3:5,PB=2,則OE的長為 .
2. 如圖,在△ABC中,點 P 是邊AB上一點,點M,N在邊AC 上,且有AP=PB,AM=MN=NC,連接CP,BM,BN,BM,BN與 CP 分別相交于點R,Q,若△ABC的面積為1,則△BRQ的面積為 .
3.如圖，在矩形ABCD 中,E,F分別為BC,CD 的中點,DE 與AF,BF分別交于點 P,Q.若AB=4,BC=6,則 PQ的長為 .
4. 在△ABC 中,AD 是△ABC 的中線,點 E 為AB上一點.
(1)如圖①,若點 E 是 AB 的中點,CE 與AD交于點O,求證:AO=2OD;
(2)如圖②,點 F 為AC上一點,連接EF 交AD 于點O,若 求 的值.
例 B 一題多解
解法一：找模型：是否存在共角的兩個三角形：△ACD，△BCE，是否存在共角所對的兩條邊相交：AD 與BE 相交，是否存在兩組線段的比例關系:AE:CE=1:2,BF:EF=1:1.抽離模型:如解圖①,用模型:根據“飛魚”模型,作 EG∥AD 交 BC于點G,∵F是BE的中點,∴BF=EF,∴BD=DG,∴BD:BG=1:2,∵AE:EC=1:2,∴DG:CG=1:2,∴BD:CD=1:3.
解法二：找模型：是否存在共角的兩個三角形：△ACD，△BCE，是否存在共角所對的兩條邊相交：AD 與BE 相交，是否存在兩組線段的比例關系:AE:CE=1:2,BF:EF=1:1,抽離模型:如解圖②,用模型:根據“飛魚”模型,作 EG∥BC 交AD于點 G,∴ △AEG∽△ACD,∠EGF=∠BDF,∵AE:EC=1:2,∴AE:AC=1:3,∴EG:CD=1:3,∵F是BE的中點,∴BF=EF,在△BDF 和△EGF中
∴BD=EG,∴BD:CD=1:3.
解法三：找模型：是否存在共角的兩個三角形：△ACD，△BCE，是否存在共角所對的兩條邊相交：AD 與BE 相交，是否存在兩組線段的比例關系:AE:CE=1:2,BF:EF=1:1,抽離模型:如解圖③，用模型：根據“飛魚”模型,取 EC 的中點 G,連接FG,∵F 是BE的中點,∴G是EC的中點,∵AE:EC=1:2,∴AE=EG=CG,∴AG:CG=2:1,∴AF:FD=2:1,∴S△AFB:S△BFD=2:1(兩三角形同高)，設S△BFD=S,則 又∵BF=EF,∴S△AFE:S△AFB=2S(等底同高的兩三角形),∴ S△ABE=4S,∵AE:CE=1:2,∴S△BEC=2S△ABE=8S,∴ S四邊形CEFD=7S,∴S△ADC=9S,S△ABD 即BD:CD=1:3.
題以類解
【解析】找模型：是否存在共角的兩個三角形：△APE，△ACD；是否存在共角所對的兩條邊相交：PE與 CD 相交；是否存在兩組線段的比例關系:AE:EC=3:4,PD:DA=3:5;抽離模型:如解圖 ，用模型：根據“飛魚”模型作解圖，連接OA.過點 E 作 EF∥CD,交AP 于點 F.∵ PA 是⊙O 的切線,∴OA⊥PA(切線的性質),∵ CD⊥AP,∴ BD∥OA(同位角相等,兩直線平行),∵ 平行線分線段成比例)，
【解析】找模型1：是否存在共角的兩個三角形：△ABM，△APC；是否存在共角所對的兩條邊相交：BM 與 CP 相交；是否存在兩組線段的比例關系:AP:BP=1:1,AM:MC=1:2;抽離模型1：如解圖，用模型1：根據“飛魚”模型作解圖,過P作PD∥AC,交BM于D;找模型2是否存在共角的兩個三角形：△MCR，△MBN，是否存在共角所對的兩條邊相交：BN 與 CR 相交；是否存在兩組線段的比例關系：MN：NC=1：1，BR:RM=3:2;抽離模型2:如解圖 ,用模型2:根據“飛魚”模型作解圖,過 R 作 RE∥AC,交 BN于E.∵AP=PB,∴BD=DM,AM=2PD(中位線性質),∵ AM=MN=NC,∴ MC=4PD,∵ PD∥MC,∴△PDR∽△CMR(8字型相似),
【解析】根據“飛魚”模型作解圖，延長AF，BC 交于點 M,∵四邊形ABCD 是矩形,AB=4,BC=6,∴∠DCB=90°,AD=BC=6,CD=AB=4.AB∥CD,AD∥BC(矩形的性質),∵ 點 E 是 BC的中點,∴BE=CE=3,在 Rt△DCE中,由勾股定理得 ∠FAD(兩直線平行,內錯角相等),∵ F 為 CD的中點,CD=4,∴CF = DF = 2,∵∠MFC = ∠AFD,∴ △MCF ≌△ADF(AAS),∴CM=AD=6(三角形全等的性質)，即ME=6+3=9,∵AD∥BC,∴△MPE∽△APD(8字型相似),. DP=2,EP=3,延長DE 和AB 交于點N,同理可得AB=BN=4,∴AN=8,∵BC∥AD,∴DE=EN=5,∴DN=10.∵AB∥CD,∴△DQF∽△NQB(8字型相似). 解得DQ
4. (1)證明:如解圖,過點 D 作 DG∥CE 交 AB 于點G.
∵AD 是BC邊上的中線,∴BD=CD.
∴ BG=EG.
∵ E 是 AB 的中點,∴ BE:EA=1:1,
則AO:OD=AE:EG=2:1(“飛魚”模型),∴AO=2OD;
(2)解:如解圖②,延長 FE 和 CB 交于點 M,過點 D 作DN∥EF交AC 于點 N,則△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN,
∴AO:OD=AF:FN=2:1=6:3.
∵AF:FC=3:2=6:4,
∴FN:NC=MD:DC=3:1.
∵BD=CD,MD:CD=MD:BD=3:1(“飛魚”模型).
如解圖③,延長 FE 和 CB 交于點 M,過點 B作BP∥EF 交AD 于點 P,則△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO,
∴MB:BD=OP:PD=2:1,
∵AO:OD=2:1=6:3,
∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1(“飛魚”模型),

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