資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
模型33 含60°角的菱形
模型展現
圖示
條件 四邊形ABCD為菱形,對角線AC與BD交于點O,∠ABC=60°
結論 1. ∠ABD=∠CBD=30°; 2. △ABC和△ACD均為等邊三角形; 3. AB:AC:BD=1:1: 4. S要形ACD= AC ·BD= BC
結論:1.
和 均為等邊三角形；
證明：∵四邊形ABCD為菱形，
(結論1),
和 均為等邊三角形(有一個內角為 的等腰三角形是等邊三角形)(結論2).
在 中，
∵AB=AC=BC.∴AB:AC:BD=1:1: (結論3),
如圖，過點A作 于點E，
在 中，
(菱形面積公式)，
(結論4).
模型解題三步法
例 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD 相交于點O.若 則菱形ABCD的 周長為 ( )
題以類解
1. 如圖,在菱形ABCD 中,對角線AC,BD交于點E,∠DAB=60°,點 F,H分別為AD,BC上的點，且線段 FH過點 E，若四邊形BFDH是矩形，則∠DEF的度數為 ( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
2.如圖，在菱形ABCD中，O為中心點， 點E,F分別是邊AB,AD 上的點,連接OE,OF.若 則圖中陰影部分的面積為 ( )
3. 如圖①,在菱形ABCD中, 動點M從點A 出發,沿折線AB→BC→CD方向勻速運動，運動到點 D 停止，連接DM，設點M的運動路程為x， 的面積為y，y與x之間的函數圖象如圖②所示，則AD的長為
( )
A. 1 B.2 C. 3 D. 4
4. 新考法 真實問題情境 如圖①是某廠家生產的一款地毯，圖案由許多相同的菱形組成，圖②為其示意圖，若菱形的邊長為26cm,點B,F之間的距離為 78cm,則 廠家為了使圖案更美觀，不改變菱形的邊長，將點A，C之間的距離調節到20cm,則A,E之間的距離為 cm.
5.如圖，在平面直角坐標系中，O是菱形ABCD對角線 BD 的中點， 軸且 將菱形ABCD繞點O旋轉，使點B落在x軸上，則旋轉后點A對應點的坐標為 .
6.如圖， C為AB上一個動點，分別以AC，CB為邊在AB的同側作菱形ACDE和BCFG,點C,D,F在一條直線上， M，N分別是對角線AD，BF的中點，當點C在線段AB上移動時，MN的最小值為 .
7. 如圖,在菱形ABCD中, 將菱形紙片翻折使點A落在CD的中點E處,折痕為FG,點 F,G分別在邊AB,AD上.則 的值為 .
8. 一題多解如圖，在菱形ABCD 中，對角線AC,BD相交于點O,點E是OB的中點,點F是CD的中點,連接EF,交AC 于點G,若 則線段GF的長為 .
模型解題三步法
例 B 【解析】根據“含60°角的菱形”模型可得：△ADB 為等邊三角形，∵點 O 為菱形對角線的交點,∴DB=2OD=6,∴AD=DB=6,∴菱形ABCD的周長為24.
題以類解
1. D 【解析】找模型 菱形中是否存在60°的角:∠DAB=60°,抽離模型 如解圖,用模型:根據“含60°角的菱形”模型可得：△ADB 為等邊三角形,則∠ADB=60°,∵四邊形 BFDH是矩形,∴BD=FH,∴EF=DE,∴△EFD 為等邊三角形,∴∠DEF=60°.
2. A 【解析】找模型：菱形中是否存在60°的角:∠ABC=60°,抽離模型:如解圖,用模型:連接OA,OB,∵AE+AF=4,AB=4,∴AF=BE,∴S△BOE=S△AOF(菱形的中心點到各邊的距離相等)， 根據“含60°角的菱形”模型可得:∠ABO=30°,AO⊥BO,∴OA=AB·sin30°=2,OB=AB·cos30°=2
3. B 【解析】如解圖,當點 M運動到 BC 段時,△ABD 的面積為 ,過點 M 作 ME⊥AD 于點 E,∵ 四邊形ABCD為菱形,∠A=60°,∴△ABD為等邊三角形,∵BE⊥AD,∴BE=AB·sin60° 解得AD=2(負值已舍去).
4. 120;48 【解析】當B,F之間的距離為78cm時,B,D之間的距離為26 cm,如解圖①,連接BD,則△ABD為等邊三角形,∴∠BAD=60°,∴∠ABC=120°;如解圖②,連接AC,AE,BD,AC與BD交于點O,當AC=20cm時,AO=10 cm,∵AB=26 cm,∴ BO=√AB -AO =24 cm,∴AE=BD=2BO=48 cm.
5. (0,2 )或( 【解析】如解圖①，根據菱形的對稱性可得：當點 B 旋轉到x軸負半軸時,A,C,D 均在坐標軸上,∵ ∠ABC=120°,∴ ∠BAD=60°,∴ △ABD 為等邊三角形,∴ ∠OAB=30°(“含60°角的菱形”模型),∵AB=4,∴OB=2,∴AO=AB·cos30°=2 ,∴點A的坐標為(0,2 )，同理：如解圖②，當點 B 旋轉到x 軸正半軸時，點A 的坐標為 ，綜上所述，旋轉后點 A 對應點的坐標為(0，2 )或(
6. 2 【解析】如解圖,連接 CM,CN.∵∠E=60°,AE=ED,∴△ADE 為等邊三角形,同理,△ADC 為等邊三角形(“含60°角的菱形”模型). ∴∠DCA=60°,∠BCF=120°,∵ M,N分別是對角線AD,BF 的中點,∴ ∠DCM= ,設 AC =2a,則 ∴ 當a=1時，MN有最小值，最小值為2
【解析】如解圖,連接BE,BD,連接AE 交 FG 于點 H,由折疊的性質可得∠GAF=∠GEF=60°,∵ BC=CD,∴ △BDC為等邊三角形(“含60°角的菱形”模型),∵ 點 E 為CD的中點,∴CE=DE=1,∠BEC=90°,在 Rt△BCE中, .∠EBF = 90°,∴ 在 Rt △AEB 中, AE = 設EF=AF=x,則BF=2-x,在Rt△BEF中,( 解得 在 Rt△AHF中
解法一：
如解圖①,取 OD 的中點 H,連接 FH,∵∠ABC=60°,AB=BC,∴ △ABC 為等邊三角形(“含60°角的菱形”模型),∴AB=BC=AC 又∵點 E 是 OB 的中點,. ∵點 F 是 CD 的中點,點 H 是OD 的中點,∴ HF 是△OCD的中位線, ,∴點O 是EH的中點,∴OG是△EFH的中位線，
解法二：
如解圖②,過點 D 作 DI∥EF,交AC 于點I,∵∠ABC=60°,AB=BC,∴ △ABC 為等邊三角形(“含60°角的菱形”模型),∴AB=BC= ,∵ 點 E 是 OB 的中點,點 F 是 CD 的中點， 設OG=k,則OI=2k, 在 Rt △IDO 中, GF 是△DCI的中位線.

展開更多......

收起↑