資源簡介

模型28 矩形的翻折
基礎模型1 矩形翻折形成的全等
圖示
已知 在矩形ABCD 中，折痕為對角線 AC，點B的對應點為B' 在矩形 ABCD 中,折痕為EF,點 A的對應點為 A'，點B 的對應點為B',點 B'恰好落在邊AD 上
結論 △AB'E≌△CDE 連接BE,△ABE≌△A'B'E
基礎模型2 矩形翻折形成的相似
在證明矩形翻折形成的相似時，用兩組對應角分別相等的兩個三角形相似，一組角為 角，再找一組共角或等角代換找相等的角.
結論分析
圖①結論:△AB'E≌△CDE
證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,由折疊性質知,AB=AB',∠ABC=∠AB'C,∴AB'=CD,∠AB'E=∠CDE,又∵∠B'EA=∠DEC,∴△AB'E≌△CDE(AAS).
圖②結論:連接BE,△ABE≌△A'B'E
自主證明：
圖③結論：1
證明:∵四邊形ABCD 是矩形,∴∠PAE=∠EDC=∠PBC=90°,∴∠APE+∠AEP=90°,由折疊性質可知,∠PEC=∠PBC=90°,∴∠AEP+∠DEC=90°,∴∠APE=∠DEC,
(結論1).
由折疊的性質知，
∴在 中，
即 (結論2).
圖④結論:1.△PAE∽△ACD;2.△PAE∽△CAB
自主證明：
圖⑤結論:1.過點 E 作EG⊥BC 于點G,連接. 則
證明:由折疊的性質知,BB'⊥EF,∴∠B'BC+∠EFB=90°,∵EG⊥BC,∴∠EGF=90°,
∴∠FEG+∠EFB=90°,∴∠B'BC=∠FEG,∵∠BCB'=90°,∴△EFG∽△BB'C;
圖⑤結論:2.△A'EP∽△DB'P∽△CFB';
證明:由折疊的性質知,∠A'=∠A=90°,∵四邊形ABCD為矩形,∴∠PDB'=∠B'CF=90°,
∵∠A'PE=∠DPB',∴△A'EP∽△DB'P.由折疊的性質知,∠A'B'F=∠ABC=90°,
∴∠FB'C+∠PB'D=90°,∵∠DPB'+∠PB'D=90°,∴∠FB'C=∠DPB',
∴△DB'P∽△CFB',∴△A'EP∽△DB'P∽△CFB';
圖⑤結論：3.若點 B'和點D 重合，則四邊形BEB'F是菱形
證明:如圖,由折疊的性質知AB=A'B',AE=A'E,∠BAE=∠B'A'E=90°,
∴△ABE≌△A'B'E,A'E∥B'F,
∵AB'∥BC,∴四邊形BEB'F是平行四邊形,
∴ 四邊形 BEB'F 是菱形.
模型解題三步法
例1 如圖,在矩形ABCD中,點E 是邊AD上一點,將△ABE沿BE折疊得到△A'BE,點 恰好落在對角線BD上.若AB=6,AE=3,則△A'ED的面積為 .
例2 如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=9,點E,F分別在邊AD,BC上,將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點 D 落在AB邊上的點 P處，點C 落在點( 處,且BF=6,則線段AE的長為 .
BF=AB=CD
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題以類解
1.如圖，將矩形紙片ABCD 放入平面直角坐標系中，邊BC在x軸上且過原點，連接OD，將紙片沿 OD 折疊，使點 C恰好落在邊AB上的C'處,若AB=10,BC=6,則點 C'的坐標為 .
2.小穎將矩形紙片ABCD 按如圖所示的方式折疊，折完后，發現形成的四邊形 AECF 是菱形.若AB=6,則AD 的長為 .
3.如圖，在矩形ABCD 中，將矩形沿對角線BD折疊，點A 的對應點為點A'，A'D交BC于點E,若AB=12,AD=18,則 sin∠A'BE 的值為 .
4. 如圖，在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P為DC邊上的動點(點 P不與點 D，C重合)，將紙片沿AP 折疊.
(1)當四邊形ADPD'是正方形時,CD'的長為 ;
(2)當 CD'的長最小時,PC 的長為 .
5. 如圖,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=12,點E 是 AB 的中點,點 F 是 AD 邊上的一個動點，將△AEF 沿 EF 所在直線翻折，得到△A'EF,連接A'C,A'D,則當△A'DF 是直角三角形時，FD 的長為 .
6. 如圖,在矩形ABCD 中,點 E 在 CD 邊上,將△BCE沿 BE 折疊,使點 C 落在對角線BD上的點F處，連接AF.若點A，E，F在同一條直線上，給出以下結論：
①∠ABE=∠AEB;②S△BEF=S△ADF;
③△ADE≌△BFA;④BE=DE.
其中正確結論的序號是 .(把所有正確結論的序號都選上)
7.如圖①，折疊矩形紙片ABCD，具體操作：①點E 為AD邊上一點(不與點A，D重合)，把△ABE沿 BE 所在的直線折疊，A 點的對稱點為 F 點;②過點 E 對折∠DEF,折痕 EG所在的直線交 DC 于點 G，D點的對稱點為H點.若AB=3,BC=5.
(1)點E 在移動的過程中，求DG的最大值；
(2)如圖②,若點 C 恰在直線 EF 上,連接DH,求線段 DH的長.
模型展現
圖②結論：自主證明：
由折疊的性質得,∠EA'B'=∠EAB=90°,AB=A'B',AE=A'E,
∴△ABE≌△A'B'E(SAS).
圖④結論：自主證明：
∵四邊形ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,∴∠PAE=∠ACD,由折疊可知∠PEC=∠ABC=90°,
∴∠PEA=∠ADC=90°
∴ △PAE∽△ACD(結論1).
∵∠PAE=∠CAB,∠PEA=∠CBA,
∴△PAE∽△CAB(結論2).
模型解題三步法
例 1 6 【解析】找模型：是否存在矩形折疊：△ABE 沿 BE 折疊，抽離模型：如解圖，用模型：根據“矩形的翻折”模型得，△A'DE∽△ADB,∴ADD=A'E,即 解得A'D=4或A'D=0(舍去),∵∠BA'E=∠BAE=
例2 4 【解析】找模型：是否存在矩形折疊：矩形 ABCD 沿直線 EF 折疊，抽離模型：如解圖，用模型：連接PF，由“矩形的翻折”模型及BF=6得,Rt△PBF≌Rt△FC'P(HL),∴PB=C'F=CF=BC-BF=3,∴PA=AB-PB=6-3=3.設AE=x,則 ED=9-x=PE,在Rt△APE中, 即 x) ,解得x=4,∴AE的長為4.
題以類解
【解析】找模型：是否存在矩形折疊:△OCD 沿 OD 折疊,抽離模型:如解圖,用模型:根據折疊的性質得,C'D=CD=10,在 Rt△ADC'中, =10-8=2,設BO=a,則CO=C'O=6-a,在Rt△BOC'中, ，解得 又∵點 C'在第二象限，∴點 C'的坐標為
2. 2 【解析】找模型：是否存在矩形折疊：△ADF 沿AF 折疊,△BCE 沿 CE 折疊,抽離模型：如解圖，用模型：∵四邊形 AECF 是菱形,AB=6,設BE=x,∴AE=6-x,∴CE=6-x,∴∠FCO=∠ECO,∵∠ECO=∠ECB(折疊的性質),∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°,2BE=CE,∴CE=2x,∴2x=6-x,解得x=2,∴CE=4,∴AD=BC=CE·cos30°=2
3. 【解析】∵ 四邊形ABCD 是矩形,∴∠A=∠C=90°,AB=CD,根據折疊的性質可知,∠A'=∠A=90°,A'B=AB=CD,∵ ∠A'EB=∠CED,∴△A'EB≌△CED,∴BE=DE,A'E=CE.在Rt△CDE中, (勾股定理)，即 解得CE=5,
4. (1) ;(2) 【解析】(1)∵四邊形ADPD'是正方形，四邊形 ABCD 是矩形，∴點 D'位于AB上,BC=AD=3,∴AD'=AD=3(折疊的性質),
(2)如解圖,∵四邊形ABCD 是矩形,∴AC= -AD',∴當 D'在AC 上時,CD'取得最小值, ,設PC=x,則 PD=4-x,在Rt△PCD'中,由勾股定理可得: 解得
5. 或7 【解析】當△A'DF 為直角三角形時，可分兩種情況進行討論，如解圖①，當∠DA'F=90°時,∵∠EA'F=∠A=90°,∴E,A',D在同一直線上，由題可得， 5=A'E,在 Rt△ADE 中, ∴A'D=13-5=8,∵∠DA'F=∠A,∠A'DF=∠ADE,∴ △A'DF∽△ADE(兩組對應角分別相等的兩三角形相似)， 即 解得 如解圖②,當∠A'FD=90°時， 由題可得， ∠AFA'= 45°, ∴ ∠AEF = ∠AFE = 45°,∴AF=AE=5,∴DF=AD-AF=12-5=7;綜上所述，DF的長為 或7.
6. ①②③ 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠ABE =∠BEC,∵將△BCE沿 BE 折疊,使點 C 落在對角線 BD 上的點 F 處,∴∠BEC=∠AEB,∴ ∠ABE =∠AEB,故①正確;∵AD=BC, 即 故②正確;∵BC⊥CD,把△BCE 沿 BE對折,使點 C 落在對角線 BD 上的點 F 處,∴∠BFE=∠C=90°,∵A,E,F在同一條直線上,∴∠AFB=90°,∴ ∠ABF+∠FAB =90°,∵四邊形 ABCD 是矩形,∴ ∠DAE+∠FAB=90°,∴∠DAE=∠ABF,∵ ∠ABE=∠AEB,∴AB = AE,△ADE≌△BFA(AAS)
(一線三垂直模型),故③正確;若 BE=DE,則 ∠EDB = ∠EBD, 而 ∠EDB = ∠ABD,∠EBD=∠EBC,∴∠ABD=∠EBD=∠EBC,∵ ∠ABD+∠EBD+∠EBC=90°,∴ ∠ABD= 但根據已知條件不能得到 故④不正確.綜上所述，正確的結論有①②③.
7. 解:(1)由折疊可知∠AEB=∠FEB,∠DEG=∠HEG,
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG=180°,
∴ ∠AEB+∠DEG=90°,
∵四邊形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DEG,
∴△ABE∽△DEG,
設AE=x,
∴當 時，DG有最大值，最大值為
(2)由折疊可知∠AEB =∠FEB,AE=EF,AB=BF=3,∠BFE=∠A=90°,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∴∠FEB=∠EBC,
∴CE=CB=5,
∵點 C 在直線EF上,
∴∠BFC=90°,CF=5-EF=5-AE,
∴AE=EF=5-4=1,
由折疊可知EG垂直平分線段 DH，

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