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模型30 “垂美四邊形”模型
模型展現(xiàn)
定義 對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形
圖示
條件 在四邊形ABCD 中,AC⊥BD.
結論 1. AB +CD =AD +BC ; 2. S = AC·BD
結論分析
結論1：
證明：∵AC⊥BD，根據(jù)勾股定理得：
結論
自主證明：
模型解題三步法
例 如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O， 若 則
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題以類解
1.(模型構造) 【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與 BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關系 寫出你的猜想，并說明理由；
【拓展延伸】
如圖②,分別以 Rt△ABC 的直角邊 AC 和斜邊AB 為邊向外作正方形 ACFG 和正方形ABDE,連接 CE,BG,GE,CE 與 BG交于點O,點H 為 GE 的中點,連接 OH,已知AC=3,AB=5,求OH的長.
2.定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)寫出一種你學過的垂美四邊形 ；
(2)如圖①,點 O 是垂美四邊形 ABCD 對角線的交點,E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,連接OE,OF,OG,OH,分別記四邊形AEOH,四邊形BEOF,四邊形CGOF,四邊形 DHOG 的面積為 S ,S ,S ,S ,求 S ,S ,S ,S 間的數(shù)量關系;
(3)如圖②，四邊形ABCD 是垂美四邊形，若AB=4,BC=2,CD=5,求AD的長.
自主證明：
模型解題三步法
例 13 【解析】找模型 圖形背景是否為四邊形：四邊形ABCD；四邊形中是否存在垂直的對角線:AC⊥BD;抽離模型：如解圖，用模型
根據(jù)“垂美四邊形”模型得 ∵ AD
題以類解
1.解：【問題發(fā)現(xiàn)】
猜想：
理由:∵AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得：
【拓展延伸】
如解圖，連接 CG，BE,設AB,CE交于點M,
∵ ∠CAG = ∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE(等角代換),在△GAB 和△CAE中,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC.
又∵∠AEC+∠AME=90°,∠OMB=∠AME,
∴∠ABG+∠AME=∠ABG+∠OMB=90°,
∴∠BOM=90°,即CE⊥BG,
∴ 四邊形 CGEB 是垂美四邊形(垂美四邊形的定義)，
(“垂美四邊形”模型)，
∵AC=3,AB=5,
(負值已舍去)，
(直角三角形斜邊中線性質).
2. 解:(1)正方形(或菱形);
(2)如解圖①，連接AC，BD，由垂美四邊形的定義可知AC⊥BD,
則∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
又∵E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,
(3)如解圖②,連接AC,BD交于點 O,由垂美四邊形的定義可知AC⊥BD，
在 Rt△AOD中,
在 Rt△AOB 中,
在 Rt△BOC 中,
在 Rt△DOC中,
∵AB=4,BC=2,CD=5,
即 (負值已舍去).

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