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第一章 相交線與平行線
1.1 直線的相交 第1課時
一、實際情境，提出問題
二、問題解決，獲取新知——這兩條直線所成的四個角之間有什么關系？
【新知1-例1】下面圖形中，兩條直線相交的有 ①③ 。
① ② ③ ④
【解析】直線可以往兩個方向延長，圖③延長后，兩條直線相交。
（變式練）滿足直線AB與射線CD相交的圖形可能是（　D　）。
A． B． C． D．
【新知1-例2】判斷對錯，并說明理由：兩條不同的直線不能有兩個或更多公共交點。
答：兩條直線相交如果有2個或以上交點，則兩直線重合，即為一條直線，故兩條不同的直線不能有兩個或更多公共交點，正確。
【新知1-例3】為了探究同一平面內的幾條不同的直線相交最多能產生多少個交點，能把平面最多分成幾部分，我們從最簡單的情形入手，如圖所示。
列表如下：
直線條數 最多交點個數 把平面最多分成的部分數
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
（1）當直線條數為5時，最多有 10 個交點，可寫成和的形式為 1+2+3+4 ；把平面最多分成 16 部分，可寫成和的形式為 1+1+2+3+4+5 。
（2）當直線條數為10時，最多有 45 個交點，把平面最多分成 56 部分。
（3）當直線條數為n時，最多有 個交點，把平面最多分成 部分。
【新知1-例4】任意畫三條不重合的直線，交點的個數可能是（　C　）。
A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能確定
【解析】任意畫三條直線，相交的情況有四種可能：
①三條直線，沒有交點（小學學過平行線）；
②三條直線相交于同一點，一個交點；
③兩直線平行被第三直線所截，得到兩個交點；
④兩直線相交得到一個交點，又被第三直線所截，共三個交點。
（變式練）在同一平面內有四條直線，每兩條直線都相交，則這四條直線的交點共有（ D ）
A．6個 B．1個或4個
C．6個或4個 D．1個或4個或6個
【解析】如下列三種情況，交點個數分別是：1個、4個、6個。
【新知2-例1】下面圖形中，∠1與∠2互為對頂角的是 ①⑤ 。
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
【新知2-例2】如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，寫出圖中所有的對頂角。
解：圖中對頂角有：∠AOC與∠BOD，∠AOF與∠BOE，∠COF與∠DOE，∠COB與∠DOA，∠BOF與∠AOE，∠DOF與∠COE。
【新知2-例3】（1）探索規律：借助【新知1-例3】的圖，探究同一平面內不同的幾條直線，每兩條線相交（兩兩相交），總結此類對頂角的對數。
1條直線時，形成 0 對對頂角；2條直線相交時，形成 2 對對頂角；3條直線兩兩相交時，形成 6 對對頂角；4條直線兩兩相交時，形成 12 對對頂角；n條直線兩兩相交時，形成 n(n-1) 對對頂角。
（2）反思：下圖中，每個圖形成的對頂角對數，能用n(n-1)計算嗎？
答：可以。每圖都屬于n條不同的直線兩兩相交的情況，可以用規律n(n-1)求出有6對對頂角。
（3）運用規律：
①9條不同的直線兩兩相交，能形成 72 對對頂角。
②如圖，直線EF交∠AOB的兩邊于C，D兩點，圖中有 4 對對頂角。(思考：此圖能直接用規律計算嗎？為什么？）
答：此圖不能直接用規律計算，3條線中有一條不是直線。
【新知3-例1】如圖，直線AB與直線CD相交于點O，若∠AOC=30°，則∠BOD= 30 °，∠COB= 150 °，∠AOD= 150 °。
【新知3-例2】如圖，直線AB和CD相交于點O，∠DOF=115°，OE平分∠BOF，∠EOF=25°，求∠AOC的度數。
解：因為OE平分∠BOF，∠EOF=25°，
所以∠BOF=2∠EOF=50°，
所以∠BOD=∠DOF-∠BOF=115°-50°=65°，
又因為∠AOC與∠BOD互為對頂角，
所以∠AOC=65°。
【新知3-例3】（培優）如圖，已知點O是直線AB上一點，且∠AOC=∠BOD，那么C，O，D三點在同一條直線上嗎？請說明理由。
解：C，O，D三點在同一條直線上。理由如下：
因為點O在直線AB上，所以∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD=180°，又因為∠AOC=∠BOD，所以∠BOD+∠COB=180°，所以∠COB=∠AOD，根據對頂角的概念，可得OD與OC互為反向延長線，所以C，O，D三點在同一條直線上。
1.兩條直線相交的概念：如果兩條直線只有 一個 公共點,就說這兩條直線相交；這個公共點叫作這兩條直線的 交點 。
2.同一平面內，兩條直線的交點個數可能是 0或1 個。
3.（培優）若同一平面，一共有條不重合的直線，交點的個數最多是 個，把平面最多分成 個部分。
4.對頂角的概念及其性質：（兩直線相交→四角→兩對對頂角）
（1）概念：如圖，直線AB與CD相交，其交點是O，∠1，∠2，∠AOD，∠COB是直線AB與CD所成的角。我們把其中相對的任何一對角：我們把∠1與∠2或∠AOD與∠BOC叫作 對頂角 。
（2）對頂角 相等 。
符號語言：因為∠1與∠2互為對頂角，所以∠1=∠2。
寫出上圖中的兩組對頂角： ∠1 = ∠2 ， ∠AOD = ∠COB 。
與∠1互補的角有 ∠AOD、∠COB ；與∠2互補的角有 ∠AOD、∠COB 。
練習目標：①掌握直線相交和交點的概念。②理解對頂角概念，探索并掌握對頂角相等的性質。
1.根據語句“直線a與直線b相交，交點為A”畫出的圖形是（　C　）。
A． B． C． D．
2.下列說法中：①兩條直線相交只有一個交點；②兩條直線不是一定有公共點；③兩條不同的直線最多有2個交點。其中正確的是（　A　）。
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3.圖中對頂角有（　D　）對。
A．3 B．4 C．5 D．6
第2題圖 第3題圖
4.如圖，一把張開的剪刀，給我們兩條直線相交的形象，則圖中∠1，∠2，∠3之間的關系不一定成立的是（　B　）
A．∠1+∠2=180° B．∠1-∠3=90° C．∠2=∠3 D．∠3+∠1=180°
5.下列說法正確的有（　B　）
①對頂角相等；②互補的兩個角是鄰補角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角一定不相等。
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6.如圖給出的射線、直線、線段，其中不能相交的圖形有 ②④ 。
7.如圖1，要測量兩堵圍墻所形成的∠AOB的度數，但人不能進入圍墻，如圖2，小軒分別延長AO至點C，BO至點D，則可得∠AOB=∠COD，小軒測量∠AOB的依據是 對頂角相等 。
第7題圖 第8題圖
8.如圖所示，當光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發生了改變，這就是光的折射現象。若∠1=42°，∠2=28°，則光的傳播方向改變了 14 °。
9.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE把∠BOD分成兩部分。
（1）圖中∠AOC的對頂角為 ∠BOD ，∠BOE的鄰補角為 ∠AOE ；
（2）若∠AOC=80°，∠DOE=48°，求∠AOE的度數。
解：由條件可知∠BOD=80°，
又因為∠DOE=48°，且∠BOD=∠BOE+∠EOD，
所以∠EOD=80°-48°=32°。
所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-32°=148°。
10.如圖，若線段PC與線段OA有一個公共點，則點C可以是（　A　）
A．點D B．點E C．點Q D．點M
第10題圖 第11題圖
11.如圖，當光線從空氣射入水中，會發生折射與反射現象，其中與∠AOM互為對頂角的是（　D ）。
A．∠MOE B．∠NOB C．∠B′OB D．∠B′ON
12.如圖，取兩根木條a,b,將它們釘在一起，得到一個相交線的模型，固定木條a,轉動木條b,當∠1減小5°時，下列說法正確的是（　A　）
A．∠2增大5° B．∠3增大5°
C．∠4減小5° D．∠2與∠4的和增大5°
第12題圖 第13題圖
13.如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1＝40°，若∠3比∠2的2倍多10°，則∠2的度數為
（　C　）。
A．20° B．25° C．30° D．35°
14.一張大餅，切18刀（不疊放），最多可以分成的塊數為（　B　）塊。
A．160 B．172 C．200 D．211
15.平面內8條不重合的直線相交，最多有 28 個交點。
16.平面內有兩兩相交的4條直線，如果最多有m個交點，最少有n個交點，那么m-n= 5 。
17.若n條不同的直線兩兩相交時，可形成 n(n-1) 對對頂角。
18.如圖，直線AB、CD相交于點O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE。若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數。
解：因為∠AOC：∠AOD＝1：5，所以∠AOC180°＝30°，所以∠BOD＝∠EOD＝30°，所以∠AOE＝120°，所以∠EOF∠AOE＝60°。
19.如圖所示，直線AB、CD相交于點O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度數。
解：因為∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，
所以∠EOC90°＝30°，
因為∠AOD＝80°，
所以∠BOC＝∠AOD＝80°，
所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°。
20.隨著科技的發展，在公共區域內安裝“360°智能全景攝像頭”成為保護人民生命財產安全的有效手段，如圖1所示，這是某倉庫的平面圖，點Q是圖形內任意一點，點P1是圖形內的點，連接P1Q，若線段P1Q總是在圖形內或圖形上，則稱P1是“完美觀測點”，此處便可安裝攝像頭，而P2不是“完美觀測點”。如圖2，以下各點是完美觀測點的是（　D　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【解析】根據題意，可得某點與圖形上的任意一點的所有線段中，與圖形中的四周沒有交點，改點即為與“完美觀測點”。如圖，虛線上及其內部的點都是“完美觀測點”。因為點M4在虛線上，所以點M4是“完美觀測點”。
21.在平面內，若兩條直線的最多交點數記為a1，三條直線的最多交點數記為a2，四條直線的最多交點數記為a3，…，依此類推，則 。
22.如圖，直線CD，EF相交于點O，射線OA在∠COF的內部，∠DOF∠AOD。
（1）如圖1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度數；
（2）如圖2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），將射線OA繞點O逆時針旋轉60°，到OB，
①求∠EOB的度數（用含α的式子表示）；
②觀察①中的結果，直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數量關系。
（3）如圖3，0°＜∠AOC＜120°，將射線OA繞點O順時針旋轉60°，到OB，請直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數量關系。
解：（1）因為∠AOC＝120°，所以∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
所以∠DOF∠AOD＝20°，所以∠EOC＝∠DOF＝20°；
（2）①因為∠AOC＝α，所以∠AOD＝180°﹣α，所以∠DOF∠AOD＝60°，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°，由題意得：∠AOB＝60°，所以∠BOC＝α﹣60°，
所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°α﹣60°；
②觀察①中結果可得：∠EOB，理由：因為∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝∠AOC﹣60°，所以∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC，所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC﹣60°∠AOC；
（3）①當0°＜∠AOC≤90°時，
如圖，
因為∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°，
所以∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC，
所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°；
②當90°＜∠AOC≤120°時，
如圖，
因為∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°，
所以∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC，
所以∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°，
所以∠EOB＝360°﹣（∠EOC+∠BOC）＝360°∠AOC﹣120°＝240°∠AOC。
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第一章 相交線與平行線
1.1 直線的相交 第1課時
一、實際情境，提出問題
二、問題解決，獲取新知——這兩條直線所成的四個角之間有什么關系？
【新知1-例1】下面圖形中，兩條直線相交的有 。
① ② ③ ④
（變式練）滿足直線AB與射線CD相交的圖形可能是（　　）。
A． B． C． D．
【新知1-例2】判斷對錯，并說明理由：兩條不同的直線不能有兩個或更多公共交點。
【新知1-例3】為了探究同一平面內的幾條不同的直線相交最多能產生多少個交點，能把平面最多分成幾部分，我們從最簡單的情形入手，如圖所示。
列表如下：
直線條數 最多交點個數 把平面最多分成的部分數
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
（1）當直線條數為5時，最多有 個交點，可寫成和的形式為 ；把平面最多分成 部分，可寫成和的形式為 。
（2）當直線條數為10時，最多有 個交點，把平面最多分成 部分。
（3）當直線條數為n時，最多有 個交點，把平面最多分成 部分。
【新知1-例4】任意畫三條不重合的直線，交點的個數可能是（　　）。
A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能確定
（變式練）在同一平面內有四條直線，每兩條直線都相交，則這四條直線的交點共有（ ）
A．6個 B．1個或4個
C．6個或4個 D．1個或4個或6個
【新知2-例1】下面圖形中，∠1與∠2互為對頂角的是 。
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
【新知2-例2】如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，寫出圖中所有的對頂角。
【新知2-例3】（1）探索規律：借助【新知1-例3】的圖，探究同一平面內不同的幾條直線，每兩條線相交（兩兩相交），總結此類對頂角的對數。
1條直線時，形成 對對頂角；2條直線相交時，形成 對對頂角；3條直線兩兩相交時，形成 對對頂角；4條直線兩兩相交時，形成 對對頂角；n條直線兩兩相交時，形成 對對頂角。
（2）反思：下圖中，每個圖形成的對頂角對數，能用n(n-1)計算嗎？
答：可以。每圖都屬于n條不同的直線兩兩相交的情況，可以用規律n(n-1)求出有6對對頂角。
（3）運用規律：
①9條不同的直線兩兩相交，能形成 對對頂角。
②如圖，直線EF交∠AOB的兩邊于C，D兩點，圖中有 對對頂角。(思考：此圖能直接用規律計算嗎？為什么？）
【新知3-例1】如圖，直線AB與直線CD相交于點O，若∠AOC=30°，則∠BOD= °，∠COB= °，∠AOD= °。
【新知3-例2】如圖，直線AB和CD相交于點O，∠DOF=115°，OE平分∠BOF，∠EOF=25°，求∠AOC的度數。
【新知3-例3】（培優）如圖，已知點O是直線AB上一點，且∠AOC=∠BOD，那么C，O，D三點在同一條直線上嗎？請說明理由。
1.兩條直線相交的概念：如果兩條直線只有 公共點,就說這兩條直線相交；這個公共點叫作這兩條直線的 。
2.同一平面內，兩條直線的交點個數可能是 個。
3.（培優）若同一平面，一共有條不重合的直線，交點的個數最多是 個，把平面最多分成 個部分。
4.對頂角的概念及其性質：（兩直線相交→四角→兩對對頂角）
（1）概念：如圖，直線AB與CD相交，其交點是O，∠1，∠2，∠AOD，∠COB是直線AB與CD所成的角。我們把其中相對的任何一對角：我們把∠1與∠2或∠AOD與∠BOC叫作 。
（2）對頂角 。
符號語言：因為∠1與∠2互為對頂角，所以∠1=∠2。
寫出上圖中的兩組對頂角： = ， = 。
與∠1互補的角有 ；與∠2互補的角有 。
練習目標：①掌握直線相交和交點的概念。②理解對頂角概念，探索并掌握對頂角相等的性質。
1.根據語句“直線a與直線b相交，交點為A”畫出的圖形是（　　）。
A． B． C． D．
2.下列說法中：①兩條直線相交只有一個交點；②兩條直線不是一定有公共點；③兩條不同的直線最多有2個交點。其中正確的是（　　）。
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3.圖中對頂角有（　　）對。
A．3 B．4 C．5 D．6
第2題圖 第3題圖
4.如圖，一把張開的剪刀，給我們兩條直線相交的形象，則圖中∠1，∠2，∠3之間的關系不一定成立的是（　　）
A．∠1+∠2=180° B．∠1-∠3=90° C．∠2=∠3 D．∠3+∠1=180°
5.下列說法正確的有（　　）
①對頂角相等；②互補的兩個角是鄰補角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角一定不相等。
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6.如圖給出的射線、直線、線段，其中不能相交的圖形有 。
7.如圖1，要測量兩堵圍墻所形成的∠AOB的度數，但人不能進入圍墻，如圖2，小軒分別延長AO至點C，BO至點D，則可得∠AOB=∠COD，小軒測量∠AOB的依據是 。
第7題圖 第8題圖
8.如圖所示，當光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發生了改變，這就是光的折射現象。若∠1=42°，∠2=28°，則光的傳播方向改變了 °。
9.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE把∠BOD分成兩部分。
（1）圖中∠AOC的對頂角為 ，∠BOE的鄰補角為 ；
（2）若∠AOC=80°，∠DOE=48°，求∠AOE的度數。
10.如圖，若線段PC與線段OA有一個公共點，則點C可以是（　A　）
A．點D B．點E C．點Q D．點M
第10題圖 第11題圖
11.如圖，當光線從空氣射入水中，會發生折射與反射現象，其中與∠AOM互為對頂角的是
（ ）。
A．∠MOE B．∠NOB C．∠B′OB D．∠B′ON
12.如圖，取兩根木條a,b,將它們釘在一起，得到一個相交線的模型，固定木條a,轉動木條b,當∠1減小5°時，下列說法正確的是（　　）
A．∠2增大5° B．∠3增大5°
C．∠4減小5° D．∠2與∠4的和增大5°
第12題圖 第13題圖
13.如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1＝40°，若∠3比∠2的2倍多10°，則∠2的度數為
（　　）。
A．20° B．25° C．30° D．35°
14.一張大餅，切18刀（不疊放），最多可以分成的塊數為（　　）塊。
A．160 B．172 C．200 D．211
15.平面內8條不重合的直線相交，最多有 個交點。
16.平面內有兩兩相交的4條直線，如果最多有m個交點，最少有n個交點，那么m-n= 。
17.若n條不同的直線兩兩相交時，可形成 對對頂角。
18.如圖，直線AB、CD相交于點O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE。若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數。
19.如圖所示，直線AB、CD相交于點O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度數。
20.隨著科技的發展，在公共區域內安裝“360°智能全景攝像頭”成為保護人民生命財產安全的有效手段，如圖1所示，這是某倉庫的平面圖，點Q是圖形內任意一點，點P1是圖形內的點，連接P1Q，若線段P1Q總是在圖形內或圖形上，則稱P1是“完美觀測點”，此處便可安裝攝像頭，而P2不是“完美觀測點”。如圖2，以下各點是完美觀測點的是（　D　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
21.在平面內，若兩條直線的最多交點數記為a1，三條直線的最多交點數記為a2，四條直線的最多交點數記為a3，…，依此類推，則 。
22.如圖，直線CD，EF相交于點O，射線OA在∠COF的內部，∠DOF∠AOD。
（1）如圖1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度數；
（2）如圖2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），將射線OA繞點O逆時針旋轉60°，到OB，
①求∠EOB的度數（用含α的式子表示）；
②觀察①中的結果，直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數量關系。
（3）如圖3，0°＜∠AOC＜120°，將射線OA繞點O順時針旋轉60°，到OB，請直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數量關系。
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