資源簡介

　實數
中考考點 考查頻率 新課標要求
實數的分類 ★★ 理解有理數、無理數的概念，知道實數是由有理數和無理數組成的
數軸、相反數、絕對值、倒數 ★★★ 了解實數與數軸上的點一一對應；能用數軸上的點表示實數；能借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數和絕對值.
科學記數法 ★★ 會用科學記數法表示數.
平方根、立方根 ★★ 了解平方根、算術平方根、立方根的概念,會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根；了解乘方與開方互為逆運算.
實數比較大小 ★★ 能用有理數估計一個無理數的大致范圍；能比較實數的大小.
實數的相關計算 ★★★ 理解乘方的意義；掌握有理數的加減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主)；理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算.
實數是初中數學的基礎內容，也是必考內容，試題形式多樣，考查較多的是實數與數軸結合、實數的混合運算及科學記數法，試題難度都不大，在實數的混合運算中，注意符號和運算順序是解題的關鍵，實數的混合運算涉及的知識點較多，包含去絕對值、非零數的0次冪、負整數指數冪及特殊角的三角函數值等，每個知識點都要求準確掌握.
1．實數的相關概念
（1）實數、b互為相反數，則+b=0．
（2）實數、b互為倒數，則b=1．
（3）絕對值：
（4）數軸
①數軸的三要素：原點、正方向、單位長度．
②任何有理數都可以用數軸上的點表示，有理數與數軸上的點是一一對應的．
③數軸上的點表示的數從左到右依次增大；原點左邊的數是負數，原點右邊的數是正數．
2．實數的大小比較
（1）絕對值比較法：兩個負數比較大小，絕大值大的反而?。?br/>（2）數軸比較法：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大．
（3）平方比較法：先將要平方的兩個數分別平方，再根據>0,b>0時，可由2>b2得到>b來比較大?。?br/>（4）取近以值法：首先對要比較的兩個數取近以值通過比較其近似值來比較兩個數的大?。?br/>（5）差值比較法．
3．科學記數法
（1）用科學記數法來表示較大的數，科學記數法的表示形式為×10n的形式，其中1≤||＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及n的值．
（2）用科學記數法來表示較小的數，科學記數法的表示形式為×的形式，其中1≤||<10，n為整數，當用科學記數法表示較小的數時，n等于原數從左邊起第一位不是零的數字前面的所有零的個數，確定n的值即可正確作答．
（3）近似數
①表示數據時，有時很難取得準確值，或者不必使用準確值時，我們可以用近似數來表示．
②用科學記數法表示的數的有效數字只與前面的有關，與的多少次方無關．
4．實數的運算
（1）有理數的運算法則可以推廣到實數中．
①加法法則
◆同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
◆絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
◆互為相反數的兩數相加，和為零；
◆一個數與零相加，仍得這個數．
②減法法則
減去一個數，等于加上這個數的相反數．用字母表示為：-b=+（-b）．
③乘法法則
◆法則一：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指“兩數相乘”的情況，如果因數超過兩個，就必須運用法則三）
◆法則二：任何數同0相乘，都得0；
◆法則三：幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數；
◆法則四：幾個數相乘，如果其中有因數為0，則積等于0．
④除法法則
◆除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數．
◆兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．
◆乘積是1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為·=1（≠0），就是說和互為倒數，即是的倒數，是的倒數．
⑤乘方
◆負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪的正數．
◆正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0．
（2）有理數的運算律可以推廣到實數中．
◆加法交換律：+b=b+
◆加法結合律：（+b）+c=+（b+c）
◆乘法交換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等．即b=b
◆乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等．即（b）c=（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加．即a（b+c）=b+c．
（3）做實數的混合運算時，應注意以下運算順序：
（1）先乘方、開方，再乘除，最后加減；
（2）同級運算，從左到右進行；
（3）如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行．
實數的分類
（2024山東省日照·中考真題）實數，，，中無理數是( )
B. C. D.
【答案】C
【解析】解：有理數：，，；無理數：，
故選：．
根據無理數、有理數的定義即可進行判斷．
此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如，，每兩個之間依次多個等形式．
1.在數，，，，，2023，，，0，中，負分數有　　
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】
【解析】解：負分數有，，，，，共6個，
故選：．
2.下列數中，是正整數的是　　
A． B．0 C．1 D．
【答案】
【解析】解：這四個數中，只有1是正整數，
故選：．
3.在，3.14，，0.1414，中，有理數的個數是　　
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】
【解析】解：在，3.14，，0.1414，中，有理數的個數為，3.14，，0.1414，共4個，
故選：．
4.已知下列各數：，2.57，6，，，，，0，其中非負數有　　
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】
【解析】解：非負數有2.57，6，，0，共4個，
故選：．
5.下列各數中，是負整數的是　　
A．0 B．2 C． D．
【答案】
【解析】解：．0是整數，不是負整數，故本選項不合題意；
．2是正整數，不是負整數，故本選項不合題意；
．是負分數，故本選項不合題意；
．是負整數，故本選項符合題意．
故選：．
數 軸
（2024四川省南充·中考真題）如圖，數軸上表示的點是( )
A. 點 B. 點 C. 點 D. 點
【答案】C
【解析】解：，
，
由數軸可知，只有點在和之間，
故選：．
1.如圖，數軸上的兩個點分別表示數和，則可以是　　
B． C．1 D．2
【答案】
【解析】解：根據數軸得：，
可以是．
故選：．
2.如圖，數軸上點和點分別表示數和，則下列式子正確的是　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：、由圖得，，故不正確，不符合題意；
、、異號，，故正確，符合題意；
、，，故不正確，不符合題意；
、，，故不正確，不符合題意；
故選：．
3.如圖，數軸上點、、、所表示的數分別是、、、，若，，則原點的位置在　　
點的左邊 B．線段上 C．線段上 D．線段上
【答案】
【解析】解：，
要么，、、，要么，，，，
又，
，，，，
原點的位置在線段上．
故選：．
4.已知點為數軸上表示的點，當點沿數軸移動6個單位長度到點時，點所表示的數為　　
A． B．3 C．和3 D．和9
【答案】
【解析】解：根據題意可得，
①當點向正半軸移動時，點表示的數為，
②當點向負半軸移動時，點表示的數為，
所以點表示的數為或3．
故選：．
5.有理數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由數軸可知，，，且，
，，
故選：．
比較大小
（2024山東省德州·中考真題）在，，，這四個數中，最小的數是( )
B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
最小的數是：．
故選：．
1.在四個數，0，1，2中，最小的數是　　
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】
【解析】解：，
最小的數是，
故選：．
2.有理數，在數軸上的位置如圖所示，則數，，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：將，在數軸上表示為：
．
故選：．
3.在數軸上表示和5.2之間的整數有　　
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【答案】
【解析】解：如圖所示，
由圖可知，數軸上和5.2之間的整數有，，0，1，2，3，4，5共8個．
故選：．
4.、兩數在數軸上的位置如圖所示，將、、、用“”連接，正確的是　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：令，，則，，
則可得．
故選：．
5.在，，0，四個數中，最小的數是　　
A． B． C．0 D．
【答案】
【解析】解：，
故最小的數是．
故選：．
相反數、倒數、絕對值
（2024黑龍江大慶·中考真題）下列各組數中，互為相反數的是( )
和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】解：
A、，和符號相反，互為相反數．
B、和互為倒數．
C、，兩個數相等．
D、和的符號相反，但絕對值不相等；
故選：．
1.下列互為倒數的是　　
A．3和 B．和2 C．3和 D．和
【答案】
【解析】解：、，
和互為倒數，符合題意；
、，
和2不互為倒數，不符合題意；
、，
和不互為倒數，不符合題意；
、，
和不互為倒數，不符合題意．
故選：．
2.的絕對值是　　
A． B． C． D．2023
【答案】
【解析】解：，
故選：．
3.的相反數是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：的相反數是．
故選：．
4.的相反數是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
的相反數是，即，
故選：．
5.的倒數是　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】解：的倒數是2，
故選：．
實數的運算
（2024黑龍江大慶·中考真題）求值：．
【答案】解：原式
．
1.計算的結果等于　　
A． B．2 C． D．15
【答案】
【解析】解：，
計算的結果等于．
故選：．
2.計算的值是　　
A．3 B． C．1 D．
【答案】
【解析】解：原式
，
故選：．
3.一個數的立方是，則這個數是　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
即的立方根是，
故選：．
4.下列四個式子中，計算結果最大的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
，
計算結果最大的是選項．故選：．
科學計數法
（2024山東省濰坊·中考真題）年月份，低空經濟首次被寫入政府工作投告截止年底，全國注冊通航企業家、無人機萬架，運營無人機的企業達萬家．將萬用科學記數法表示為( )
B. C. D.
【答案】B
【解析】解：萬，
故選：．
1.有一種新冠變異病毒的平均直徑為0.0000033毫米，則0.0000033用科學記數法表示為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．
故選：．
2.人體中樞神經系統中含有1千億個神經元．某個神經元的直徑約為52微米，52微米為米．將用小數表示為　　
A．0.0052 B．0.00052 C．0.000052 D．0.0000052
【答案】
【解析】解：，
故選．
3.據統計我國每年浪費的食物總量折合糧食約499.5億千克，把這個數精確到十億位，用科學記數法表示為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：近似數499.5億，精確到十億位，用科學記數法表示為，
故選：．
4.2023年8月3日晚天空上演了“土星合月”的天文趣象，土星的直徑約為，大約是月球直徑的33倍．數據116000用科學記數法表示為　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
故選：．
5.納米是一種長度單位，1納米米，已知某種植物花粉的直徑約為31000納米，用科學記數法表示該種花粉的直徑為　　
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】解：（米，故選：．　實數
中考考點 考查頻率 新課標要求
實數的分類 ★★ 理解有理數、無理數的概念，知道實數是由有理數和無理數組成的
數軸、相反數、絕對值、倒數 ★★★ 了解實數與數軸上的點一一對應；能用數軸上的點表示實數；能借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數和絕對值.
科學記數法 ★★ 會用科學記數法表示數.
平方根、立方根 ★★ 了解平方根、算術平方根、立方根的概念,會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根；了解乘方與開方互為逆運算.
實數比較大小 ★★ 能用有理數估計一個無理數的大致范圍；能比較實數的大小.
實數的相關計算 ★★★ 理解乘方的意義；掌握有理數的加減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主)；理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算.
實數是初中數學的基礎內容，也是必考內容，試題形式多樣，考查較多的是實數與數軸結合、實數的混合運算及科學記數法，試題難度都不大，在實數的混合運算中，注意符號和運算順序是解題的關鍵，實數的混合運算涉及的知識點較多，包含去絕對值、非零數的0次冪、負整數指數冪及特殊角的三角函數值等，每個知識點都要求準確掌握.
1．實數的相關概念
（1）實數、b互為相反數，則+b=0．
（2）實數、b互為倒數，則b=1．
（3）絕對值：
（4）數軸
①數軸的三要素：原點、正方向、單位長度．
②任何有理數都可以用數軸上的點表示，有理數與數軸上的點是一一對應的．
③數軸上的點表示的數從左到右依次增大；原點左邊的數是負數，原點右邊的數是正數．
2．實數的大小比較
（1）絕對值比較法：兩個負數比較大小，絕大值大的反而小．
（2）數軸比較法：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大．
（3）平方比較法：先將要平方的兩個數分別平方，再根據>0,b>0時，可由2>b2得到>b來比較大?。?br/>（4）取近以值法：首先對要比較的兩個數取近以值通過比較其近似值來比較兩個數的大?。?br/>（5）差值比較法．
3．科學記數法
（1）用科學記數法來表示較大的數，科學記數法的表示形式為×10n的形式，其中1≤||＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及n的值．
（2）用科學記數法來表示較小的數，科學記數法的表示形式為×的形式，其中1≤||<10，n為整數，當用科學記數法表示較小的數時，n等于原數從左邊起第一位不是零的數字前面的所有零的個數，確定n的值即可正確作答．
（3）近似數
①表示數據時，有時很難取得準確值，或者不必使用準確值時，我們可以用近似數來表示．
②用科學記數法表示的數的有效數字只與前面的有關，與的多少次方無關．
4．實數的運算
（1）有理數的運算法則可以推廣到實數中．
①加法法則
◆同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
◆絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
◆互為相反數的兩數相加，和為零；
◆一個數與零相加，仍得這個數．
②減法法則
減去一個數，等于加上這個數的相反數．用字母表示為：-b=+（-b）．
③乘法法則
◆法則一：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指“兩數相乘”的情況，如果因數超過兩個，就必須運用法則三）
◆法則二：任何數同0相乘，都得0；
◆法則三：幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數；
◆法則四：幾個數相乘，如果其中有因數為0，則積等于0．
④除法法則
◆除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數．
◆兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．
◆乘積是1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為·=1（≠0），就是說和互為倒數，即是的倒數，是的倒數．
⑤乘方
◆負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪的正數．
◆正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0．
（2）有理數的運算律可以推廣到實數中．
◆加法交換律：+b=b+
◆加法結合律：（+b）+c=+（b+c）
◆乘法交換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等．即b=b
◆乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等．即（b）c=（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加．即a（b+c）=b+c．
（3）做實數的混合運算時，應注意以下運算順序：
（1）先乘方、開方，再乘除，最后加減；
（2）同級運算，從左到右進行；
（3）如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行．
實數的分類
（2024山東省日照·中考真題）實數，，，中無理數是( )
A. B. C. D.
1.在數，，，，，2023，，，0，中，負分數有　　
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
2.下列數中，是正整數的是　　
A． B．0 C．1 D．
3.在，3.14，，0.1414，中，有理數的個數是　　
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
4.已知下列各數：，2.57，6，，，，，0，其中非負數有　　
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
5.下列各數中，是負整數的是　　
A．0 B．2 C． D．
數 軸
（2024四川省南充·中考真題）如圖，數軸上表示 的點是( )
A. 點 B. 點 C. 點 D. 點
1.如圖，數軸上的兩個點分別表示數和，則可以是　　
A． B． C．1 D．2
2.如圖，數軸上點和點分別表示數和，則下列式子正確的是　　
A． B． C． D．
3.如圖，數軸上點、、、所表示的數分別是、、、，若，，則原點的位置在　　
A．點的左邊 B．線段上 C．線段上 D．線段上
4.已知點為數軸上表示的點，當點沿數軸移動6個單位長度到點時，點所表示的數為　　
A． B．3 C．和3 D．和9
5.有理數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是　　
A． B． C． D．
比較大小
（2024山東省德州·中考真題）在，，，這四個數中，最小的數是( )
A. B. C. D.
1.在四個數，0，1，2中，最小的數是　　
A．2 B．0 C．1 D．
2.有理數，在數軸上的位置如圖所示，則數，，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
3.在數軸上表示和5.2之間的整數有　　
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
4.、兩數在數軸上的位置如圖所示，將、、、用“”連接，正確的是　　
A． B． C． D．
5.在，，0，四個數中，最小的數是　　
A． B． C．0 D．
相反數、倒數、絕對值
（2024黑龍江大慶·中考真題）下列各組數中，互為相反數的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
1.下列互為倒數的是　　
A．3和 B．和2 C．3和 D．和
2.的絕對值是　　
A． B． C． D．2023
3.的相反數是　　
A． B． C． D．
4.的相反數是　　
A． B． C． D．
5.的倒數是　　
A．2 B． C． D．
實數的運算
（2024黑龍江大慶·中考真題）求值：．
1.計算的結果等于　　
A． B．2 C． D．15
2.計算的值是　　
A．3 B． C．1 D．
3.一個數的立方是，則這個數是　　
A．2 B． C． D．
4.下列四個式子中，計算結果最大的是　　
A． B． C． D．
科學計數法
（2024山東省濰坊·中考真題）年月份，低空經濟首次被寫入政府工作投告截止年底，全國注冊通航企業家、無人機萬架，運營無人機的企業達萬家．將萬用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
1.有一種新冠變異病毒的平均直徑為0.0000033毫米，則0.0000033用科學記數法表示為　　
A． B． C． D．
2.人體中樞神經系統中含有1千億個神經元．某個神經元的直徑約為52微米，52微米為米．將用小數表示為　　
A．0.0052 B．0.00052 C．0.000052 D．0.0000052
3.據統計我國每年浪費的食物總量折合糧食約499.5億千克，把這個數精確到十億位，用科學記數法表示為　　
A． B． C． D．
4.2023年8月3日晚天空上演了“土星合月”的天文趣象，土星的直徑約為，大約是月球直徑的33倍．數據116000用科學記數法表示為　　
A． B． C． D．
5.納米是一種長度單位，1納米米，已知某種植物花粉的直徑約為31000納米，用科學記數法表示該種花粉的直徑為　　
A．米 B．米 C．米 D．米

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