資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第6章 二元一次方程
6.2.3二元一次方程組和它的解—應用
學習目標與重難點
學習目標：1.使學生掌握通過列二元一次方程組解決實際問題的方法，能夠準確列出方程組并求解。
2.通過實例分析、小組討論等方式，引導學生經歷從實際問題到數學模型的轉化過程，培養他們的抽象思維和問題解決能力。
學習重點： 掌握通過列二元一次方程組解決實際問題的步驟和方法。
學習難點： 如何準確地將實際問題抽象為二元一次方程組，并理解方程組中各個量的實際意義
預習自測
一、知識鏈接
1.已知關于x、y的方程組，則下列結論中正確的是（ ）
①當a＝1時，方程組的解也是方程x+y＝2的解；②當x＝y時，a＝；③不論a取什么實數，2x+y的值始終不變．
A．①② B．①②③ C．②③ D．②
2、若方程組有正整數解，則整數a的值為____．
自學自測
3、已知某橋長850米，一列火車從橋上通過，測得火車開始上橋到完全過橋共用1分鐘，整列火車在橋上的時間為40秒，設火車的速度為x米/秒，車長為y米，下面所列方程組正確的是（ ）
A． B．
C． D．
教學過程
一、創設情境、導入新課
例 6 某蔬菜公司收購到某種蔬菜 ,準備加工后上市銷售. 該公司的加工能力是: 每天可以粗加工 或者精加工 . 現計劃用 15 天完成加工任務, 該公司應安排幾天粗加工, 幾天精加工 如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為 1000 元, 精加工后的利潤為 2000 元, 那么照此安排, 該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少元
分析 本題的關鍵是解答第一個問題, 即先求出安排粗加工和精加工的天數. 從題目的信息中我們可以得到這樣的等量關系:
(1)___________ +____________= 15；
(2)_____________ + _____________ = 140.
設粗加工和精加工的天數分別為 ,將兩個等量關系直接 “翻譯” 就可列出方程組.
解 設應安排 天粗加工, 天精加工. 根據題意,得
解這個方程組, 得
出售這些加工后的蔬菜共可獲利：
答:
二、新知導入
概括 在第 5 章中, 我們通過列一元一次方程解決了一些簡單的實際問題. 在這里, 又通過列二元一次方程組解決了另一些實際問題. 實際上, 有很多問題都存在著一些等量關系, 我們可以通過列方程或方程組的方法來處理. 列方程(或方程組) 解決實際問題的過程可以概括為:
要注意的是, 解決實際問題的方法往往是多種多樣的, 應該根據具體問題靈活選用.
拓展：
玻璃廠熔煉玻璃液，原料是石英砂和長石粉混合而成。要求原料中含二氧化硅70%，根據化驗，石英砂中含二氧化硅99%，長石粉中含二氧化硅67%。試問在3. 2t原料中，石英砂和長石粉各多少噸？
引導學生問題中涉及了哪些已知量和未知量？它們之間有何關系？
本題已知：______________________________?
又知：原料中石英砂和長石粉分別是________________?
未知量：________________
引出未知數，設石英砂x噸?長石粉y 噸，填寫下表：
石英砂/t 長石粉/t 總量/t
需要量 x y 3.2
含二氧化硅
解：設需石英砂xt,長石粉yt.（引入兩個未知數）
由所需總量，得:
由所含二氧化硅的總量，得 :
學生列方程組，并解答，老師巡視輔導。
設需要石英砂x t，長石粉y t.根據題意，得
解得
答：
【注意】列二元一次方程組解應用題的一般步驟：
（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知量和未知量，找出能夠表示題意兩個相等關系；
（2）設：將兩個未知數用字母設出來；
（3）列：根據這兩個相等關系列出必需的代數式，從而列出方程組；
（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數的值；
（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案.
三、課堂練習
【必做題】
1.解方程組：①②③④ ，比較適宜的方法是(　　)
A．①②用代入法，③④用加減法 B．①③用代入法，②④用加減法
C．②③用代入法，①④用加減法 D．②④用代入法，①③用加減法
2.已知關于，的二元一次方程組的解滿足與的值之和等于6，則的值為（　　）
A．8 B．-6 C．3 D．-3
3. 有大、小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.5噸，5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸. 求3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸？
【選做題】
4.若二元一次方程組 的解為 ，則m+n＝________.　 　
5.某學校計劃將校園內的一塊空地進行規劃，一部分建成籃球場，一部分建成綠化帶。改變后，預計籃球場和綠化帶的面積共有 600 平方米，綠化帶面積是籃球場面積的 25%。問：改變后籃球場和綠化帶的面積各為多少平方米？
【綜合拓展作業】
6.某農場有一塊梯形土地，計劃將一部分開墾為農田，一部分種植果樹。開墾后，預計農田和果樹的種植面積共有 180 公頃，果樹種植面積是農田面積的 40%。問：改變后農田和果樹的種植面積各為多少公頃？
總結反思、拓展升華
1.用方程(組)解實際問題的過程:
分析和抽象的過程包括:
(1)審題，弄清題目中的數量關系，找出未知數，用x、y表示所要求的兩個未知數
(2)找到能表示應用題全部含義的兩個等量關系.（找等量關系的重要途徑：列表法、畫圖法）
(3)根據兩個等量關系，列出方程組.
2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：
（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知量和未知量，找出能夠表示題意兩個相等關系；
（2）設：將兩個未知數用字母設出來；
（3）列：根據這兩個相等關系列出必需的代數式，從而列出方程組；
（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數的值；
（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案.
五、【作業布置】
【知識技能類作業】 必做題
1．是 方程組 的解，則5a﹣b的值是（　　）
A．10 B．﹣10 C．14 D．21
2．某中學的學生以4km/h的速度步行去某地參加社會公益活動．出發30min后，學校派一名通信員騎自行車以12km/h的速度去追趕隊伍，通信員用多少時間可追上隊伍？設通信員用x小時追上隊伍，則可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3.中國古代的數學專著《九章算術》有方程問題：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．”設每只雀、燕的重量各為兩，兩，可得方程組是___．
【綜合拓展類作業】選做題 1-2
4.甲、乙兩個工人按計劃一個月應生產680個零件，結果甲超額完成計劃的20%，乙超額完成計劃的15%，兩人一共多生產118個零件，則原計劃甲、乙各生產零件數為（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
5.根據市場調查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產品的銷售數量（按瓶計算）比為2：5。某廠每天生產這種消毒液22.5噸，這些消毒液應該分裝大、小瓶兩種產品各多少瓶？
【答案】
課堂練習
【必做題】3-4
1.答案：B
2.答案：A
解：設1輛大車可以運貨x噸，1輛大車可以運貨y噸.
根據題意，有
解這個方程組，得
3×4+5×2.5=24.5（噸）
答：3輛大車與5輛小車一次可以運貨24.5噸
【選做題】2
4.答案：m+n=2。
5.答案：設改變后籃球場的面積為x平方米，綠化帶的面積為y平方米。
根據題意可列方程組
x+y=600
y=25%x
將y=25%x代入x+y=600得：
x+25%x=600
1.25x=600
x=480
把x=480代入y=25%x得：y=25%×480=120。
答：改變后籃球場的面積為480平方米，綠化帶的面積為120平方米。
【綜合拓展作業】1-2
6.答案：
設改變后農田的種植面積為x公頃，果樹的種植面積為y公頃。
根據題意可列方程組{x+y=180y=40%x
將y=40%x代入x+y=180得：
x+40%x=180
1.4x=180
x=7900 ≈128.57
把x=7900 代入y=40%x得：y=40%×7900 =7360 ≈51.43。
答：改變后農田的種植面積約為128.57公頃，果樹的種植面積約為51.43公頃。
作業：【知識技能類作業】 必做題 3-4
1.答案：A
2.答案：B
3.答案：
5x+6y=16
3x 4y=0
【綜合拓展類作業】選做題 1-2
4.答案：A
5.解：設這些消毒液應該分裝大瓶產品x瓶，小瓶產品y瓶
根據題目，可列變形可得5x=2y
22.5噸=22.5×1000000=22500000克
500x+250y=22500000，兩邊同時除以250化簡可得2x+y=90000。
可得到方程組
解得：這些消毒液應該分裝大瓶產品20000瓶，小瓶產品50000瓶。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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