資源簡介

2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=ax2+k的圖象 幾何直觀
2.理解拋物線y=ax2與y=ax2+k之間的聯系與區別 幾何直觀、抽象能力
3.能說出y=ax2+k的開口方向、對稱軸、頂點、最值及增減性 幾何直觀、抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2+k的圖象和性質 y=ax2+ka>0a<0開口方向 對稱軸y軸(直線x=0)頂點坐標(0,k)最值當x=0時, y最小值=k當x=0時, y最大值=k增減性當x<0時,y隨x的增大而 ;當x>0時,y隨x的增大而 當x>0時,y隨x的增大而 ;當x<0時,y隨x的增大而
1.拋物線y=-3x2-2的頂點坐標是( ) A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 2.拋物線y=x2+3的對稱軸是( ) A.x軸 B.y軸 C.直線y=x D.直線y=-x 3.拋物線y=2x2-3可以由拋物線y=2x2向 平移3個單位得到.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 二次函數y=ax2+k的圖象與性質(幾何直觀、抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P8例2拓展)
已知二次函數y=-x2+5.
(1)寫出它的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最值;
(2)若點(x1,y1),(x2,y2)在該二次函數的圖象上,且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小.
【舉一反三】
1.(2024·合肥期末)拋物線y=x2-1的開口方向是( )
A.向右 B.向上 C.向左 D.向下
2.(2024·青島期中)函數y=-x2+2的圖象,當x>0時,y的值隨x值的增大而 .(填“增大”或“減小”)
【技法點撥】
二次函數y=ax2與y=ax2+k之間的聯系與區別
1.圖象:形狀相同,位置不同,即對稱軸相同,頂點不同.
2.性質:增減性相同,最值不同,即y=ax2的最值是0,而y=ax2+k的最值是k.
重點2 二次函數y=ax2+k的平移(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P10“做一做”拓展)(2024·南京期中)在平面直角坐標系中,將二次函數y=3x2+2的圖象向下平移3個單位長度,所得函數的表達式為( )
A.y=3x2-1 B.y=3x2+1
C.y=3x2-5 D.y=3x2+5
【舉一反三】
拋物線y=-2x2經過變換后,得到拋物線y=-2x2+1,則這個變換方式可以是( )
A.向左平移1個單位長度
B.向右平移1個單位長度
C.向上平移1個單位長度
D.向下平移1個單位長度
【技法點撥】
二次函數y=ax2+k與y=ax2圖象間的關系
如圖示例,二次函數y=ax2+k與y=ax2的圖象形狀相同,位置不同.拋物線y=ax2+k可由拋物線y=ax2沿y軸向上(下)平移|k|個單位長度得到.平移規律為“上加下減”.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力)拋物線y=-2x2-1的頂點坐標是( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(2,-1) D.(-1,-2)
2.(4分·幾何直觀)二次函數y=2x2+3的圖象經過( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
3.(4分·模型觀念)已知二次函數y=-x2-3,如果x>0,那么函數值y隨著自變量x的增大而 (填“增大”或“減小”).
4.(8分·抽象能力、推理能力)不畫函數y=-x2和y=-x2+1的圖象,回答下面的問題:
(1)拋物線y=-x2+1經過怎樣的平移才能得到拋物線y=-x2
(2)函數y=-x2+1,當x 時,y隨x的增大而減小;當x 時,函數y有最大值,最大值y是 ;其圖象與y軸的交點坐標是 ,與x軸的交點坐標是 .
(3)試說出拋物線y=-x2+1的開口方向、對稱軸和頂點坐標.2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第5課時
課時學習目標 素養目標達成
會運用二次函數解決幾何圖形面積的最值問題 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
根據二次函數最值解決實際問題的一般步驟 (1)列出二次函數的表達式,并根據 的實際意義,確定自變量的 . (2)在自變量的取值范圍內,運用公式法或通過配方求出二次函數的 或 . 如圖,用一段長為16 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄(墻長9 m),則這個圍欄的最大面積為 m2.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點 圖形面積與二次函數(模型觀念、應用意識、運算能力)
【典例】(教材溯源·P19問題1·2024湖北中考)如圖,某校勞動實踐基地用總長為80 m的柵欄,圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田,墻長為42 m,柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗,設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位: m),與墻平行的一邊長為y(單位: m),面積為S(單位:m2).
(1)直接寫出y與x,S與x之間的函數表達式(不要求寫x的取值范圍);
(2)矩形實驗田的面積S能達到750 m2嗎 如果能,求x的值;如果不能,請說明理由;
(3)當x的值是多少時,矩形實驗田的面積S最大 最大面積是多少
【舉一反三】
1.(2024·石家莊期中)九年級16班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜,班長買回來8米長的圍欄,準備圍成一邊靠墻(墻足夠長)的菜園,為了讓菜園面積盡可能大,同學們提出了圍成矩形、等腰三角形(底邊靠墻)、半圓形這三種方案,最佳方案是( )
A.方案1　　 B.方案2
C.方案3　　 D.面積都一樣
2.(2024·廣州期中)如圖所示,要建一個長方形的養雞場,養雞場的一邊靠墻,如果用60 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養雞場,設養雞場的長為x m,當x= 時,養雞場的面積最大.
3.(2024·濟南期末)如圖,學校課外興趣活動小組準備利用長為8 m的墻AB和一段長為26 m的籬笆圍建一個矩形苗圃園.如果矩形苗圃園的一邊由墻AB和一節籬笆BF構成,另三邊由籬笆ACDF圍成,設平行于墻的邊CD的長為x m.
(1)當苗圃園的面積為60 m2時,求x的值.
(2)當x為何值時,所圍苗圃園的面積最大 最大面積是多少
【技法點撥】
應用二次函數解決面積最大問題的步驟
(1)分析題中的變量與常量;
(2)找出等量關系,根據幾何圖形的面積公式建立函數模型;
(3)結合函數圖象及性質,考慮實際問題中自變量的取值范圍,求出面積的最大值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)用一段長度為24 m的籬笆圍成一個矩形菜地,能圍成菜地的面積不可能是( )
A.25 m2 B.31 m2
C.36 m2 D.38 m2
2.(4分·運算能力)如圖所示是一個長20 m、寬16 m的矩形花園,根據需要將它的長縮短x m,寬增加x m,要想使修改后的花園面積達到最大,則x應為 .
3.(4分·運算能力)在綜合實踐活動中,同學們借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用24 m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD,則矩形花園ABCD的最大面積為 m2.
4.(8分·模型觀念、運算能力)如圖,用長為9 m的鋁合金條制成“日”字形窗框,若窗戶的寬為x m,窗戶的透光面積為y m2(鋁合金條的寬度不計).
(1)求出y與x的函數關系式;(寫出自變量x的取值范圍)
(2)能否使窗中的透光面積達到3 m2 如果能,求出窗戶的高度和寬度;如果不能,請說明理由.2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=a(x-h)2+k的圖象 幾何直觀
2.理解拋物線y=ax2與y=a(x-h)2+k之間的聯系與區別 幾何直觀、抽象能力
3.能說出y=a(x-h)2+k的最值、增減性及其圖象的開口方向、對稱軸及頂點坐標 幾何直觀、抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質 拋物線y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)頂點坐標(h,k)(h,k)對稱軸直線x=h直線x=h開口方向向上向下增減性在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小; 在對稱軸的右側,y隨著x的增大而增大在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大; 在對稱軸的右側,y隨著x的增大而減小最值當x=h時,最小值為k當x=h時,最大值為k
1.對于拋物線y=(x-2)2+3,下列說法錯誤的是(D) A.對稱軸是直線x=2 B.函數的最小值是3 C.開口向上,頂點坐標(2,3) D.當x>2時,y隨x的增大而減小 2.將拋物線y=3x2+2向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,得到的拋物線的表達式為　y=3(x+2)2-1　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P16練習T1強化)已知函數y=-3(x+1)2-4.
(1)指出函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
(2)當x取何值時,該函數有最值,并求出最值.
(3)當x取何值時,y隨x的增大而減小.
【自主解答】(1)∵a=-3<0,
∴拋物線開口向下,
頂點坐標為(-1,-4),
對稱軸為直線x=-1;
(2)拋物線開口向下,函數有最大值,
∵頂點坐標為(-1,-4),
∴當x=-1時,函數有最大值-4;
(3)∵對稱軸為直線x=-1,且拋物線開口向下,∴當x>-1時,y隨x的增大而減小.
【舉一反三】
1.已知二次函數y=3(x-1)2+1的圖象上有三點A(4,y1),B(2,y2),C(-3,y3),則y1,y2,y3的大小關系為　y2y1>y2)　.
2.已知:拋物線y=(x-1)2-3,
(1)寫出拋物線的開口方向、對稱軸;
(2)設拋物線與y軸的交點為P,與x軸的交點為Q,求直線PQ的表達式.
【解析】(1)∵拋物線y=(x-1)2-3中,a=>0,∴拋物線開口向上,對稱軸是直線x=1;
(2)∵令x=0,則y=-,∴P(0,-);
∵令y=0,則x=3或x=-1,
∴Q(3,0)或(-1,0).
若Q(3,0),設直線PQ的表達式為y=k1x+b1,則,解得.
此時直線表達式為y=x-;
若Q(-1,0),設直線PQ的表達式為y=k2x+b2,則,
解得.
此時直線表達式為y=-x-.
故直線PQ的表達式為y=x-或y=-x-.
【技法點撥】
利用y=a(x-h)2+k的性質比較
二次函數值大小的方法
(1)代入比較法:將x值代入表達式,求出y值.
(2)增減比較法:
①當幾個點在對稱軸同側時:
當a>0時,x1②當幾個點在對稱軸異側時:
通過軸對稱,把它們轉化到對稱軸同側,再按照①比較.
(3)距離比較法:根據距離對稱軸的遠近判斷.
a>0時,點與對稱軸的距離越近,函數值越小. a<0時,點與對稱軸的距離越近,函數值越大.
重點2 二次函數y=a(x-h)2+k的平移(幾何直觀、抽象能力)
【典例2】(教材再開發·P16練習T2補充)在直角坐標系中畫出函數y=-(x-1)2+2的圖象(不用列表,直接畫圖),并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標.怎樣移動拋物線y=-x2得到拋物線y=-(x-1)2+2
【自主解答】如圖,
y=-(x-1)2+2的圖象開口向下,對稱軸是直線x=1,頂點坐標是(1,2);
拋物線y=-x2的頂點坐標是(0,0),拋物線y=-(x-1)2+2的頂點坐標是(1,2),
∵由頂點(0,0)向右平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度得到頂點(1,2),
∴由拋物線y=-x2向右平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度就可以得到拋物線y=-(x-1)2+2.
【舉一反三】
1.(2023·徐州中考)在平面直角坐標系中,將二次函數y=(x+1)2+3的圖象向右平移2個單位長度,再向下平移1個單位長度,所得拋物線對應的函數表達式為(B)
A.y=(x+3)2+2
B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-1)2+4
D.y=(x+3)2+4
2.已知二次函數y=(x+2)2-1的圖象向左平移h個單位長度,再向下平移k個單位長度,得到二次函數y=(x+3)2-4的圖象,則h=　1　,k=　3　.
【技法點撥】
拋物線y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象是由拋物線y=ax2(a≠0)平移得到的.在平移的過程中,a的值不發生變化,變化的只是頂點的位置.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、抽象能力)對于拋物線y=(x+2)2-1,下列說法中,錯誤的是(C)
A.開口向上
B.對稱軸是直線x=-2
C.當x>-2時,y隨x的增大而減小
D.當x=-2時,函數有最小值-1
2.(3分·幾何直觀)將拋物線y=(x-1)2+2向下平移2個單位長度后,得到的拋物線所對應的函數表達式為　y=(x-1)2　.
3.(5分·模型觀念、運算能力·2023襄陽中考)如圖,一位籃球運動員投籃時,球從A點出手后沿拋物線行進,籃球出手后距離地面的高度y(m)與籃球距離出手點的水平距離x(m)之間的函數關系式是y=-(x-)2+.下列說法正確的是　①　(填序號).
①籃球行進過程中距離地面的最大高度為3.5 m;
②籃球出手點距離地面的高度為2.25 m.
4.(9分·抽象能力、運算能力)已知二次函數y=(x-2)2+1,
(1)如表是y與x的部分對應值,請補充完整.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 ① ② ③ 5 …
(2)根據如表的數據,在如圖所示的平面直角坐標系中描點,并畫出該函數的圖象.
【解析】(1)分別將x=1,2,3代入y=(x-2)2+1得y=2,1,2.
答案:①2　②1　③2
(2)如圖,2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=a(x-h)2的圖象 幾何直觀
2.理解拋物線y=ax2與y=a(x-h)2之間的聯系與區別 幾何直觀、抽象能力
3.能說出y=a(x-h)2的開口方向、對稱軸、頂點、最值及增減性 幾何直觀、抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
二次函數y=a(x-h)2的圖象和性質 y=a(x-h)2a>0a<0開口方向向上向下對稱軸　直線x=h　 頂點坐標(　h　,　0　) 最值當x=　h　時, y最小值=0當x=　h　時, y最大值=0增減性當xh時,y隨x的增大而增大當x>h時,y隨x的增大而減小;當x1.將拋物線y=x2平移得到拋物線y=(x-3)2,則這個平移過程正確的是(B) A.向左平移3個單位長度 B.向右平移3個單位長度 C.向上平移3個單位長度 D.向下平移3個單位長度 2.拋物線y=-(x+1)2的開口　向下　,對稱軸是　直線x=-1　,頂點坐標是　(-1,0)　,對稱軸左側,y隨x的增大而　增大　,對稱軸右側,y隨x的增大而　減小　.
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 二次函數y=a(x-h)2的圖象和性質(幾何直觀、抽象能力)
【典例1】(教材再開發P13“做一做”拓展)已知二次函數y=a(x-h)2的圖象向左平移2個單位長度,得到拋物線y=-(x+1)2的圖象.
(1)試確定a,h的值;
(2)指出二次函數y=a(x-h)2圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
【解析】(1)二次函數y=-(x+1)2的圖象的頂點坐標為(-1,0),把點(-1,0)向右平移2個單位長度得到點的坐標為(1,0),
所以原二次函數的表達式為y=-(x-1)2,
所以a=-,h=1;
(2)二次函數y=a(x-h)2,即y=-(x-1)2,圖象開口向下,對稱軸為直線x=1,頂點坐標為(1,0).
【舉一反三】
(2024·紹興質檢)已知二次函數y=-(x+2)2.
(1)完成如表,并在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象;
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -4 -1 　 　 　 …
(2)該函數圖象的頂點坐標為　　　　　　;
(3)結合圖象,請直接寫出當x取何值時,y隨x的增大而減小.
【解析】(1)將x=-2,-1,0分別代入y=-(x+2)2得y=0,-1,-4,
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -4 -1 0 -1 -4 …
畫出該函數的圖象:
(2)由圖象得,該函數圖象的頂點坐標為(-2,0);
答案:(-2,0)
(3)由圖象得:當x>-2時,y隨x的增大而減小.
重點2 二次函數y=a(x-h)2的平移(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(2024·福州期中)已知二次函數y=(x-3)2.
(1)寫出該二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和該函數的最值;
(2)若點A(x1,y1),B(x2,y2)位于對稱軸右側的拋物線上,且x1(3)拋物線y=(x+7)2可以由拋物線y=(x-3)2平移得到嗎 如果可以,請寫出平移的方法;如果不可以,請說明理由.
【解析】(1)由題意,∵二次函數y=(x-3)2,
∴該二次函數圖象的開口向上,對稱軸是直線x=3,頂點坐標為(3,0),該函數有最小值為0.
(2)由題意,∵二次函數y=(x-3)2,
∴當x>3時,y隨x的增大而增大.
∵點A(x1,y1),B(x2,y2)位于對稱軸右側,且x1(3)由題意,按照“左加右減,上加下減”的規律進行判斷,∵x-3+10=x+7,
∴拋物線y=(x+7)2可以由拋物線y=(x-3)2向左平移10個單位長度得到.
【舉一反三】
(2024·北京質檢)將拋物線y=2(x+1)2向右平移2個單位長度,平移后拋物線的表達式為　y=2(x-1)2　.
【技法點撥】
二次函數y=a(x-h)2與y=ax2圖象間的關系
如圖所示,二次函數y=a(x-h)2與y=ax2的圖象形狀相同,只是位置不同.拋物線y=a(x-h)2可由y=ax2沿x軸向右(左)平移|h|個單位長度.平移規律為“左加右減”.
特別提醒
拋物線左右平移,頂點的橫坐標改變,縱坐標不變,故對稱軸改變而最值不變.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力)二次函數y=-3(x+1)2的對稱軸是(C)
A.直線x=1 B.y軸
C.直線x=-1 D.直線x=3
2.(4分·推理能力)拋物線y=-2(x+2)2可由拋物線y=-2x2　　　　得到.(C)
A.向上平移2個單位長度
B.向下平移2個單位長度
C.向左平移2個單位長度
D.向右平移2個單位長度
3.(4分·抽象能力)拋物線y=(x-1)2的頂點坐標是　(1,0)　.
4.(8分·幾何直觀、抽象能力)已知函數y1=-x2,y2=-(x+2)2和y3=-(x-2)2.
(1)畫出它們的函數圖象,并分別說出各個函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標;
(2)試說明分別通過怎樣的平移,可以由函數y1的圖象得到函數y2和函數y3的圖象.
【解析】(1)函數圖象如圖所示;
函數y1=-x2的圖象開口向下、對稱軸是y軸,頂點坐標是(0,0);
函數y2=-(x+2)2的圖象開口向下、對稱軸是直線x=-2,頂點坐標是(-2,0);
函數y3=-(x-2)2的圖象開口向下、對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,0);
(2)由函數y1的圖象向左平移2個單位長度得到函數y2的圖象,由函數y1的圖象向右平移2個單位長度得到函數y3的圖象.2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第4課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會用配方法將y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式 運算能力
2.能熟練求出y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸,說出它的開口方向、最值、增減性等性質 運算能力、抽象能力
3.會畫y=ax2+bx+c的圖象 幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下對稱軸x=-頂點坐標(-, )增減性當x<-時,y隨x的增大而減小;當x>-時,y隨x的增大而增大當x<-時,y隨x的增大而增大;當x>-時,y隨x的增大而減小最值當x=-時,y有最小值,y最小值=當x=-時,y有最大值,y最大值=
1.拋物線y=x2-4x-4的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是( ) A.開口向上,對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,8) B.開口向上,對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,-8) C.開口向上,對稱軸是直線x=-2,頂點坐標是(2,-8) D.開口向下,對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,8) 2.關于拋物線y=-x2-2x+3,下列說法中,錯誤的是( ) A.開口向下 B.頂點坐標是(-1,4) C.對稱軸是直線x=-1 D.當x>-1時,y隨x的增大而增大
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質(幾何直觀、抽象能力)
【典例1】已知二次函數y=x2+2x-3.
(1)求二次函數圖象的頂點坐標;
(2)在平面直角坐標系中,畫出該函數的圖象;
(3)當x在什么范圍時,y隨x的增大而減小
【舉一反三】
1.(2024·大連期末)二次函數y=ax2-2ax+1(a≠0)的圖象可能是( )
2.(2024·南平模擬)已知二次函數y=-2x2+4x+3.
(1)求拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標;
(2)當x為何值時,y隨x的增大而減小 當x為何值時,y隨x的增大而增大
【技法點撥】
根據一般式確定二次函數圖象特征的兩個方法
1.配方得到頂點式,然后確定頂點坐標、對稱軸、最值等.
2.先確定系數a,b,c,然后套用公式求出頂點坐標、對稱軸、最值等.
重點2 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與系數的關系(幾何直觀、抽象能力、推理能力)
【典例2】已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列5個結論:
①abc<0;②b0;④2c<3b;⑤a+b其中正確的結論有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【舉一反三】
1.(2024·上海期末)如圖,已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(-1,0),與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1.下列結論:
①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac-b2<8a;④c.
其中包含所有正確結論的選項是( )
A.①③ B.①③④
C.②④⑤ D.①③④⑤
2.對稱軸為直線x=1的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)如圖所示,小明同學得出了以下結論:
①abc<0,②a2>4ac,③4a+2b+c>0,④當x<-1時,y隨x的增大而增大,
⑤a+b≤m(am+b)(m為任意實數).其中結論正確的個數為( )
A.3 B.2 C.5 D.6
【技法點撥】
根據二次函數圖象確定字母系數取值范圍的策略
(1)由口訣“上正下負”“左同右異”推斷a,b,c的符號.
(2)結合圖象,通過給x賦值,判斷“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正負.
(3)當式子是由a,b組成的不等式時,通常可以通過對稱軸解得.
(4)當式子是由a,c或b,c組成的不等式時,通常可以通過一個等式和一個不等式或兩個不等式聯立解得.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力、推理能力)對于拋物線y=-x2+2x+1,下列說法中,錯誤的是( )
A.對稱軸是直線x=1
B.頂點坐標是(1,2)
C.當x>1時,y隨x的增大而減小
D.當x=1時,函數的最小值為2
2.(4分·幾何直觀、抽象能力、推理能力)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=1,則下列結論:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④3a+c<0,其中正確的個數是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(4分·運算能力)拋物線y=-x2+x+的對稱軸為 .
4.(8分·運算能力、抽象能力)已知二次函數y=x2-2x+4.
(1)寫出此拋物線的開口方向及頂點坐標;
(2)當x為何值時,y隨x的增大而減小 2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第5課時
課時學習目標 素養目標達成
會運用二次函數解決幾何圖形面積的最值問題 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
根據二次函數最值解決實際問題的一般步驟 (1)列出二次函數的表達式,并根據　自變量　的實際意義,確定自變量的　取值范圍　. (2)在自變量的取值范圍內,運用公式法或通過配方求出二次函數的　最大值　或　最小值　. 如圖,用一段長為16 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄(墻長9 m),則這個圍欄的最大面積為　32　m2.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點 圖形面積與二次函數(模型觀念、應用意識、運算能力)
【典例】(教材溯源·P19問題1·2024湖北中考)如圖,某校勞動實踐基地用總長為80 m的柵欄,圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田,墻長為42 m,柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗,設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位: m),與墻平行的一邊長為y(單位: m),面積為S(單位:m2).
(1)直接寫出y與x,S與x之間的函數表達式(不要求寫x的取值范圍);
(2)矩形實驗田的面積S能達到750 m2嗎 如果能,求x的值;如果不能,請說明理由;
(3)當x的值是多少時,矩形實驗田的面積S最大 最大面積是多少
【解析】(1)∵2x+y=80,
∴y=-2x+80.
∵S=xy,
∴S=x(-2x+80)=-2x2+80x;
(2)∵y≤42,
∴-2x+80≤42,
∴x≥19,
∴19≤x<40,
當S=750時,-2x2+80x=750,
x2-40x+375=0,
(x-25)(x-15)=0,
∴x=25,
∴當x=25 m時,矩形實驗田的面積S能達到750 m2;
(3)∵S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800,
∴當x=20 m時,S有最大值,最大值為800 m2.
【舉一反三】
1.(2024·石家莊期中)九年級16班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜,班長買回來8米長的圍欄,準備圍成一邊靠墻(墻足夠長)的菜園,為了讓菜園面積盡可能大,同學們提出了圍成矩形、等腰三角形(底邊靠墻)、半圓形這三種方案,最佳方案是(C)
A.方案1　　 B.方案2
C.方案3　　 D.面積都一樣
2.(2024·廣州期中)如圖所示,要建一個長方形的養雞場,養雞場的一邊靠墻,如果用60 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養雞場,設養雞場的長為x m,當x=　30　時,養雞場的面積最大.
3.(2024·濟南期末)如圖,學校課外興趣活動小組準備利用長為8 m的墻AB和一段長為26 m的籬笆圍建一個矩形苗圃園.如果矩形苗圃園的一邊由墻AB和一節籬笆BF構成,另三邊由籬笆ACDF圍成,設平行于墻的邊CD的長為x m.
(1)當苗圃園的面積為60 m2時,求x的值.
(2)當x為何值時,所圍苗圃園的面積最大 最大面積是多少
【解析】(1)∵籬笆的總長為26 m,平行于墻的
邊CD的長為x m,∴垂直于墻的邊CA的長為=(17-x)m,
根據題意得(17-x)·x=60,
整理得x2-17x+60=0,解得x1=5(不符合題意,舍去),x2=12,∴x的值為12;
(2)設苗圃園的面積為S m2,
S=(17-x)·x=-x2+17x=-(x-)2+,
當x=8.5時,S最大值=72.25,
∴當x的值為8.5時,所圍苗圃園的面積最大,最大面積是72.25 m2.
【技法點撥】
應用二次函數解決面積最大問題的步驟
(1)分析題中的變量與常量;
(2)找出等量關系,根據幾何圖形的面積公式建立函數模型;
(3)結合函數圖象及性質,考慮實際問題中自變量的取值范圍,求出面積的最大值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)用一段長度為24 m的籬笆圍成一個矩形菜地,能圍成菜地的面積不可能是(D)
A.25 m2 B.31 m2
C.36 m2 D.38 m2
2.(4分·運算能力)如圖所示是一個長20 m、寬16 m的矩形花園,根據需要將它的長縮短x m,寬增加x m,要想使修改后的花園面積達到最大,則x應為　2　.
3.(4分·運算能力)在綜合實踐活動中,同學們借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用24 m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD,則矩形花園ABCD的最大面積為　144　 m2.
4.(8分·模型觀念、運算能力)如圖,用長為9 m的鋁合金條制成“日”字形窗框,若窗戶的寬為x m,窗戶的透光面積為y m2(鋁合金條的寬度不計).
(1)求出y與x的函數關系式;(寫出自變量x的取值范圍)
(2)能否使窗中的透光面積達到3 m2 如果能,求出窗戶的高度和寬度;如果不能,請說明理由.
【解析】(1)窗戶的寬為x m,則窗戶的高為
(9-3x)m,由此得y=x·(9-3x)=-x2+x(0(2)由(1)知3=-x2+x,
解得x1=1,x2=2,
當x=2時,(9-3x)=1.5,
當x=1時,(9-3x)=3.
答:能,窗戶的寬和高分別是2 m,1.5 m或1 m,3 m時,窗戶的透光面積為3 m2.2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=a(x-h)2+k的圖象 幾何直觀
2.理解拋物線y=ax2與y=a(x-h)2+k之間的聯系與區別 幾何直觀、抽象能力
3.能說出y=a(x-h)2+k的最值、增減性及其圖象的開口方向、對稱軸及頂點坐標 幾何直觀、抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質 拋物線y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)頂點坐標(h,k)(h,k)對稱軸直線x=h直線x=h開口方向向上向下增減性在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小; 在對稱軸的右側,y隨著x的增大而增大在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大; 在對稱軸的右側,y隨著x的增大而減小最值當x=h時,最小值為k當x=h時,最大值為k
1.對于拋物線y=(x-2)2+3,下列說法錯誤的是( ) A.對稱軸是直線x=2 B.函數的最小值是3 C.開口向上,頂點坐標(2,3) D.當x>2時,y隨x的增大而減小 2.將拋物線y=3x2+2向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,得到的拋物線的表達式為 .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P16練習T1強化)已知函數y=-3(x+1)2-4.
(1)指出函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
(2)當x取何值時,該函數有最值,并求出最值.
(3)當x取何值時,y隨x的增大而減小.
【舉一反三】
1.已知二次函數y=3(x-1)2+1的圖象上有三點A(4,y1),B(2,y2),C(-3,y3),則y1,y2,y3的大小關系為 .
2.已知:拋物線y=(x-1)2-3,
(1)寫出拋物線的開口方向、對稱軸;
(2)設拋物線與y軸的交點為P,與x軸的交點為Q,求直線PQ的表達式.
【技法點撥】
利用y=a(x-h)2+k的性質比較
二次函數值大小的方法
(1)代入比較法:將x值代入表達式,求出y值.
(2)增減比較法:
①當幾個點在對稱軸同側時:
當a>0時,x1②當幾個點在對稱軸異側時:
通過軸對稱,把它們轉化到對稱軸同側,再按照①比較.
(3)距離比較法:根據距離對稱軸的遠近判斷.
a>0時,點與對稱軸的距離越近,函數值越小. a<0時,點與對稱軸的距離越近,函數值越大.
重點2 二次函數y=a(x-h)2+k的平移(幾何直觀、抽象能力)
【典例2】(教材再開發·P16練習T2補充)在直角坐標系中畫出函數y=-(x-1)2+2的圖象(不用列表,直接畫圖),并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標.怎樣移動拋物線y=-x2得到拋物線y=-(x-1)2+2
【舉一反三】
1.(2023·徐州中考)在平面直角坐標系中,將二次函數y=(x+1)2+3的圖象向右平移2個單位長度,再向下平移1個單位長度,所得拋物線對應的函數表達式為( )
A.y=(x+3)2+2
B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-1)2+4
D.y=(x+3)2+4
2.已知二次函數y=(x+2)2-1的圖象向左平移h個單位長度,再向下平移k個單位長度,得到二次函數y=(x+3)2-4的圖象,則h= ,k= .
【技法點撥】
拋物線y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象是由拋物線y=ax2(a≠0)平移得到的.在平移的過程中,a的值不發生變化,變化的只是頂點的位置.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、抽象能力)對于拋物線y=(x+2)2-1,下列說法中,錯誤的是( )
A.開口向上
B.對稱軸是直線x=-2
C.當x>-2時,y隨x的增大而減小
D.當x=-2時,函數有最小值-1
2.(3分·幾何直觀)將拋物線y=(x-1)2+2向下平移2個單位長度后,得到的拋物線所對應的函數表達式為 .
3.(5分·模型觀念、運算能力·2023襄陽中考)如圖,一位籃球運動員投籃時,球從A點出手后沿拋物線行進,籃球出手后距離地面的高度y(m)與籃球距離出手點的水平距離x(m)之間的函數關系式是y=-(x-)2+.下列說法正確的是 (填序號).
①籃球行進過程中距離地面的最大高度為3.5 m;
②籃球出手點距離地面的高度為2.25 m.
4.(9分·抽象能力、運算能力)已知二次函數y=(x-2)2+1,
(1)如表是y與x的部分對應值,請補充完整.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 ① ② ③ 5 …
(2)根據如表的數據,在如圖所示的平面直角坐標系中描點,并畫出該函數的圖象.2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=ax2+k的圖象 幾何直觀
2.理解拋物線y=ax2與y=ax2+k之間的聯系與區別 幾何直觀、抽象能力
3.能說出y=ax2+k的開口方向、對稱軸、頂點、最值及增減性 幾何直觀、抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2+k的圖象和性質 y=ax2+ka>0a<0開口方向　向上　 　向下　 對稱軸y軸(直線x=0)頂點坐標(0,k)最值當x=0時, y最小值=k當x=0時, y最大值=k增減性當x<0時,y隨x的增大而減小;當x>0時,y隨x的增大而增大當x>0時,y隨x的增大而減小;當x<0時,y隨x的增大而增大
1.拋物線y=-3x2-2的頂點坐標是(D) A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 2.拋物線y=x2+3的對稱軸是(B) A.x軸 B.y軸 C.直線y=x D.直線y=-x 3.拋物線y=2x2-3可以由拋物線y=2x2向　下　平移3個單位得到.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 二次函數y=ax2+k的圖象與性質(幾何直觀、抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P8例2拓展)
已知二次函數y=-x2+5.
(1)寫出它的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最值;
(2)若點(x1,y1),(x2,y2)在該二次函數的圖象上,且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小.
【解析】(1)∵a=-<0,∴它的圖象的開口向下,對稱軸為y軸,頂點坐標為(0,5),
當x=0時,y最大值=5,沒有最小值.
(2)∵拋物線的開口向下,對稱軸為y軸,
∴當x>0時,y隨x的增大而減小,
故當x1>x2>0時,y1【舉一反三】
1.(2024·合肥期末)拋物線y=x2-1的開口方向是(B)
A.向右 B.向上 C.向左 D.向下
2.(2024·青島期中)函數y=-x2+2的圖象,當x>0時,y的值隨x值的增大而　減小　.(填“增大”或“減小”)
【技法點撥】
二次函數y=ax2與y=ax2+k之間的聯系與區別
1.圖象:形狀相同,位置不同,即對稱軸相同,頂點不同.
2.性質:增減性相同,最值不同,即y=ax2的最值是0,而y=ax2+k的最值是k.
重點2 二次函數y=ax2+k的平移(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P10“做一做”拓展)(2024·南京期中)在平面直角坐標系中,將二次函數y=3x2+2的圖象向下平移3個單位長度,所得函數的表達式為(A)
A.y=3x2-1 B.y=3x2+1
C.y=3x2-5 D.y=3x2+5
【舉一反三】
拋物線y=-2x2經過變換后,得到拋物線y=-2x2+1,則這個變換方式可以是(C)
A.向左平移1個單位長度
B.向右平移1個單位長度
C.向上平移1個單位長度
D.向下平移1個單位長度
【技法點撥】
二次函數y=ax2+k與y=ax2圖象間的關系
如圖示例,二次函數y=ax2+k與y=ax2的圖象形狀相同,位置不同.拋物線y=ax2+k可由拋物線y=ax2沿y軸向上(下)平移|k|個單位長度得到.平移規律為“上加下減”.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力)拋物線y=-2x2-1的頂點坐標是(A)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(2,-1) D.(-1,-2)
2.(4分·幾何直觀)二次函數y=2x2+3的圖象經過(A)
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
3.(4分·模型觀念)已知二次函數y=-x2-3,如果x>0,那么函數值y隨著自變量x的增大而　減小　(填“增大”或“減小”).
4.(8分·抽象能力、推理能力)不畫函數y=-x2和y=-x2+1的圖象,回答下面的問題:
(1)拋物線y=-x2+1經過怎樣的平移才能得到拋物線y=-x2
(2)函數y=-x2+1,當x　　　　時,y隨x的增大而減小;當x　　　　時,函數y有最大值,最大值y是　　　　;其圖象與y軸的交點坐標是　　　　,與x軸的交點坐標是　　　　.
(3)試說出拋物線y=-x2+1的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
【解析】(1)根據拋物線平移的知識,可知y=-x2+1向下平移1個單位長度才能得到拋物線y=-x2.
(2)當x=0時,y=1;當y=0時,-x2+1=0,解得x=±1.
函數y=-x2+1,當x>0時,y隨x的增大而減小;當x=0時,函數y有最大值,最大值y是1;其圖象與y軸的交點坐標是(0,1),與x軸的交點坐標是(-1,0),(1,0).
答案:>0　=0　1　(0,1)　(-1,0),(1,0)
(3)拋物線y=-x2+1開口向下,對稱軸為直線x=0即y軸,頂點坐標為(0,1).2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=a(x-h)2的圖象 幾何直觀
2.理解拋物線y=ax2與y=a(x-h)2之間的聯系與區別 幾何直觀、抽象能力
3.能說出y=a(x-h)2的開口方向、對稱軸、頂點、最值及增減性 幾何直觀、抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
二次函數y=a(x-h)2的圖象和性質 y=a(x-h)2a>0a<0開口方向向上向下對稱軸 頂點坐標( , ) 最值當x= 時, y最小值=0當x= 時, y最大值=0增減性當xh時,y隨x的增大而增大當x>h時,y隨x的增大而減小;當x1.將拋物線y=x2平移得到拋物線y=(x-3)2,則這個平移過程正確的是( ) A.向左平移3個單位長度 B.向右平移3個單位長度 C.向上平移3個單位長度 D.向下平移3個單位長度 2.拋物線y=-(x+1)2的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 ,對稱軸左側,y隨x的增大而 ,對稱軸右側,y隨x的增大而 .
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 二次函數y=a(x-h)2的圖象和性質(幾何直觀、抽象能力)
【典例1】(教材再開發P13“做一做”拓展)已知二次函數y=a(x-h)2的圖象向左平移2個單位長度,得到拋物線y=-(x+1)2的圖象.
(1)試確定a,h的值;
(2)指出二次函數y=a(x-h)2圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
【舉一反三】
(2024·紹興質檢)已知二次函數y=-(x+2)2.
(1)完成如表,并在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象;
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -4 -1 …
(2)該函數圖象的頂點坐標為 ;
(3)結合圖象,請直接寫出當x取何值時,y隨x的增大而減小.
重點2 二次函數y=a(x-h)2的平移(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(2024·福州期中)已知二次函數y=(x-3)2.
(1)寫出該二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和該函數的最值;
(2)若點A(x1,y1),B(x2,y2)位于對稱軸右側的拋物線上,且x1(3)拋物線y=(x+7)2可以由拋物線y=(x-3)2平移得到嗎 如果可以,請寫出平移的方法;如果不可以,請說明理由.
【舉一反三】
(2024·北京質檢)將拋物線y=2(x+1)2向右平移2個單位長度,平移后拋物線的表達式為 .
【技法點撥】
二次函數y=a(x-h)2與y=ax2圖象間的關系
如圖所示,二次函數y=a(x-h)2與y=ax2的圖象形狀相同,只是位置不同.拋物線y=a(x-h)2可由y=ax2沿x軸向右(左)平移|h|個單位長度.平移規律為“左加右減”.
特別提醒
拋物線左右平移,頂點的橫坐標改變,縱坐標不變,故對稱軸改變而最值不變.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力)二次函數y=-3(x+1)2的對稱軸是( )
A.直線x=1 B.y軸
C.直線x=-1 D.直線x=3
2.(4分·推理能力)拋物線y=-2(x+2)2可由拋物線y=-2x2 得到.( )
A.向上平移2個單位長度
B.向下平移2個單位長度
C.向左平移2個單位長度
D.向右平移2個單位長度
3.(4分·抽象能力)拋物線y=(x-1)2的頂點坐標是 .
4.(8分·幾何直觀、抽象能力)已知函數y1=-x2,y2=-(x+2)2和y3=-(x-2)2.
(1)畫出它們的函數圖象,并分別說出各個函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標;
(2)試說明分別通過怎樣的平移,可以由函數y1的圖象得到函數y2和函數y3的圖象.2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
第4課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會用配方法將y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式 運算能力
2.能熟練求出y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸,說出它的開口方向、最值、增減性等性質 運算能力、抽象能力
3.會畫y=ax2+bx+c的圖象 幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下對稱軸x=-頂點坐標(-, )增減性當x<-時,y隨x的增大而減小;當x>-時,y隨x的增大而增大當x<-時,y隨x的增大而增大;當x>-時,y隨x的增大而減小最值當x=-時,y有最小值,y最小值=當x=-時,y有最大值,y最大值=
1.拋物線y=x2-4x-4的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是(B) A.開口向上,對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,8) B.開口向上,對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,-8) C.開口向上,對稱軸是直線x=-2,頂點坐標是(2,-8) D.開口向下,對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,8) 2.關于拋物線y=-x2-2x+3,下列說法中,錯誤的是(D) A.開口向下 B.頂點坐標是(-1,4) C.對稱軸是直線x=-1 D.當x>-1時,y隨x的增大而增大
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質(幾何直觀、抽象能力)
【典例1】已知二次函數y=x2+2x-3.
(1)求二次函數圖象的頂點坐標;
(2)在平面直角坐標系中,畫出該函數的圖象;
(3)當x在什么范圍時,y隨x的增大而減小
【解析】(1)∵y=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4,
∴拋物線的頂點坐標為(-1,-4);
(2)當x=0時,y=x2+2x-3=-3,則拋物線與y軸的交點坐標為(0,-3);
當y=0時,x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,則拋物線與x軸的交點坐標為(-3,0),(1,0),
如圖,
(3)當x<-1時,y隨x的增大而減小.
【舉一反三】
1.(2024·大連期末)二次函數y=ax2-2ax+1(a≠0)的圖象可能是(B)
2.(2024·南平模擬)已知二次函數y=-2x2+4x+3.
(1)求拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標;
(2)當x為何值時,y隨x的增大而減小 當x為何值時,y隨x的增大而增大
【解析】(1)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,
∵-2<0,∴拋物線的開口向下,
對稱軸為直線x=1,頂點坐標為(1,5);
(2)∵拋物線的開口向下,
∴當x>1時,y隨x的增大而減小,當x<1時,y隨x的增大而增大.
【技法點撥】
根據一般式確定二次函數圖象特征的兩個方法
1.配方得到頂點式,然后確定頂點坐標、對稱軸、最值等.
2.先確定系數a,b,c,然后套用公式求出頂點坐標、對稱軸、最值等.
重點2 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與系數的關系(幾何直觀、抽象能力、推理能力)
【典例2】已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列5個結論:
①abc<0;②b0;④2c<3b;⑤a+b其中正確的結論有(B)
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【舉一反三】
1.(2024·上海期末)如圖,已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(-1,0),與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1.下列結論:
①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac-b2<8a;④c.
其中包含所有正確結論的選項是(D)
A.①③ B.①③④
C.②④⑤ D.①③④⑤
2.對稱軸為直線x=1的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)如圖所示,小明同學得出了以下結論:
①abc<0,②a2>4ac,③4a+2b+c>0,④當x<-1時,y隨x的增大而增大,
⑤a+b≤m(am+b)(m為任意實數).其中結論正確的個數為(B)
A.3 B.2 C.5 D.6
【技法點撥】
根據二次函數圖象確定字母系數取值范圍的策略
(1)由口訣“上正下負”“左同右異”推斷a,b,c的符號.
(2)結合圖象,通過給x賦值,判斷“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正負.
(3)當式子是由a,b組成的不等式時,通常可以通過對稱軸解得.
(4)當式子是由a,c或b,c組成的不等式時,通常可以通過一個等式和一個不等式或兩個不等式聯立解得.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力、推理能力)對于拋物線y=-x2+2x+1,下列說法中,錯誤的是(D)
A.對稱軸是直線x=1
B.頂點坐標是(1,2)
C.當x>1時,y隨x的增大而減小
D.當x=1時,函數的最小值為2
2.(4分·幾何直觀、抽象能力、推理能力)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=1,則下列結論:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④3a+c<0,其中正確的個數是(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(4分·運算能力)拋物線y=-x2+x+的對稱軸為　直線x=4　.
4.(8分·運算能力、抽象能力)已知二次函數y=x2-2x+4.
(1)寫出此拋物線的開口方向及頂點坐標;
(2)當x為何值時,y隨x的增大而減小
【解析】(1)∵在y=x2-2x+4中,a=1>0,
∴該拋物線的開口向上.
∵y=x2-2x+4=(x-1)2+3,
∴頂點坐標為(1,3).
(2)∵拋物線開口向上,對稱軸為直線x=1,
∴當x<1時,y隨x的增大而減小.

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