資源簡介

3.求二次函數的表達式
課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求二次函數的表達式 運算能力、模型觀念
2.能靈活應用一般式、頂點式、交點式求二次函數的表達式 運算能力、推理能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.二次函數的表達式的三種形式 形式內容一般式y=　ax2+bx+c　(a≠0) 頂點式y=　a(x-h)2+k　(a≠0) 交點式y=　a(x-x1)(x-x2)　(a≠0)
1.已知二次函數的圖象經過(0,0),(3,0),(1,-4)三點,則該函數的表達式為(C) A.y=x2-3x B.y=2x2-3x C.y=2x2-6x D.y=x2-6x
2.靈活選擇設法求二次函數表達式 (1)已知三個一般點的坐標,設一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求表達式. (2)已知拋物線的頂點坐標、對稱軸或最值,設頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0)求表達式. (3)已知拋物線與x軸的交點坐標,設交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求表達式. 2.如圖是函數y=-(x-h)2+k的圖象,則其表達式為　y=-(x+1)2+5　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1　用一般式求二次函數的表達式(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P22例7拓展)如圖,二次函數y=ax2+bx+c經過點A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),點D是拋物線的頂點,過D作x軸的垂線交直線BC于點E.
(1)求此二次函數的表達式及點D坐標;
(2)連結CD,求△CDE的面積.
【解析】(1)由函數圖象過點C(0,-5),
∴c=-5,
又由于圖象過(-1,0),(5,0),
∴a-b-5=0,
25a+5b-5=0,
解得,
∴y=x2-4x-5,
∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9,
∴D(2,-9).
(2)設直線BC的表達式為y=mx+n,
把B(5,0),C(0,-5)分別代入得,
解得,
∴直線BC的表達式為y=x-5,
當x=2時,y=2-5=-3,
∴E(2,-3),
∴S△CDE=×(-3+9)×2=6.
【舉一反三】
(2024·南京期末)已知二次函數y=ax2+bx+c中,函數y與自變量x的部分對應值如表:
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
(1)求該二次函數的表達式;
(2)若點A(-1,y1),B(4,y2)在這個函數的圖象上,則y1　　　　y2.(填“>”“<”或“=”)
【解析】(1)由題知,將點(0,5),(1,2),(2,1)分別代入函數表達式得,,
解得,
所以該二次函數表達式為y=x2-4x+5.
(2)當x=-1時,
y1=(-1)2-4×(-1)+5=10;
當x=4時,
y2=42-4×4+5=5;
∴y1>y2.
答案:>
重點2用頂點式、交點式求二次函數的表達式(運算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P22例6拓展)已知關于x的二次函數的圖象的頂點坐標為(-1,2),且圖象過點(1,-3),
(1)求這個二次函數的表達式;
(2)寫出它的開口方向、對稱軸.
【自主解答】(1)設函數表達式為y=a(x+1)2+2,把點(1,-3)代入表達式,得
a=-,所以拋物線的表達式為y=-(x+1)2+2;
(2)由(1)的函數表達式可得:拋物線的開口向下,對稱軸為直線x=-1.
【舉一反三】
1.(2024·北京期末)已知某二次函數的圖象開口向上,且頂點坐標為(1,3),則這個二次函數表達式可以是　y=(x-1)2+3(答案不唯一)　.
2.(2024·合肥期末)拋物線的圖象如圖所示,其中點A為頂點.
(1)寫出點A,B的坐標;
(2)求出拋物線的表達式.
【解析】(1)觀察題中圖象可知,A(2,-4),B(0,4);
(2)∵A(2,-4)為頂點,
∴設拋物線的表達式為y=a(x-2)2-4,
把B(0,4)代入得,4a-4=4,解得a=2,
∴拋物線的表達式為y=2(x-2)2-4.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運算能力)一個二次函數圖象的頂點坐標是(2,4),且過另一點(0,-4),則這個二次函數的表達式為(C)
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4
C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4
2.(4分·運算能力)設二次函數y=ax2+bx+2(a≠0,b是實數),已知函數值y和自變量x的部分對應取值如表所示,則該二次函數的表達式為(B)
x … -1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A.y=2x2-x+2 B.y=x2-2x+2
C.y=-2x2-5x+2 D.y=-x2+2x+2
3.(4分·運算能力)已知二次函數圖象經過(1,0),(2,0)和(0,2)三點,則該函數的表達式是(B)
A.y=2x2+x+2 B.y=x2-3x+2
C.y=x2+3x+2 D.y=x2-2x+3
4.(8分·運算能力)已知,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1,0),C(0,3),B(2,-3)三點.
(1)求拋物線對應的函數表達式;
(2)求拋物線的對稱軸和頂點坐標.
【解析】(1)由題意得:
,解得,
則拋物線對應的表達式為y=-2x2+x+3;
(2)拋物線的對稱軸為直線x=-=,
當x=時,y=-2x2+x+3=,
即頂點坐標為(,).
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課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求二次函數的表達式 運算能力、模型觀念
2.能靈活應用一般式、頂點式、交點式求二次函數的表達式 運算能力、推理能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.二次函數的表達式的三種形式 形式內容一般式y= (a≠0) 頂點式y= (a≠0) 交點式y= (a≠0)
1.已知二次函數的圖象經過(0,0),(3,0),(1,-4)三點,則該函數的表達式為( ) A.y=x2-3x B.y=2x2-3x C.y=2x2-6x D.y=x2-6x
2.靈活選擇設法求二次函數表達式 (1)已知三個一般點的坐標,設一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求表達式. (2)已知拋物線的頂點坐標、對稱軸或最值,設頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0)求表達式. (3)已知拋物線與x軸的交點坐標,設交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求表達式. 2.如圖是函數y=-(x-h)2+k的圖象,則其表達式為 .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1　用一般式求二次函數的表達式(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P22例7拓展)如圖,二次函數y=ax2+bx+c經過點A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),點D是拋物線的頂點,過D作x軸的垂線交直線BC于點E.
(1)求此二次函數的表達式及點D坐標;
(2)連結CD,求△CDE的面積.
【舉一反三】
(2024·南京期末)已知二次函數y=ax2+bx+c中,函數y與自變量x的部分對應值如表:
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
(1)求該二次函數的表達式;
(2)若點A(-1,y1),B(4,y2)在這個函數的圖象上,則y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
重點2用頂點式、交點式求二次函數的表達式(運算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P22例6拓展)已知關于x的二次函數的圖象的頂點坐標為(-1,2),且圖象過點(1,-3),
(1)求這個二次函數的表達式;
(2)寫出它的開口方向、對稱軸.
【舉一反三】
1.(2024·北京期末)已知某二次函數的圖象開口向上,且頂點坐標為(1,3),則這個二次函數表達式可以是 .
2.(2024·合肥期末)拋物線的圖象如圖所示,其中點A為頂點.
(1)寫出點A,B的坐標;
(2)求出拋物線的表達式.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運算能力)一個二次函數圖象的頂點坐標是(2,4),且過另一點(0,-4),則這個二次函數的表達式為( )
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4
C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4
2.(4分·運算能力)設二次函數y=ax2+bx+2(a≠0,b是實數),已知函數值y和自變量x的部分對應取值如表所示,則該二次函數的表達式為( )
x … -1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A.y=2x2-x+2 B.y=x2-2x+2
C.y=-2x2-5x+2 D.y=-x2+2x+2
3.(4分·運算能力)已知二次函數圖象經過(1,0),(2,0)和(0,2)三點,則該函數的表達式是( )
A.y=2x2+x+2 B.y=x2-3x+2
C.y=x2+3x+2 D.y=x2-2x+3
4.(8分·運算能力)已知,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1,0),C(0,3),B(2,-3)三點.
(1)求拋物線對應的函數表達式;
(2)求拋物線的對稱軸和頂點坐標.

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