資源簡介

26.3　實踐與探索
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能運用二次函數的性質解決拱橋、運動軌跡等有關問題. 應用意識、幾何直觀、運算能力
2.能運用二次函數的性質解決商品銷售中的最大利潤問題. 應用意識、幾何直觀、運算能力
3.能通過建立二次函數模型,運用二次函數的圖象與性質進行決策,進一步提升模型觀念和解決實際問題的能力. 模型觀念、創新意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
建立坐標系解決實際問題的一般步驟: 第一步:根據題意建立適當的 ; 第二步:根據條件求出函數的 ; 第三步:確定自變量的 ; 第四步:解決 . 　 中條山隧道位于山西省運城市鹽湖區,這一隧道的建設開創了全省普通公路特長隧道工程建設的先河,也是全國單洞里程最長的隧道工程.如圖1是中條山隧道,其截面近似為拋物線形,如圖2為截面示意圖,線段OA表示水平的路面,以O為坐標原點,OA所在直線為x軸,以過點O垂直于x軸的直線為y軸,建立平面直角坐標系.經測量OA=12 m,拋物線的頂點P到OA的距離為5 m,則拋物線的函數表達式為 .
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1拋物線形問題(幾何直觀、應用意識、運算能力)
【典例1】(教材溯源·P27問題2拓展·2024·武漢中考)16世紀中葉,我國發明了一種新式火箭“火龍出水”,它是二級火箭的始祖.火箭第一級運行路徑形如拋物線,當火箭運行一定水平距離時,自動引發火箭第二級,火箭第二級沿直線運行.
某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程.如圖,以發射點為原點,地平線為x軸,垂直于地面的直線為y軸,建立平面直角坐標系,分別得到拋物線y=ax2+x和直線y=-x+b.其中,當火箭運行的水平距離為9 km時,自動引發火箭的第二級.
(1)若火箭第二級的引發點的高度為3.6 km,
①直接寫出a,b的值;
②火箭在運行過程中,有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35 km,求這兩個位置之間的距離.
(2)直接寫出a滿足什么條件時,火箭落地點與發射點的水平距離超過15 km.
【舉一反三】
(2024·寧波模擬)如圖,將小球從點O的正上方3 m的點A處發出,把小球看成點,其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關系式y=-x2+bx+c.
(1)若當小球運動的水平距離為1 m時,小球達到最大高度,求小球達到的最大高度.
(2)若小球發出位置的正前方4 m(OC=4 m)處有一個截面為長方形的球筐CDEF,其中CD為2 m,DE為1 m,若要使小球落入筐中,求b的取值范圍.
【技法點撥】
解決拋物線形實物問題的一般步驟
(1)建:建立適當的平面直角坐標系.
(2)求:待定系數法求出二次函數表達式.
(3)算:根據特殊點的橫(縱)坐標,算出該點的縱(橫)坐標.
(4)結:寫出實際問題的結論.
重點2商品利潤與二次函數(幾何直觀、應用意識、運算能力)
【典例2】(教材溯源·P30T2·2023朝陽中考)某超市以每件10元的價格購進一種文具,銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元.經過市場調查發現,該文具的每天銷售數量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系,部分數據如表所示:
銷售單價x/元 … 12 13 14 …
每天銷售數量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接寫出y與x之間的函數關系式;
(2)若該超市每天銷售這種文具獲利192元,則銷售單價為多少元
(3)設銷售這種文具每天獲利w元,當銷售單價為多少元時,每天獲利最大 最大利潤是多少元
【舉一反三】
(2024·貴陽期末)為搶抓大數據產業發展先機,緊跟電商發展新機遇、新模式、新業態,貴州省大力打造地方特色電商平臺,通過“云”銷售,助力“黔貨出山”.貴州特產某品牌刺梨汁的進價為45元/箱,售價為60元/箱,某銷售網店平均每周可售出100箱;當銷售價每降低1元時,平均每周多售出20箱.設每箱產品降價x元,每周的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的關系式;
(2)當銷售價為多少元時,每周獲得的利潤最大 并求出最大利潤.
【技法點撥】
1.銷售量隨單價變化而變化的三種展現方法:(1)文字敘述;(2)表格展示;(3)圖象展現.
2.確定利潤最大值的兩種情況:
(1)頂點在自變量的取值范圍之內,頂點的縱坐標便是最值;
(2)頂點在自變量的取值范圍之外,端點的縱坐標才是最值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(5分·應用意識、運算能力)便民商店經營一種商品,在銷售過程中,發現一周利潤y(元)與每件銷售價x(元)之間的關系滿足y=-2x2+80x+758,由于某種原因,價格需滿足15≤x≤19,那么一周可獲得的最大利潤是( )
A.1 554元 B.1 556元
C.1 558元 D.1 560元
2.(5分·應用意識、運算能力)如圖為一座拱橋的部分示意圖,中間橋洞的邊界線是拋物線形,澇季的最高水位線在AB處,此時橋洞中水面寬度AB僅為4米,橋洞頂部點O到水面AB的距離僅為1米;旱季最低水位線在CD處,此時橋洞中水面寬度CD達12米,那么最低水位CD與最高水位AB之間的距離為( )
A.8米 B.9米 C.10米 D.11米
3.(10分·模型觀念)某工廠生產某種體育器材,生產這種體育器材每件的成本y(元)與產量x(件)之間滿足一次函數關系,且當x=160時,y=960;當x=190時,y=840.
(1)求y與x之間的函數表達式.
(2)該工廠計劃生產這種體育器材不超過300件,且每件的成本不超過800元,已知這種體育器材每件的售價為1 200元,且全部售出,求當產量為多少件時,該工廠生產這種體育器材的利潤最大,并求出最大利潤.26.3　實踐與探索
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能運用二次函數的性質解決拱橋、運動軌跡等有關問題. 應用意識、幾何直觀、運算能力
2.能運用二次函數的性質解決商品銷售中的最大利潤問題. 應用意識、幾何直觀、運算能力
3.能通過建立二次函數模型,運用二次函數的圖象與性質進行決策,進一步提升模型觀念和解決實際問題的能力. 模型觀念、創新意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
建立坐標系解決實際問題的一般步驟: 第一步:根據題意建立適當的　平面直角坐標系　; 第二步:根據條件求出函數的　表達式　; 第三步:確定自變量的　取值范圍　; 第四步:解決　實際問題　. 　 中條山隧道位于山西省運城市鹽湖區,這一隧道的建設開創了全省普通公路特長隧道工程建設的先河,也是全國單洞里程最長的隧道工程.如圖1是中條山隧道,其截面近似為拋物線形,如圖2為截面示意圖,線段OA表示水平的路面,以O為坐標原點,OA所在直線為x軸,以過點O垂直于x軸的直線為y軸,建立平面直角坐標系.經測量OA=12 m,拋物線的頂點P到OA的距離為5 m,則拋物線的函數表達式為　y=-(x-6)2+5　.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1拋物線形問題(幾何直觀、應用意識、運算能力)
【典例1】(教材溯源·P27問題2拓展·2024·武漢中考)16世紀中葉,我國發明了一種新式火箭“火龍出水”,它是二級火箭的始祖.火箭第一級運行路徑形如拋物線,當火箭運行一定水平距離時,自動引發火箭第二級,火箭第二級沿直線運行.
某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程.如圖,以發射點為原點,地平線為x軸,垂直于地面的直線為y軸,建立平面直角坐標系,分別得到拋物線y=ax2+x和直線y=-x+b.其中,當火箭運行的水平距離為9 km時,自動引發火箭的第二級.
(1)若火箭第二級的引發點的高度為3.6 km,
①直接寫出a,b的值;
②火箭在運行過程中,有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35 km,求這兩個位置之間的距離.
(2)直接寫出a滿足什么條件時,火箭落地點與發射點的水平距離超過15 km.
【解析】(1)①∵y=ax2+x經過點(9,3.6),∴81a+9=3.6,解得a=-.
∵y=-x+b經過點(9,3.6),
∴3.6=-×9+b.
解得b=8.1.
②由①得:y=-x2+x
=-(x2-15x+)+
=-(x-)2+(0≤x≤9).
∴火箭運行的最高點是 km.
∴-1.35=2.4(km),
∴2.4=-x2+x,
整理得x2-15x+36=0.
解得x1=12>9(不合題意,舍去),x2=3.
由①得:y=-x+8.1,
∴2.4=-x+8.1,
解得:x=11.4.
∴11.4-3=8.4(km).
答:這兩個位置之間的距離為8.4 km.
(2)當x=9時,y=81a+9.
∴火箭第二級的引發點的坐標為(9,81a+9).
設火箭落地點與發射點的水平距離為15 km.
∴y=-x+b經過點(9,81a+9),(15,0),
∴.
解得:.
∴-【舉一反三】
(2024·寧波模擬)如圖,將小球從點O的正上方3 m的點A處發出,把小球看成點,其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關系式y=-x2+bx+c.
(1)若當小球運動的水平距離為1 m時,小球達到最大高度,求小球達到的最大高度.
(2)若小球發出位置的正前方4 m(OC=4 m)處有一個截面為長方形的球筐CDEF,其中CD為2 m,DE為1 m,若要使小球落入筐中,求b的取值范圍.
【解析】(1)∵小球運動的水平距離為1 m時,小球達到最大高度,
∴拋物線的對稱軸為直線x=1.
∴-=1,解得b=.
由題意得:拋物線上點A的坐標為(0,3).
∴c=3.
∴拋物線的表達式為y=-x2+x+3.
當x=1時,y=-++3=.
答:小球達到的最大高度為 m;
(2)由題意得:點F的坐標為(4,1),點E的坐標為(6,1).
∵拋物線上點A的坐標為(0,3),∴c=3.
∴拋物線的表達式為y=-x2+bx+3.
①拋物線經過點(4,1),-×42+4b+3=1,
解得b=.
②拋物線經過點(6,1),-×62+6b+3=1,
解得b=.∴要使小球落入筐中,b的取值范圍為≤b≤.
【技法點撥】
解決拋物線形實物問題的一般步驟
(1)建:建立適當的平面直角坐標系.
(2)求:待定系數法求出二次函數表達式.
(3)算:根據特殊點的橫(縱)坐標,算出該點的縱(橫)坐標.
(4)結:寫出實際問題的結論.
重點2商品利潤與二次函數(幾何直觀、應用意識、運算能力)
【典例2】(教材溯源·P30T2·2023朝陽中考)某超市以每件10元的價格購進一種文具,銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元.經過市場調查發現,該文具的每天銷售數量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系,部分數據如表所示:
銷售單價x/元 … 12 13 14 …
每天銷售數量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接寫出y與x之間的函數關系式;
(2)若該超市每天銷售這種文具獲利192元,則銷售單價為多少元
(3)設銷售這種文具每天獲利w元,當銷售單價為多少元時,每天獲利最大 最大利潤是多少元
【解析】(1)設y與x之間的函數關系式為y=kx+b(k≠0),由題表所給數據可知,
,解得,
故y與x的函數關系式為y=-2x+60.
(2)根據題意得(x-10)(-2x+60)=192,
解得x1=18,x2=22,
又∵10≤x≤19,∴x=18,
答:銷售單價應為18元.
(3)w=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200,
∵a=-2<0,∴拋物線開口向下,
∵對稱軸為直線x=20,
∴當10≤x≤19時,w隨x的增大而增大,
∴當x=19時,w有最大值,w最大=198.
答:當銷售單價為19元時,每天獲利最大,最大利潤是198元.
【舉一反三】
(2024·貴陽期末)為搶抓大數據產業發展先機,緊跟電商發展新機遇、新模式、新業態,貴州省大力打造地方特色電商平臺,通過“云”銷售,助力“黔貨出山”.貴州特產某品牌刺梨汁的進價為45元/箱,售價為60元/箱,某銷售網店平均每周可售出100箱;當銷售價每降低1元時,平均每周多售出20箱.設每箱產品降價x元,每周的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的關系式;
(2)當銷售價為多少元時,每周獲得的利潤最大 并求出最大利潤.
【解析】(1)由題意得,y=(60-45-x)(100+20x)=-20x2+200x+1 500;
(2)∵y=-20x2+200x+1500=-20(x-5)2+2 000≤2 000,
故當x=5,即售價為55元時,每周獲得的利潤最大,最大利潤為2 000元.
【技法點撥】
1.銷售量隨單價變化而變化的三種展現方法:(1)文字敘述;(2)表格展示;(3)圖象展現.
2.確定利潤最大值的兩種情況:
(1)頂點在自變量的取值范圍之內,頂點的縱坐標便是最值;
(2)頂點在自變量的取值范圍之外,端點的縱坐標才是最值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(5分·應用意識、運算能力)便民商店經營一種商品,在銷售過程中,發現一周利潤y(元)與每件銷售價x(元)之間的關系滿足y=-2x2+80x+758,由于某種原因,價格需滿足15≤x≤19,那么一周可獲得的最大利潤是(B)
A.1 554元 B.1 556元
C.1 558元 D.1 560元
2.(5分·應用意識、運算能力)如圖為一座拱橋的部分示意圖,中間橋洞的邊界線是拋物線形,澇季的最高水位線在AB處,此時橋洞中水面寬度AB僅為4米,橋洞頂部點O到水面AB的距離僅為1米;旱季最低水位線在CD處,此時橋洞中水面寬度CD達12米,那么最低水位CD與最高水位AB之間的距離為(A)
A.8米 B.9米 C.10米 D.11米
3.(10分·模型觀念)某工廠生產某種體育器材,生產這種體育器材每件的成本y(元)與產量x(件)之間滿足一次函數關系,且當x=160時,y=960;當x=190時,y=840.
(1)求y與x之間的函數表達式.
(2)該工廠計劃生產這種體育器材不超過300件,且每件的成本不超過800元,已知這種體育器材每件的售價為1 200元,且全部售出,求當產量為多少件時,該工廠生產這種體育器材的利潤最大,并求出最大利潤.
【解析】(1)設y與x之間的函數表達式y=kx+b(k≠0),
依題意得,
解得,∴y與x之間的函數表達式為y=-4x+1 600;
(2)設該工廠生產這種體育器材的利潤為W元,
依題意得W=[1 200-(-4x+1 600)]·x=4x2-400x,
由題意可知,x≤300,y≤800,
∴,
∴200≤x≤300,
∵W=4x2-400x,對稱軸為x=-=50,
∵a=4>0,x的取值范圍在對稱軸右側,
∴W隨x的增大而增大,
∴當x=300時,W最大,最大值為4×3002-400×300=360 000-120 000=240 000(元),
答:當產量為300件時,該工廠生產這種體育器材的利潤最大,最大利潤為240 000元.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 九”26.3　實踐與探索
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握二次函數與一元二次方程的關系,能運用一元二次方程根的判別式處理二次函數的相關問題,能用圖象法求一元二次方程的近似解. 幾何直觀、運算能力、推理能力
2.會利用二次函數的圖象求不等式的解集. 幾何直觀、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與一元二次方程根的關系 判別式: Δ=b2 -4ac二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根Δ>0與x軸有兩個不同的交點 (　x1　,0), (　x2　,0) 有兩個不等的實數根x=　x1　, x=　x2　 Δ=0與x軸有唯一一個交點 有兩個相等的實數根x1=x2=Δ<0與x軸 　沒有　交點 　沒有　 實數根
1.判斷(對的打“√”,錯的打“×”) (1)二次函數圖象與x軸不一定有交點.(√) (2)二次函數圖象與y軸不一定有交點.(×) 2.若拋物線y=x2+4x+c與x軸沒有交點,則c的值可以是(D) A.-4 B.0 C.4 D.8 3.根據下列表格,判斷出方程8x2+9x-1=0的一個近似解(結果精確到0.01)是(C) x-1.5-1.4-1.3-1.2-1.18x2+9x-13.52.080.82-0.28-1.22
A.-1.43 B.-1.33 C.-1.23 D.-1.13 4.已知二次函數y=-x2+2x+m的部分圖象如圖所示,則關于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解為　x1=3,x2=-1　. 5.如圖是拋物線y=ax2+bx+c的一部分,其對稱軸為直線x=1,若拋物線與x軸的一個交點為A(-1,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是　-1重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1二次函數與一元二次方程(抽象能力、運算能力、幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P28問題3拓展)如圖,二次函數y=-x2+6x-5a的圖象交x軸正半軸于A,B兩點(點A在點B的左邊),交y軸于點C,連結AC,BC,已知OC=5.
(1)求二次函數的表達式;
(2)求△ABC的面積.
【自主解答】(1)由題意,令x=0,∴y=-5a.
又OC=5,∴-5a=-5.∴a=1.
∴二次函數的表達式為y=-x2+6x-5.
(2)由(1)得拋物線為y=-x2+6x-5,
∴令y=0,則0=-x2+6x-5.
∴x=1或x=5.∴AB=5-1=4.又OC=5,
∴S△ABC=AB·OC=×4×5=10.
【舉一反三】
(2024·湖州期末)如圖,已知拋物線的頂點D的坐標為(1,-4),
且與y軸交于點C(0,-3).
(1)求該函數的關系式;
(2)求該拋物線與x軸的交點A,B的坐標.
【解析】(1)設拋物線頂點式為y=a(x-h)2+k(a≠0),由題意得h=1,k=-4,
將C點代入式子可得a=1,
所以拋物線的關系式為y=(x-1)2-4.
(2)要求拋物線與x軸的交點,可令y=0,
即(x-1)2-4=0,
解得x1=3,x2=-1.
所以交點坐標為B(3,0),A(-1,0).
【技法點撥】
二次函數與一元二次方程關系的兩個方面
1.“數”的方面:當二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的函數值等于0時,相應的自變量的值為一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解.
2.“形”的方面:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的解.
重點2二次函數與不等式(運算能力、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P29問題4拓展)如圖,拋物線y=-x2+mx與直線y=x+b交于點A和點B,直線AB與y軸交于點C(0,-2).
(1)求拋物線的表達式及頂點坐標;
(2)求點A的坐標,并結合圖象直接寫出關于x的不等式-x2+mx≤x+b的解集;
(3)若關于x的方程-x2+mx=n在-1≤x≤2的范圍內只有一個實數根或兩個相等的實數根,直接寫出n的取值范圍.
【解析】(1)由題意,將點C(0,-2)代入y=x+b,得b=-2,∴y=x-2.
當y=0時,x-2=0,解得x=2,
∴B(2,0).
將點B(2,0)代入y=-x2+mx得-22+2m=0,
∴解得m=2.
∴拋物線的表達式為y=-x2+2x.
∵y=-x2+2x=-(x-1)2+1,
∴頂點坐標為(1,1).
(2)∵直線y=x-2與拋物線y=-x2+2x的交點在第三象限,∴-x2+2x=x-2,
∴x=2(不符合題意,舍去)或x=-1,
∴x=-1,∴y=-3,
∴點A的坐標為(-1,-3).
觀察圖象,得不等式-x2+mx≤x+b的解集為x≤-1或x≥2.
(3)由題意,方程-x2+mx=n在-1≤x≤2的范圍內只有一個實數根或兩個相等的實數根可以理解為拋物線y=-x2+2x與直線y=n在-1≤x≤2的范圍內只有一個交點.
如圖,當-3≤n<0時,直線y=n與拋物線y=-x2+2x始終有一個交點;
當直線y=n經過拋物線頂點時,直線y=n與拋物線y=-x2+2x有一個交點.
∴n的取值范圍為-3≤n<0或n=1.
【舉一反三】
(2024·福州模擬)如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,2),其對稱軸是直線x=,則不等式ax2+bx+c≤2的解集是(D)
A.x≤0 B.x≤-1或x≥2
C.0≤x≤1 D.x≤0或x≥1
【技法點撥】
與二次函數相關的不等式解集的兩種情況
1.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸上方的部分的點的縱坐標都是正數,所對應的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.
2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸下方的部分的點的縱坐標都是負數,所對應的x的所有值就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀)二次函數y1=ax2+bx+c(a≠0)與一次函數y2=kx+m(k≠0)的圖象如圖所示,當y1>y2時,自變量x的取值范圍是(D)
A.1C.x>4 D.x<1或x>4
2.(4分·抽象能力)如表是一組二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的自變量x與函數值y的對應值:
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y -0.36 -0.01 0.36 0.75 1.16
那么下列選項中可能是方程ax2+bx+c=0的近似解的是(B)
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
3.(4分·抽象能力)經過點A(m,n),B(m-4,n)的拋物線y=x2+2cx+c與x軸有兩個公共點,與y軸的交點在x軸的上方,則m的取值范圍是　m<1　.
4.(8分·抽象能力、運算能力)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的自變量x與函數y的部分對應值如表:
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 -3 -4 -3 0 m …
(1)二次函數圖象的頂點坐標為　　　　　,m的值為　　　;
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象;
(3)點P(-4,y1)、Q(5,y2)在函數圖象上,y1　　　y2(填“<”“>”或“=”);
(4)當y<0時,x的取值范圍是　　　　　;
(5)關于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解為　　　　　　.
【解析】(1)根據拋物線的對稱性可知,頂點坐標為(1,-4),將(0,-3),(1,-4),(2,-3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)中得y=x2-2x-3,把x=4代入得,m=5;
答案:(1,-4)　5
(2)拋物線圖象如圖所示:
(3)根據拋物線的性質,開口向上,對稱軸為直線x=1,
點P到對稱軸的距離為1-(-4)=5,
點Q到對稱軸的距離為5-1=4,
∵5>4,∴y1>y2;
答案:>
(4)根據函數的圖象和性質,當y<0時,x的取值范圍是-1答案:-1(5)設二次函數的表達式y=k(x-1)2-4,將(-1,0)代入得,0=4k-4,k=1,
∴拋物線表達式為y=x2-2x-3,
令y=5,則x2-2x-3=5,
解得x1=4,x2=-2,
∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解為x=4或x=-2.
答案:x=4或x=-2
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十”26.3　實踐與探索
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握二次函數與一元二次方程的關系,能運用一元二次方程根的判別式處理二次函數的相關問題,能用圖象法求一元二次方程的近似解. 幾何直觀、運算能力、推理能力
2.會利用二次函數的圖象求不等式的解集. 幾何直觀、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與一元二次方程根的關系 判別式: Δ=b2 -4ac二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根Δ>0與x軸有兩個不同的交點 ( ,0), ( ,0) 有兩個不等的實數根x= , x= Δ=0與x軸有唯一一個交點 有兩個相等的實數根x1=x2= Δ<0與x軸 交點 實數根
1.判斷(對的打“√”,錯的打“×”) (1)二次函數圖象與x軸不一定有交點.(√) (2)二次函數圖象與y軸不一定有交點.(×) 2.若拋物線y=x2+4x+c與x軸沒有交點,則c的值可以是( ) A.-4 B.0 C.4 D.8 3.根據下列表格,判斷出方程8x2+9x-1=0的一個近似解(結果精確到0.01)是( ) x-1.5-1.4-1.3-1.2-1.18x2+9x-13.52.080.82-0.28-1.22
A.-1.43 B.-1.33 C.-1.23 D.-1.13 4.已知二次函數y=-x2+2x+m的部分圖象如圖所示,則關于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解為 . 5.如圖是拋物線y=ax2+bx+c的一部分,其對稱軸為直線x=1,若拋物線與x軸的一個交點為A(-1,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1二次函數與一元二次方程(抽象能力、運算能力、幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P28問題3拓展)如圖,二次函數y=-x2+6x-5a的圖象交x軸正半軸于A,B兩點(點A在點B的左邊),交y軸于點C,連結AC,BC,已知OC=5.
(1)求二次函數的表達式;
(2)求△ABC的面積.
【舉一反三】
(2024·湖州期末)如圖,已知拋物線的頂點D的坐標為(1,-4),
且與y軸交于點C(0,-3).
(1)求該函數的關系式;
(2)求該拋物線與x軸的交點A,B的坐標.
【技法點撥】
二次函數與一元二次方程關系的兩個方面
1.“數”的方面:當二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的函數值等于0時,相應的自變量的值為一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解.
2.“形”的方面:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的解.
重點2二次函數與不等式(運算能力、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P29問題4拓展)如圖,拋物線y=-x2+mx與直線y=x+b交于點A和點B,直線AB與y軸交于點C(0,-2).
(1)求拋物線的表達式及頂點坐標;
(2)求點A的坐標,并結合圖象直接寫出關于x的不等式-x2+mx≤x+b的解集;
(3)若關于x的方程-x2+mx=n在-1≤x≤2的范圍內只有一個實數根或兩個相等的實數根,直接寫出n的取值范圍.
【舉一反三】
(2024·福州模擬)如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,2),其對稱軸是直線x=,則不等式ax2+bx+c≤2的解集是( )
A.x≤0 B.x≤-1或x≥2
C.0≤x≤1 D.x≤0或x≥1
【技法點撥】
與二次函數相關的不等式解集的兩種情況
1.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸上方的部分的點的縱坐標都是正數,所對應的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.
2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸下方的部分的點的縱坐標都是負數,所對應的x的所有值就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀)二次函數y1=ax2+bx+c(a≠0)與一次函數y2=kx+m(k≠0)的圖象如圖所示,當y1>y2時,自變量x的取值范圍是( )
A.1C.x>4 D.x<1或x>4
2.(4分·抽象能力)如表是一組二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的自變量x與函數值y的對應值:
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y -0.36 -0.01 0.36 0.75 1.16
那么下列選項中可能是方程ax2+bx+c=0的近似解的是( )
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
3.(4分·抽象能力)經過點A(m,n),B(m-4,n)的拋物線y=x2+2cx+c與x軸有兩個公共點,與y軸的交點在x軸的上方,則m的取值范圍是 .
4.(8分·抽象能力、運算能力)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的自變量x與函數y的部分對應值如表:
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 -3 -4 -3 0 m …
(1)二次函數圖象的頂點坐標為 ,m的值為 ;
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象;
(3)點P(-4,y1)、Q(5,y2)在函數圖象上,y1 y2(填“<”“>”或“=”);
(4)當y<0時,x的取值范圍是 ;
(5)關于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解為 .

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