資源簡介

1.2 任意角
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解任意角的概念，能區(qū)分正角、負(fù)角和零角.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解并掌握象限角的概念，并會用集合表示象限角.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.會表示終邊相同的角所組成的集合.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.初中有學(xué)過哪些特殊的角
2.角度還可以再擴(kuò)大嗎
3.當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就被確定了嗎
4.你能說出角的要素嗎
5.正角、負(fù)角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的
6.如果一個(gè)角的終邊與其始邊重合，這個(gè)角一定是零角嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)小于90°的角都是銳角. (　　)
(2)終邊與始邊重合的角為零角. (　　)
(3)第二象限角是鈍角. (　　)
(4)225°是第三象限角. (　　)
2.下列說法正確的是(　　).
A.最大的角是180°
B.最大的角是360°
C.角不可以是負(fù)的
D.角可以是任意大小
3.與 610°角終邊相同的角表示為(　　).
A.k·360°+230°，k∈Z
B.k·360°+250°，k∈Z
C.k·360°+70°，k∈Z
D.k·180°+270°，k∈Z
4.與-1 560°角終邊相同的角的集合中，最小的正角是　　　，最大的負(fù)角是　　　　.
【合作探究】
　任意角的概念
問題1：你的手表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的
問題2：假如你的手表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快了1小時(shí)15分鐘，你如何將它校準(zhǔn) 當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度
問題3：同學(xué)們能否再舉出幾個(gè)生活中“大于360°的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子
1.任意角的定義、圖示、記法
有關(guān)概念 描述
定義 角可以看成平面內(nèi) 繞著 從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的
圖示 其中O為 ，OA為 ，OB為
記法 角α或∠α，或簡記為α
2.角的分類
名稱 定義
正角 按 方向旋轉(zhuǎn)形成的角
負(fù)角 按 方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角 一條射線 作任何旋轉(zhuǎn)形成的角
平行于x軸且方向與x軸正方向相同的射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到射線OB的位置，接著再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到OC的位置，則∠AOC的度數(shù)為　　　　.
【方法總結(jié)】弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向和大小.
若手表時(shí)針走過4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為(　　).
A.120° B.-120° C.-60° D.60°
以x軸的非負(fù)半軸為始邊，在平面直角坐標(biāo)系中畫出下列各角：(1)-180°；(2)1 070°.
　象限角與軸線角
　　在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，回答下列問題.
問題1：210°角的終邊落在第幾象限 -45°角的終邊落在第幾象限 -150°角的終邊落在第幾象限
問題2：0°，90°角的終邊落在什么位置
1.象限角：在平面直角坐標(biāo)系中討論角，使角的頂點(diǎn)與 重合，角的始邊與 軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角.
2.軸線角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在坐標(biāo)軸上，就把這個(gè)角叫作軸線角.
已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角.
(1)-75°；
(2)855°；
(3)-510°.
【方法總結(jié)】象限角的判斷方法：(1)根據(jù)圖形判斷，在直角坐標(biāo)系中作出角，角的終邊落在第幾象限，此角就是第幾象限角；(2)根據(jù)終邊相同的角的概念把角轉(zhuǎn)化到0°~360°范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化后的角在第幾象限，此角就是第幾象限角.
若α是第四象限角，則180°-α是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
　終邊相同的角的表示
　　我們?nèi)粘Ｊ褂玫淖鳛闀r(shí)間周期的“星期”，最早起源于古巴比倫.現(xiàn)在世界各國通用的一星期7天的制度最早由君士坦丁大帝制定，他在公元321年3月7日正式宣布7天為一星期，這個(gè)制度一直沿用至今.假如今天是星期三.
問題1：7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾
問題2：7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾
問題3：2 025天后的那一天是星期幾
一般地，給定一個(gè)角α，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和.
特別提醒：對終邊相同的角的理解.
(1)α為任意角，“k∈Z”這一條件不能漏.
(2)k·360°與α中間用“+”連接，k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)當(dāng)角的始邊相同時(shí)，相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.終邊不同，則表示的角一定不同.
已知α=-315°.
(1)把α寫成k·360°+β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；
(2)求θ，使θ與α終邊相同，且-1 080°<θ<-360°.
寫出終邊在直線y=-x上的角的集合.
【方法總結(jié)】1.終邊落在直線上的角的集合的步驟
(1)寫出在0°~360°范圍內(nèi)相應(yīng)的角.
(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合.
(3)根據(jù)條件能合并一定合并，使結(jié)果簡潔.
2.終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論
(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.
(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍.
(3)終邊在相互垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.
若角2α與240°角的終邊相同，則α=(　　).
A.120°+k·360°，k∈Z
B.120°+k·180°，k∈Z
C.240°+k·360°，k∈Z
D.240°+k·180°，k∈Z
在平面直角坐標(biāo)系中寫出下列角的集合：
(1)終邊在x軸的非負(fù)半軸上；
(2)終邊在y=x(x≥0)上.
　區(qū)域角的表示
問題1：在銳角范圍內(nèi)，終邊落在30°角和60°角的終邊(不包括終邊)之間的角的集合怎樣表示
問題2：終邊落在30°角和60°角的終邊(不包括終邊)之間的角的集合怎樣表示
如圖所示，分別寫出符合下列條件的角的集合：
(1)終邊落在射線OM上；
(2)終邊落在直線OM上；
(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界).
【方法總結(jié)】　　先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界，再由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間，然后將起始、終止邊界對應(yīng)角α，β加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.借助平面圖形建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，滲透了直觀想象素養(yǎng).
已知α是銳角，那么2α是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角
如圖所示，寫出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集合.
【隨堂檢測】
1.-215°是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知集合A={θ|θ為銳角}，B={θ|θ為小于90°的角}，C={θ|θ為第一象限角}，D={θ|θ為小于90°的正角}，則下列等式成立的是(　　).
A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D
3.30°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，所得角的度數(shù)是　　　　.
4.如圖所示，(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；
(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
參考答案
1.2 任意角
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.30°角、45°角、60°角、直角、平角等.
2.可以.可以無限大，也可以無限小.
3.不是的.雖然始邊和終邊確定了，但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小(旋轉(zhuǎn)圈數(shù))并沒有確定，所以角也就不能確定.
4.角的要素是頂點(diǎn)、始邊、終邊.
5.根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向.
6.不一定，零角的終邊與始邊重合，但終邊與始邊重合的角不一定是零角，如360°角，-360°角等，角的大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置確定的，而是根據(jù)射線旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小(旋轉(zhuǎn)圈數(shù))確定的.
自學(xué)檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】角可以是任意大小，故角沒有最值，角可以是負(fù)的.故選D.
3.B　【解析】610°與250°相差一個(gè)360°，故B正確.
4.240°　-120°　【解析】與-1 560°角終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+240°，k∈Z}，當(dāng)k=0時(shí)，取得最小的正角，為240°，當(dāng)k=-1時(shí)，取得最大的負(fù)角，為-120°.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1：將分針順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°.
問題2：將分針逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450°，即可校準(zhǔn).
問題3：(1)女子10米臺跳水比賽中，運(yùn)動員在空中旋轉(zhuǎn)的角度；
(2)汽車在前進(jìn)和倒車中，車輪轉(zhuǎn)動的角度；
(3)工人在擰緊或擰松螺絲時(shí)，扳手轉(zhuǎn)動的角度.
新知生成
1.一條射線　端點(diǎn)　圖形　頂點(diǎn)　始邊　終邊
2.逆時(shí)針　順時(shí)針　沒有
新知運(yùn)用
例1　60°　【解析】不妨畫出簡圖，如圖所示，由圖和已知可得∠AOC=90°+(-30°)=60°.
所以∠AOC的度數(shù)為60°.
鞏固訓(xùn)練1　B　【解析】由于時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)值，即為-×360°=-120°.
鞏固訓(xùn)練2　【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，畫出各角，如圖所示.
探究2　情境設(shè)置
問題1：210°角的終邊落在第三象限，-45°角的終邊落在第四象限，-150°角的終邊落在第三象限.
問題2：0°角的終邊落在x軸非負(fù)半軸，90°角的終邊落在y軸非負(fù)半軸.
新知生成
1.原點(diǎn)　x
新知運(yùn)用
例2　【解析】作出各角，其對應(yīng)的終邊如圖所示.
(1)由圖①可知-75°是第四象限角.
(2)由圖②可知855°是第二象限角.
(3)由圖③可知-510°是第三象限角.
鞏固訓(xùn)練　C　【解析】因?yàn)棣僚c-α關(guān)于x軸對稱，而α是第四象限角，所以-α是第一象限角，
又-α與180°-α關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以180°-α是第三象限角.故選C.
探究3　情境設(shè)置
問題1：星期三.；問題2：星期三.；問題3：星期五.
新知運(yùn)用
例3　【解析】(1)因?yàn)?315°=-360°+45°，又0°<45°<360°，所以把α寫成k·360°+β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，得α=-1×360°+45°.
(2)因?yàn)榕c-315°終邊相同的角為θ=k·360°+45°(k∈Z)，所以當(dāng)k=-3時(shí)，θ=-1 035°；當(dāng)k=-2時(shí)，θ=-675°，滿足-1 080°<θ<-360°，即得所求角θ為-1 035°和-675°.
例4　【解析】終邊在射線y=-x(x≤0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}；
終邊在射線y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}.
因此，終邊在直線y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}，
即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.
故終邊在直線y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.
鞏固訓(xùn)練1　B　【解析】因?yàn)榻?α與240°角的終邊相同，所以2α=240°+k·360°，k∈Z，得α=120°+k·180°，k∈Z.故選B.
鞏固訓(xùn)練2　【解析】(1)在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角有一個(gè)，為0°，故終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{α|α=k·360°，k∈Z}.
(2)在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個(gè)，為45°，故終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為{α|α=k·360°+45°，k∈Z}.
探究4　情境設(shè)置
問題1：{α|30°<α<60°}.
問題2：{α|k·360°+30°<α新知運(yùn)用
例5　【解析】(1)終邊落在射線OM上的角的集合為{α|α=45°+k·360°，k∈Z}.
(2)由(1)得終邊落在射線OM上的角的集合為{α|α=45°+k·360°，k∈Z}，
終邊落在射線OM反向延長線上的角的集合為{α|α=225°+k·360°，k∈Z}，
所以終邊落在直線OM上的角的集合為{α|α=45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}={α|α=45°+2k·180°，k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=45°+n·180°，n∈Z}.
(3)終邊落在直線ON上的角的集合為{β|β=60°+n·180°，n∈Z}，
則終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°，n∈Z}.
鞏固訓(xùn)練1　C　【解析】∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
鞏固訓(xùn)練2　【解析】如題圖(1)所示，以O(shè)B為終邊的角有330°角，可看成是-30°，
∴以O(shè)A，OB為終邊的角的集合分別是S1={x|x=75°+k·360°，k∈Z}，S2={x|x=-30°+k·360°，k∈Z}，
∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|k·360°-30°≤θ≤k·360°+75°，k∈Z}.
如題圖(2)所示，以O(shè)B為終邊的角有225°角，可看成是-135°，
∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|-135°+k·360°≤θ≤135°+k·360°，k∈Z}.
隨堂檢測·精評價(jià)
1.B　【解析】-215°=-360°+145°，∵145°是第二象限角，
∴-215°也是第二象限角.
2.D　【解析】集合A中，銳角θ滿足0°<θ<90°；集合B中，θ<90°，可以為負(fù)角；集合C中，θ滿足k·360°<θ3.-690°　【解析】由題意知，所得角為30°-2×360°=-690°.
4.【解析】(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.
終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.
(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.

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