資源簡介

1.3 弧度制
【學習目標】
1.了解弧度制下，角的集合與實數集之間的一一對應關系.(數學抽象)
2.理解“1弧度的角”的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長公式和扇形面積公式.(數學運算)
3.熟悉特殊角的弧度數.(數學運算)
【自主預習】
1.前面學過角度可以用角度制來衡量，那么還有其他的度量單位來表示角度嗎
2.在大小不同的圓中，長度為1的弧所對的圓心角相等嗎
3.角度制下的扇形的弧長公式和扇形面積公式是什么
4.你認為式子|α|=中，比值與所取的圓的半徑大小是否有關
5.用弧度制表示60°.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位. (　　)
(2)用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關. (　　)
(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大. (　　)
2.對應的角度為(　　).
A.75° B.125°
C.135° D.155°
3.與角-終邊相同的角是(　　).
A. B.
C. D.
4.已知扇形的半徑r=30，圓心角α=，則該扇形的弧長等于　　　　，面積等于　　　　，周長等于　　　　.
【合作探究】
　角度與弧度的換算
　　單位制這個概念我們并不陌生，比如說測量長度的單位制，古代常以人體的一部分作為長度單位.如記載說：“十尺為丈，人長八尺，故曰丈夫.”可見，古時量物，寸與指、尺與手、尋與身有一一對應的關系.而現在國際上通用的是國際單位制中的“米制”，應用起來要方便得多.初中幾何里，角度制就是度量角的一種單位制.
問題1：在初中幾何里，我們學習過角的度量，1°的角是怎樣定義的呢
問題2：
射線OA繞端點O旋轉到OB形成角α，在旋轉過程中，射線OA上的一點P(不同于點O)的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應于圓心角α.設α=n°，OP=r，點P所形成的的長為l，求弧長l與半徑r的比值.
問題3：上述問題2中，射線OA上的一點Q(不同于點O)，OQ=r1，在旋轉過程中，點Q所形成的的長為l1，求弧長l1與半徑r1的比值，其與問題2中的比值有何關系
1.角的單位制
(1)角度制：規定周角的為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫作角度制.
(2)弧度制：在單位圓中，把長度等于 的弧所對的 叫作1弧度的角.以弧度作為單位來度量角的方法，叫作 ，它的單位符號是rad，讀作 ，通常略去不寫.
(3)角的弧度數的求法：正角的弧度數是一個 ，負角的弧度數是一個 ，零角的弧度數是 .如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數的絕對值|α|= .
(4)半徑為 的圓叫作單位圓.
2.角度與弧度的換算
角度化弧度 弧度化角度
360°= 2π rad=360°
180°= π rad=
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57°18'
特別提醒：(1)用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以不寫；(2)用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數；(3)角度化為弧度時，應先將分、秒化為度，再化為弧度.
3.一些特殊角與弧度數的對應關系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
設α1=510°，α2=-750°，β1=，β2=-.
(1)將α1，α2用弧度表示出來，并指出它們各自終邊所在的象限；
(2)將β1，β2用角度表示出來，并在-360°~360°范圍內找出與它們終邊相同的所有的角.
【方法總結】　　角度與弧度的互化技巧
在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式π rad=180°是關鍵，由它可以得到：
度數×=弧度數，弧度數×=度數.
將下列角度與弧度進行互化，并指出是第幾象限角.
(1)；(2)-；(3)10°；(4)-855°.
已知α=15°，β=，γ=1，θ=105°，φ=，試比較α，β，γ，θ，φ的大小.
　用弧度制表示終邊相同的角和區域角
　　引入弧度之后，在平面直角坐標系中，與角α終邊相同的角，連同角α在內，都可以寫成β=α+2kπ(k∈Z)的形式，看到如圖所示的圖案，小明試圖寫出OA，OB終邊表示的角以及圖中終邊落在陰影部分的角的集合.
問題1：小明在做題時得到終邊在OA上的角的集合為{α|α=2kπ+135°，k∈Z}或αα=k·360°+，k∈Z，你覺得這種表示是否正確 為什么
問題2：上述圖形中，小明在做題時得到的終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合能否寫為α2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z 為什么
1.用弧度制表示終邊相同的角2kπ+α(k∈Z)時，其中2kπ是π的偶數倍，而不是整數倍，還要注意角度制與弧度制不能混用.
2.對于區域角的書寫，一定要看其區域是否跨越x軸的正方向.若區域跨越x軸的正方向，則前面的角用負角表示，后面的角用正角表示.
(1)把-1 125°化成α+2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　).
A.--6π B.-6π
C.--8π D.-8π
(2)寫出終邊在圖中陰影部分的角的集合(包括邊界).
【方法總結】　　根據已知圖形寫出區域角的集合的步驟：
(1)仔細觀察圖形；
(2)寫出區域邊界作為終邊時角的表示；
(3)用不等式表示區域范圍內的角.
已知α=-800°.
(1)把α改寫成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限角；
(2)求γ，使γ與α的終邊相同，且γ∈-，.
用弧度表示的終邊落在y軸右側的角的集合為　　　　.
　扇形的弧長、面積公式的應用
　　如圖所示，設公路彎道處弧AB的長為l.(圖中長度單位：m)
問題1：圖中的60°是多少弧度
問題2：弧AB的長l是多少
問題3：求扇形AOB的面積S.
弧度制下的弧長與扇形面積公式
度量制 公式
弧長公式 扇形面積公式
角度制 l= S=
弧度制 l= S= =|α|r2
(1)已知一扇形的圓心角是72°，半徑為20，求扇形的面積.
(2)已知一扇形的周長為4，當它的半徑與圓心角取何值時，扇形的面積最大 最大值是多少
【方法總結】　　扇形的弧長和面積的求解策略
(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S=lR=αR2(其中l是扇形的弧長，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數，0<α<2π).
(2)找關鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題，關鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.
已知扇形的半徑為10 cm，圓心角為60°，求扇形的弧長和面積.
　弧度在古代數學測量中的應用
問題1：用公式|α|=求圓心角時，應注意什么問題
問題2：在使用弧度制下的弧長公式及面積公式時，若已知的角是以“度”為單位，則需注意什么問題
《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表，其中《方田》章給出了計算弧田(由圓弧和其所對弦所圍成)面積所用的經驗公式：弧田面積=(弦×矢+矢2)，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.已知一塊弦長為6 m的弧田按經驗公式計算所得面積為3+m2，則該弧田的實際面積為　　　　m2.
【方法總結】　　看清角的度量制，恰當選用公式解決問題，解題過程滲透了數學運算、邏輯推理的素養.
《九章算術》大約成書于公元一世紀，是我國著名的數學著作，對我國古代數學的發展起著巨大的推動作用.如在第一章《方田三七》中介紹了環田的計算方法，即圓環的面積計算：將圓環剪開拉直成為一個等腰梯形，如圖，這個等腰梯形的面積就是圓環的面積.據此思想我們可以計算扇環面積.中國折扇扇面藝術也是由來已久，傳承著唐宋以來歷代書畫家的詩情畫意.今有一扇環折扇，扇面外弧長為40 cm，內弧長為20 cm，該扇面面積為450 cm2，則扇面扇骨(內外環半徑之差)長為(　　)cm.
A.10 B.15
C.20 D.25
【隨堂檢測】
1.(多選題)下列說法正確的是(　　).
A.半圓所對的圓心角是π
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑
D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度
2.時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉過的弧度為(　　).
A. B.- C. D.-
3.-135°化為弧度為　　　　，化為角度為　　　　.
4.周長為9，圓心角為1 rad的扇形面積為　　　　.
參考答案
1.3 弧度制
自主預習·悟新知
預學憶思
1.有，弧度制.
2.不相等.因為長度為1的弧是指弧的長度為1，在大小不同的圓中，因為半徑不同，所以圓心角也不同.
3.扇形弧長公式為l= ，扇形面積公式為S=(其中r是扇形所在圓的半徑，n為扇形的圓心角).
4.與半徑大小無關，一定大小的圓心角α所對應的弧長與半徑的比值是唯一確定的.
5..
自學檢測
1. (1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　【解析】因為1 rad=°，所以 rad=×°=135°，故選C.
3.C　【解析】與角-終邊相同的角為2kπ-，k∈Z，當k=1時，此角等于.故選C.
4.5π　75π　60+5π　【解析】弧長l=rα=30×=5π，面積S=lr=×5π×30=75π，周長為2r+l=60+5π.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：1°的角可以理解為將圓周角分成360等份，每一等份圓心角就是1°.它是一個定值，與所取圓的半徑大小無關.
問題2：因為l=，所以=.
問題3：因為l1=，所以=n.故=n=.
新知生成
1.(2)1　圓心角　弧度制　弧度　(3)正數　負數　0　　(4)1
2.2π rad　π rad　180°
新知運用
例1　【解析】(1)∵1°= rad，∴α1=510°=510×=，
α2=-750°=-750×=-.
∴α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第四象限.
(2)β1==×°=144°.
設θ1=k·360°+144°(k∈Z)，
∵-360°≤θ1<360°，
∴-360°≤k·360°+144°<360°，
∴k=-1或k=0.
∴在-360°~360°范圍內與β1終邊相同的角是-216°.
β2=-=-×°=-330°.
設θ2=k·360°-330°(k∈Z)，
∵-360°≤θ2<360°，
∴-360°≤k·360°-330°<360°，
∴k=0或k=1.
∴在-360°~360°范圍內與β2終邊相同的角是30°.
鞏固訓練1　【解析】(1)=×180°=54°，是第一象限角；
(2)-=-×180°=-240°，是第二象限角；
(3)10°=10×=，是第一象限角；
(4)-855°=-855×=-，是第三象限角.
鞏固訓練2　【解析】α=15°=15×=，θ=105°=105×=.
顯然<<1<.故α<β<γ<θ=φ.
探究2　情境設置
問題1：不正確，因為角度制與弧度制不能混用.
問題2：不能，正確寫法為α2kπ-≤α≤2kπ+，k∈Z.
新知運用
例2　(1)D　【解析】(1)-1 125°=-1 125×=-=-8π，故選D.
(2)S=α+2kπ≤α≤+2kπ，k∈Z∪α+2kπ≤α≤+2kπ，k∈Z=α+2kπ≤α≤+2kπ，k∈Z∪α+(2k+1)π≤α≤+(2k+1)π，k∈Z=α+nπ≤α≤+nπ，n∈Z.
鞏固訓練1　【解析】(1)∵-800°=-3×360°+280°，280°=，
∴α=-800°=+(-3)×2π.
∵α與角終邊相同，∴α是第四象限角.
(2)∵與α終邊相同的角可寫為2kπ+，k∈Z的形式，而γ與α的終邊相同，∴γ=2kπ+，k∈Z.
又γ∈-，，∴-<2kπ+<，k∈Z，
解得k=-1，∴γ=-2π+=-.
鞏固訓練2　θ-+2kπ<θ<+2kπ，k∈Z　【解析】y軸對應的角可用-，表示，所以y軸右側角的集合為.
探究3　情境設置
問題1：60°=60×=.
問題2：l=|α|·R=×45=15π(m).
問題3：S==×452=××452=(m2).
新知生成
|α|·r　lr
新知運用
例3　【解析】(1)設扇形的弧長為l，因為圓心角72°=72×= rad，
所以扇形的弧長l=|α|·r=×20=8π，
故扇形的面積S=l·r=×8π×20=80π.
(2)設扇形圓心角的弧度數為θ(0<θ<2π)，弧長為l，半徑為r，面積為S，
則l+2r=4，所以l=4-2r所以S=l·r=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1，
所以當r=1時，S最大，且Smax=1，
θ===2(rad).
鞏固訓練　【解析】已知扇形的圓心角α=60°=，半徑r=10 cm，
則弧長l=α·r=×10=(cm)，
于是面積S=lr=××10=(cm2).
探究4　情境設置
問題1：應注意結果是圓心角的絕對值，具體應用時既要注意其大小，又要注意其正負.
問題2：若已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成“弧度”后再計算，否則結果易出錯.
新知運用
例4　4π-3　【解析】如
圖所示，弦長AB=6，設矢CD=x，
則弧田的面積S弧田=×(6x+x2)=3+，
即6x+x2=6+3，(x+3)2=6+12=3(1+)2，
∴x=或x=-6-(不符合題意，舍去).
設OA=R，則OD=R-，
∴R2=(R-)2+32，
解得R=2，∴∠AOB=，
則該弧田的實際面積S=S扇形-S△AOB=××(2)2-×6×=4π-3.
鞏固訓練　B　【解析】依題意有扇骨即等腰梯形的高，扇面內外弧長即等腰梯形的兩底，設扇面扇骨長為x，則×(40+20)·x=450，解得x=15.
隨堂檢測·精評價
1.ABC　【解析】根據弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確；長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是弧度，D錯誤.
2.B　【解析】顯然分針在1點到3點20分這段時間里，順時針轉過了周，轉過的弧度為-×2π=-.
3.-　660°　【解析】-135°=-135×=-，
=×180°=660°.
4.　【解析】設扇形的半徑為r，弧長為l，由題意可知解得所以S=lr=.

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