資源簡介

1.4.1單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數定義
【學習目標】
1.借助單位圓理解任意角的正弦函數、余弦函數的定義.(數學抽象)
2.能用正弦函數、余弦函數的定義進行計算.(數學運算)
【自主預習】
在初中，我們知道在Rt△ABC中，當∠C為直角時，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦，記作sin A；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦，記作cos A，即sin A=，cos A=.當把銳角放在平面直角坐標系中時，角的終邊與單位圓交于一點，正弦函數對應于該點的縱坐標.當所求角是任意角時，能否通過單位圓及函數定義的形式引出正弦函數的定義呢 這就是本節要研究的內容.
閱讀教材，結合上述情境回答下列問題：
1.單位圓有什么特征
2.已知角α終邊上一點與單位圓的交點為P(x，y)，你能寫出角α的正弦、余弦的比值嗎
3.設角α終邊上有除原點外的一點Q(x，y)，且r=|OQ|=，此時角α的正弦函數值、余弦函數值是什么
1.已知P(1，-2)為角α的終邊上一點，則sin α+cos α=(　　).
A.-1 B.
C.- D.-
2.已知Pcos，1是角α終邊上一點，則sin α=(　　).
A. B. C. D.
3.已知角α的終邊過點P(-3，8m)，且sin α=-，則m的值為(　　).
A.- B. C.- D.
4.(改編)若角α的終邊與單位圓交于點，m，求的值.
【合作探究】
　銳角的正弦函數、余弦函數的定義
　　在如圖所示的平面直角坐標系中，使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于點M，設P(x，y)，|OP|=r.
問題1：你能說出角α的正弦、余弦值是多少嗎
問題2：對確定的銳角α，sin α，cos α的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變呢
問題3：在問題1中，當|OP|=1時，sin α，cos α的值怎樣表示
正、余弦函數的定義：如圖所示，在平面直角坐標系中，作以坐標原點為圓心的單位圓，對于銳角α，使角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于唯一的點P(u，v)，點P的縱坐標v是該角的正弦函數值，記作v=sin α；點P的橫坐標u是該角的余弦函數值，記作u=cos α.
已知銳角α的終邊過點P，.
(1)求sin α，cos α的值；
(2)求2sin αcos α+cos2α的值；
(3)求以角α為圓心角，半徑為6 cm的扇形的弧長.
【方法總結】　　求銳角的三角函數值的方法：根據定義，尋求角的終邊與單位圓的交點P的坐標，然后利用定義得出該角的正弦、余弦值.
在直角坐標系的單位圓中，已知α=.
(1)求出角α的終邊與單位圓的交點坐標；
(2)求出角α的正弦、余弦值.
　任意角的正弦函數、余弦函數
若角α是鈍角，終邊落在第二象限，使角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于點M，設P(x，y)，|OP|=r.
問題1：此時角α的正弦、余弦分別等于什么
問題2：在問題1中，當|OP|=1時，sin α，cos α的值與角α是銳角時表示的一樣嗎
正弦函數和余弦函數的定義
設角α終邊上除原點外的一點Q(x，y)，則sin α=，cos α=.其中r=.
已知角θ終邊上一點P(x，3)(x≠0)，且cos θ=x，求sin θ.
【方法總結】求任意角的三角函數值的方法：第一步，取點，在角α的終邊上任取一點P(x，y)(點P與原點O不重合)；第二步，計算r，r=|OP|=(r>0)；第三步，求值，由sin α=，cos α=求值.
已知角α的終邊過點P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin α+cos α的值.
　單位圓在三角函數中的應用
在直角坐標系的單位圓中，已知α=.
(1)畫出角α；
(2)求出角α的終邊與單位圓的交點坐標；
(3)求出角α的正弦函數值.
【方法總結】(1)先將角α表示為α=β+2kπ(-π<β≤π，k∈Z)的形式，則角β的終邊即為角α的終邊，|k|為x軸的非負半軸逆(k>0)或順(k<0)時針旋轉的周數.
(2)求角α與單位圓的交點坐標，應利用角α的特殊性轉化為直角三角形的邊角關系求解，進而得角α的正弦、余弦值.
在直角坐標系的單位圓中，已知α=-.
(1)畫出角α；
(2)求出角α的終邊與單位圓的交點坐標；
(3)求出角α的正弦、余弦值.
【隨堂檢測】
1.若角α的終邊與單位圓相交于點，-，則sin α=(　　).
A. B.- C. D.-
2.已知角α的終邊經過點P，，則cos α=(　　).
A. B. C. D.±
3.已知角α的終邊經過點(4，m)(m≠0)，且sin α=，則m=(　　).
A.3 B.±3 C.5 D.±5
4.已知角α的終邊上有一點P(24k，7k)，k≠0，求sin α，cos α的值.
參考答案
1.4.1 單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數定義
自主預習·悟新知
預學憶思
1.單位圓是半徑為1的圓.
2.能，sin α=y，cos α=x.
3.sin α=，cos α=.
自學檢測
1.C　【解析】因為P(1，-2)為角α的終邊上一點， 所以sin α==-，cos α==，則sin α+cos α=-+=-.故選C.
2.D　【解析】依題意點P的坐標為，1，|OP|==，∴sin α==.故選D.
3.A　【解析】因為角α的終邊過點P(-3，8m )， 所以sin α==-，解得m=-.
4.【解析】因為角α的終邊與單位圓交于點，m，所以2+m2=1，解得m=±，
所以sin α==y=m=±，cos α=，
所以當sin α=時，==；當sin α=-時，==.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：sin α=，cos α=.
問題2：不會.因為三角函數值是比值，其大小與點P(x，y)在終邊上的位置無關，只與角α的終邊位置有關，即三角函數值的大小只與角有關.
問題3：sin α=y，cos α=x.
新知運用
例1　【解析】(1)∵角α的終邊過點P，，
∴x=，y=，∴r=1.
∴sin α=，cos α=.
(2)由(1)可得2sin α cos α+cos2α=2××+2=.
(3)設扇形的弧長為l，半徑為r，由(1)得α=，由弧長公式得l=α·r=×6=2π(cm).
鞏固訓練　【解析】
(1)作出角α，如圖所示.
在Rt△OPA中，OP=1，OA=，PA=，
所以角α的終邊與單位圓的交點坐標為，.
(2)由正弦函數、余弦函數的定義可得，sin α=，cos α=.
探究2　情境設置
問題1：sin α=，cos α=.
問題2：一樣，sin α=y，cos α=x.
新知運用
例2　【解析】由題意知r=|OP|=，由三角函數定義得cos θ==.
∵cos θ=x，∴=x，解得x=0或x=±1.
又∵x≠0，∴x=±1.
當x=1時，P(1，3)，此時sin θ==；
當x=-1時，P(-1，3)，此時sin θ==.
故sin θ=.
鞏固訓練　【解析】由已知得r==5|a|.
①若a>0，則r=5a，角α在第二象限，sin α===，cos α===-，
∴2sin α+cos α=-=1.
②若a<0，則r=-5a，角α在第四象限，sin α===-，cos α===，
∴2sin α+cos α=-+=-1.
綜上所述，2sin α+cos α=±1.
探究3
例3　【解析】(1)因為α==2π+，
所以角α的終邊與的終邊相同.
以原點為角的頂點，以x軸的非負半軸為角的始邊，逆時針旋轉，與單位圓交于點P，則角α如圖所示.
(2)因為α=，所以點P在第二象限，
由(1)知∠AOP=，過點P作PM⊥x軸于點M，
則在Rt△OMP中，∠OMP=，∠MOP=，OP=1，
由直角三角形的邊角關系，得OM=，MP=，
所以點P的坐標為-，.
(3)由正弦函數的定義得sin =.
鞏固訓練　【解析】(1)因
為α=-=-2π-，所以角α的終邊與-的終邊相同.如圖，以原點為角的頂點，以x軸的非負半軸為角的始邊，順時針旋轉，與單位圓交于點P，則角α如圖所示.
(2)因為α=-，所以點P在第四象限.
由(1)知，∠AOP=，過點P作PM⊥x軸于點M，
則在Rt△MOP中，∠OMP=，∠MOP=，OP=1，
由直角三角形的邊角關系，得OM=，MP=，
所以點P的坐標為，-.
(3)根據正弦、余弦函數的定義，得sin-=-，cos-=.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】利用任意角的三角函數的定義可知，點，-到原點的距離為1，則sin α==-.故選B.
2.B　【解析】由三角函數的定義可知，角α的終邊與單位圓交點的橫坐標為角α的余弦值，故cos α=.
3.B　【解析】因為角α的終邊經過點(4，m)(m≠0)，且sin α=，
所以sin α==，解得m=±3.
4.【解析】①當k>0時，令x=24k，y=7k，則r==25k，
∴sin α==，cos α==.
②當k<0時，令x=24k，y=7k，則r=-25k，
∴sin α==-，cos α==-.

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