資源簡介

1.4.2 單位圓與正弦函數、余弦函數的基本性質
【學習目標】
1.掌握正弦函數、余弦函數的性質.(邏輯推理)
2.掌握正弦函數值和余弦函數值的符號.(直觀想象)
3.掌握周期性的應用.(數學運用)
【自主預習】
　　江南水鄉，水車在清清的河流里悠悠轉動，緩緩地把河流里的水倒進水渠，流向綠油油的大地，流向美麗的大自然.在水車轉動的瞬間，同學們能想到些什么呢
閱讀教材，回答下列問題：
1.正弦函數、余弦函數的定義域是什么
2.正弦函數、余弦函數的值域是什么，它們的值域相同嗎
3.正弦函數、余弦函數的周期是多少 最小正周期是什么
4.余弦函數在第一、二、三、四象限的符號是什么
1.sin(-315°)的值是(　　).
A.- B.-
C. D.
2.若sin θcos θ>0，則角θ的終邊在(　　).
A.第一或第四象限
B.第一或第三象限
C.第一或第二象限
D.第二或第四象限
3.函數y=-4sin x的值域是　　　　.
4.(改編)求函數y=sin x，x∈[-π，π]的單調遞增區間.
【合作探究】
　正弦函數、余弦函數的性質
　　學習了三角函數的定義后，楊洋把單位圓上的點P旋轉一周，發現了點P的坐標的范圍，點P的坐標具有周期性變化.
問題1：你能說出x，y的取值范圍嗎
問題2：根據三角函數的定義，能確定sin α，cos α的取值范圍嗎
問題3：正弦函數、余弦函數的最大值、最小值分別是多少
正弦函數和余弦函數的性質：
y=sin α y=cos α
定義域
值域 [-1，1]
最值 最大值為1，最小值為-1
單調性 增區間：2kπ-，2kπ+(k∈Z). 減區間：2kπ+，2kπ+(k∈Z) 增區間：[2kπ-π，2kπ](k∈Z). 減區間：[2kπ，2kπ+π](k∈Z)
求下列函數的單調區間、最大值、最小值以及取得最大值、最小值時的自變量α的值.
(1)y=sin α，α∈-，π；
(2)y=cos α，α∈-π，.
【方法總結】　　利用單位圓研究三角函數性質的方法：第一步，在單位圓中畫出角α的取值范圍；第二步，作出角α的終邊與單位圓的交點P(cos α，sin α)；第三步，研究點P的橫坐標及縱坐標隨α的變化而變化的規律；第四步，得出結論.
求下列函數的單調區間和值域，并說明取得最大值和最小值時的自變量α的值.
(1)y=-sin α，α∈，π；(2)y=cos α，α∈[-π，π].
　周期性
　　清晨，太陽從東方升起；傍晚，太陽從西方落下.24小時，太陽東升西落，這種周而復始的現象叫周期現象.周期現象在生活中隨處可見，如：陰晴圓缺、四季輪回、潮起潮落……
問題1：終邊相同的角的正弦、余弦函數值相等嗎 為什么
問題2：由sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)可知，函數值隨著角的變化呈周期性變化，你能說一下函數的變化周期嗎
1.終邊相同的角的正弦、余弦函數值的關系
(1)終邊相同的角的正弦函數值相等，即k∈Z，sin(α+k·2π)=sin α(α∈R).
(2)終邊相同的角的余弦函數值相等，即k∈Z，cos(α+k·2π)=cos α(α∈R).
2.周期函數
正弦函數、余弦函數均是周期函數，稱2kπ(k∈Z，且k≠0)是正弦函數、余弦函數的周期，最小正周期是2π.
(1)若角α的終邊經過點P(sin 780°，cos(-330°))，則sin α=(　　).
A. B. C. D.1
(2) 計算下列各式的值：
①cos+sin-；
②sin 780°cos 450°.
【方法總結】利用公式sin(x+2kπ)=sin x，cos(x+2kπ)=cos x，k∈Z，可以把任意角的正弦函數值、余弦函數值問題轉化為0~2π間的角的正弦函數值、余弦函數值問題.一般步驟：
(1)把角β寫成β=2kπ+α(k∈Z)形式；
(2)求出角α的正弦函數值或余弦函數值；
(3)得到角2kπ+α(k∈Z)的正弦函數值或余弦函數值.
計算log2(4sin 1 110°)的結果是(　　).
A.-1 B.0 C.1 D.2
　正弦函數值和余弦函數值的符號
　　單位圓上的點P(u，v)的縱、橫坐標對應著正弦值、余弦值，v和u的符號對應著正弦值和余弦值的符號.
問題1：你能說出u，v的符號嗎
問題2：根據問題1的分析，你能說出正弦值、余弦值在各個象限的符號嗎
正弦函數值、余弦函數值在各象限的符號
正弦函數 余弦函數
在各象限的符號
(1)判斷sin 340°cos 265°的符號；
(2)若sin 2α>0，且cos α<0，試確定角α所在的象限.
【方法總結】正、余弦函數符號的確定：
(1)終邊在坐標軸上的角，可以利用單位圓，如終邊在x軸非正半軸上的角與單位圓的交點為(-1，0)，故sin α=0，cos α=-1.
(2)終邊在各個象限內的角，利用定義記符號，正弦取決于終邊上點的縱坐標，所以第一、二象限為正；余弦取決于終邊上點的橫坐標，所以第一、四象限為正.
判斷的符號.
若sin α>0，cos α<0，則α為第幾象限角.
【隨堂檢測】
1.sin 1 140°的值為(　　).
A.- B. C.- D.
2.(改編)已知θ∈0，，sin θ=，則實數m的取值范圍是(　　).
A.[0，1] B.[1，3]
C.[1，2] D.[0，2]
3.求y=sin α，α∈-π，的單調遞增區間和單調遞減區間.
參考答案
1.4.2 單位圓與正弦函數、余弦函數的基本性質
自主預習·悟新知
預學憶思
1.正弦函數、余弦函數的定義域是R.
2.正弦函數、余弦函數的值域都是[-1，1]，相同.
3.正弦函數、余弦函數的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π.
4.余弦函數在第一、二、三、四象限的符號分別是正、負、負、正.
自學檢測
1.C　【解析】sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin 45°=.
2.B　【解析】因為sin θcos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以角θ的終邊在第一或第三象限.
3.[-4，4]　【解析】∵sin x∈[-1，1]，∴-4sin x∈[-4，4]，即函數y=-4sin x的值域是[-4，4].
4.【解析】函數y=sin x的單調遞增區間為2kπ-，2kπ+，k∈Z，因為x∈[-π，π]，取k=0，所以單調遞增區間為-，.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：能，x∈[-1，1]，y∈[-1，1].
問題2：能.sin α∈[-1，1]，cos α∈[-1，1].
問題3：設任意角α的終邊與單位圓交于點P(cos α，sin α)，當自變量α變化時，點P的橫坐標是cos α，|cos α|≤1，縱坐標是sin α，|sin α|≤1，所以正弦函數、余弦函數的最大值為1，最小值為-1.
新知生成
全體實數
新知運用
例1　【解析】(1)
由圖①可知，y=sin α 在-，上是單調遞增的，在，π上是單調遞減的.且當α=時，y=sin α取得最大值，最大值為1；當α=-時，y=sin α取得最小值，最小值為-.
(2)由圖②可知，y=cos α在[-π，0]上是單調遞增的，在0，上是單調遞減的.且當α=-π時，y=cos α取得最小值，最小值為-1；當α=0時，y=cos α取得最大值，最大值為1.
鞏固訓練　【解析】(1)y=-sin α，α∈，π的單調遞減區間為，，單調遞增區間為，π.
當α=時，ymin=-1；當α=π時，ymax=0，
故函數y=-sin α，α∈，π的值域為[-1，0].
(2)y=cos α，α∈[-π，π]的單調遞減區間為[0，π]，單調遞增區間為[-π，0].
當α=0時，ymax=1；當α=-π或α=π時，ymin=-1，
故函數y=cos α，α∈[-π，π]的值域為[-1，1].
探究2　情境設置
問題1：相等.因為兩角終邊相同，所以終邊與單位圓交于同一點，由正弦、余弦函數的定義知同名函數值相等.
問題2：2π，4π，6π，-2π等都是函數的周期.
新知運用
例2　(1)C　【解析】(1)因為sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°=，cos(-330°)=cos(-360°+30°)=cos 30°=，
所以P，，故sin α==.
(2)①原式=cos2π++sin-8π+=cos +sin =+=.
②原式=sin(720°+60°)cos(360°+90°)=sin 60°cos 90°=0.
鞏固訓練　C　【解析】因為1 110°=3×360°+30°，所以1 110°角的終邊與30°角的終邊重合，則sin 1 110°=sin 30°=，所以log2(4sin 1 110°)=log24×=log22=1.故選C.
探究3　情境設置
問題1：能，若P(u，v)在x軸的正半軸上，則u>0，v=0；
若P(u，v)在第一象限，則u>0，v>0；
若P(u，v)在y軸的正半軸上，則u=0，v>0；
若P(u，v)在第二象限，則u<0，v>0；
若P(u，v)在x軸的負半軸上，則u<0，v=0；
若P(u，v)在第三象限，則u<0，v<0；
若P(u，v)在y軸的負半軸上，則u=0，v<0；
若P(u，v)在第四象限，則u>0，v<0.
問題2：能，正弦：第一、二象限符號為正，第三、四象限符號為負.
余弦：第一、四象限符號為正，第二、三象限符號為負.
新知運用
例3　【解析】(1)因為340°是第四象限角，265°是第三象限角，所以sin 340°<0，cos 265°<0，所以sin 340°cos 265°>0.
(2)因為sin 2α>0，所以2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z)，
所以kπ<α當k為偶數時，設k=2m(m∈Z)，
則2mπ<α<2mπ+(m∈Z)；
當k為奇數時，設k=2m+1(m∈Z)，
則2mπ+π<α<2mπ+(m∈Z).
所以α為第一或第三象限角.
又由cos α<0可知，α為第三象限角.
鞏固訓練1　【解析】∵2∈，π，3∈，π，4∈π，，6∈，2π，
∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，
∴>0.
鞏固訓練2　【解析】∵sin α>0，∴角α的終邊在第一、二象限或y軸的正半軸上.
∵cos α<0，∴角α的終邊在第二、三象限或x軸的負半軸上.
故當sin α>0且cos α<0時，α為第二象限角.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】∵1 140°=3×360°+60°，
∴sin 1 140°=sin(3×360°+60°)=sin 60°=.
2.B　【解析】由θ∈0，可知，0≤sin θ≤1，所以0≤≤1，解得1≤m≤3.故選B.
3.【解析】在單位圓中，當α由-π到時，sin α由0減小到-1，再由-1增大到.所以它的單調遞增區間為-，，單調遞減區間為-π，-.

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