資源簡介

1.4.3 誘導公式與對稱
【學習目標】
1.理解π±α，-α與角α的終邊的關系，會推導誘導公式.(邏輯推理)
2.掌握誘導公式，并且概括得到誘導公式的特點.(數學抽象)
3.能根據誘導公式進行三角函數式的求值、化簡以及證明.(數學運算)
【自主預習】
　　流連于河的細長、山的顏色，觀山賞水，看山在水中的倒影，山的巍峨、水的柔美在那刻融合.觀察一下水中山的倒影與山有什么關系，你一定會說：對稱!我們可以把河道近似地看成一條直線，當作x軸，建立平面直角坐標系，山上一條直線小溪當作角α的終邊，且α=.
1.角的終邊關于x軸對稱的角β是多少
2.sin β與sin，cos β與cos是什么關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)點P(x，y)關于x軸的對稱點是P'(-x，y). (　　)
(2)誘導公式中的符號是由角α的象限決定的. (　　)
(3)因為sin(-x)=-sin x，所以正弦函數是奇函數. (　　)
2.若cos(π-α)=，則cos α=　　　　.
3.sin 585°=　　　　.
3.求的值.
4.(原創)若=3，則sin(-α-2π)=　　　　.
【合作探究】
　給角求值
　　如圖，在直角坐標系內，設任意角α的終邊與單位圓交于點P1(x1，y1).根據三角函數的定義，sin α=y1，cos α=x1.
問題1：如圖1，作點P1關于原點的對稱點P2，以OP2為終邊的角β與角α有什么關系 角β與角α的三角函數值之間有什么關系
問題2：如圖2，作點P1關于x軸的對稱點P2，以OP2為終邊的角β與角α有什么關系 角β與角α的三角函數值之間有什么關系
問題3：如圖3，作點P1關于y軸的對稱點P2，以OP2為終邊的角β與角α有什么關系 角β與角α的三角函數值之間有什么關系
1.誘導公式與對稱
(1)sin(-α)= ，cos(-α)= .
(2)sin(α±π)= ，cos(α±π)= .
(3)sin(π-α)= ，cos(π-α)= .
2.記憶規律
2kπ+α(k∈Z)，π+α，-α，π-α的三角函數值等于α的同名函數值，再放上將α當作銳角時原函數值的符號.
求值：sin(-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°.
【方法總結】　　利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟：
cos 300°+sin 210°的值為(　　).
A.1 B. C.0 D.-1
求值：sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin.
　給值求值
　　上課時，數學老師在黑板上寫出一個問題：已知cos-α=，求cos+α的值.王浩宇同學的解答如下：
∵-α=，∴α=-，∴cos+α=cos=-.
老師將改為，要求同學們再計算結果.
問題1：王浩宇的答案是否正確 他的解答過程正確嗎
問題2：老師將改為后，王浩宇的方法還可行嗎
問題3：角-α與+α之間有什么關系 cos+α與cos-α有什么關系
解給值求值問題時，首先要仔細觀察已知式和所求式，然后將已知式子進行變形向所求式子轉化或將所求式子進行變形向已知式子轉化，即想方設法將已知式與所求式之間的各種差異消除，從而將問題解決，同時要注意式子的整體代入，即觀察、消除差異、整體代入.
已知=3，求的值.
【方法總結】　　解決條件求值問題的策略
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系.
(2)將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化.
已知cos(508°-α)=，則cos(212°+α)=　　　　.
已知cos-α=，則cos+α=　　　　.
　化簡求值
利用誘導公式化簡應注意的問題
(1)利用誘導公式主要是進行角的轉化，從而達到統一角的目的；
(2)化簡時函數名稱沒有改變，但一定要注意函數的符號有沒有改變.
(1)化簡：cos2(π-α)+cos(π+α)cos(-α)+1=(　　).
A.1 B.2 C.0 D.2sin2α
(2)化簡：.
【方法總結】　　(1)先把所給的三角函數式化簡，使得角的形式為最簡；(2)將所求的三角函數式轉化、化簡，與化簡后的三角函數式比較，消去差異從而求解.
化簡：的值為　　　　.
化簡：.
　分類討論三角函數式的化簡
問題1：求sin(n∈Z)的值.
問題2：求sin(n∈Z)的值.
設k為整數，化簡.
【方法總結】　　用誘導公式進行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需先對k進行分類討論，再運用誘導公式進行化簡.
已知f(x)=(n∈Z)，
(1)化簡f(x)的表達式；
(2)求f+f的值.
【隨堂檢測】
1.cos=(　　).
A. B.- C. D.-
2.已知sin(5π-α)=，則sin α=(　　).
A.- B.- C. D.
3.sin 600°+sin 240°=　　　　.
4.(改編)請使用誘導公式的相關知識解決下列問題：
(1)cos 10°+cos 170°=　　　　；
(2)cos 10°+cos 20°+cos 30°+…+cos 170°=　　　　.
參考答案
1.4.3 誘導公式與對稱
自主預習·悟新知
預學憶思
1.β=-+2kπ，k∈Z.
2.取角終邊上一點(，1)，則β終邊上對應的對稱點為(，-1)，故sin β=-=-sin，cos β==cos.
3.
===-1.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.-　【解析】∵cos(π-α)=-cos α=，∴cos α=-.
3.-　【解析】sin 585°=sin(360°+180°+45°)=-sin 45°=-.
4.-　【解析】因為cos(α+π)=-cos α，cos(-α-2π)=cos(-α)=cos α，sin(π-α)=sin α，
所以==3，
解得sin α=，
所以sin(-α-2π)=sin(-α)=-sin α=-.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：β=2kπ+π+α，k∈Z.根據對稱性，可得P2(-x1，-y1)，所以sin β=-y1=-sin α，cos β=-x1=-cos α.
問題2：β=2kπ-α，k∈Z.根據對稱性，可得P2(x1，-y1)，所以sin β=-y1=-sin α，cos β=x1=cos α.
問題3：β=2kπ+π-α，k∈Z.根據對稱性，可得P2(-x1，y1)，所以sin β=y1=sin α，cos β=-x1=-cos α.
新知生成
1.(1)-sin α　cos α　(2)-sin α　-cos α　(3)sin α　-cos α
新知運用
例1　【解析】原式=-sin 60°+cos(180°-60°)+sin(360°+30°)+cos(180°+30°)=-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°=--+-=-.
鞏固訓練1　C　【解析】由題意，根據誘導公式可得cos 300°+sin 210°=cos(360°-60°)+sin(180°+30°)=cos(-60°)-sin 30°=cos 60°-sin 30°=-=0.故選C.
鞏固訓練2　【解析】原式=sin+sin+sinπ-+sinπ-+sinπ++sinπ++sin2π-+sin2π-=sin+sin+sin+sin-sin-sin+sin-+sin-=sin+sin+sin+sin-sin-sin-sin-sin=0.
探究2　情境設置
問題1：答案正確，但他只是找到了滿足條件的特殊角，對于是否有其他角，其他的結果，無從知曉，故方法不正確.
問題2：不可行，從特殊角中找不到適合條件的角.
問題3：+α=π--α；cos+α=cosπ--α=-cos-α.
新知運用
例2　【解析】因為==3，即sin α=3cos α，所以原式===7.
鞏固訓練1　　【解析】由于cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=，
所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=.
鞏固訓練2　-　【解析】cos+α=cosπ--α=-cos-α=-.
探究3
新知運用
例3　(1)A　【解析】(1)cos2(π-α)+cos(π+α)cos(-α)+1=cos2α-cos2α+1=1.
(2)原式=
===-cos θ.
鞏固訓練1　-1　【解析】===-1.
鞏固訓練2　【解析】原式
==
=-1.
探究4　情境設置
問題1：當n=4k，k∈Z或n=4k+2，k∈Z時，sin=0；當n=4k+1，k∈Z時，sin=1；當n=4k+3，k∈Z時，sin=-1.
問題2：當n=2k，k∈Z時，sin=0；當n=2k+1，k∈Z時，sin=1.
新知運用
例4　【解析】當k為偶數時，可設k=2m(m∈Z)，
則原式=
==-=-1；
當k為奇數時，可設k=2m+1(m∈Z)，
則原式=
=-=-1.
綜上可知，原式=-1.
鞏固訓練　【解析】(1)當n為偶數，即n=2k(k∈Z)時，
f(x)====sin xn∈Z，x≠+mπ，m∈Z；
當n為奇數，即n=2k+1(k∈Z)時，
f(x)=
=
===sin xn∈Z，x≠+mπ，m∈Z.
綜上，f(x)=sin xx≠+mπ，m∈Z.
(2)由(1)得f+f=sin +sin=sin +sinπ+=sin -sin =0.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】cos=cos4π-=cos-=cos=.
2.C　【解析】sin(5π-α)=sin(π-α)=sin α=.
3.-　【解析】sin 600°+sin 240°
=sin(360°+240°)+sin(180°+60°)
=sin 240°-sin 60°=sin(180°+60°)-sin 60°
=-sin 60°-sin 60°=-.
4.(1)0　(2)0　【解析】(1)cos 10°+cos 170°=cos 10°+cos(180°-10°)=cos 10°-cos 10°=0.
(2)由誘導公式知，
cos α+cos(180°-α)=cos α-cos α=0，
所以cos 10°+cos 20°+cos 30°+…+cos 170°=(cos 10°+cos 170°)+(cos 20°+cos 160°)+…+(cos 80°+cos 100°)+cos 90°=0.

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