資源簡(jiǎn)介

1.4.4 誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解±α與角α的終邊的關(guān)系，會(huì)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式.(邏輯推理)
2.掌握誘導(dǎo)公式，并且概括誘導(dǎo)公式的特點(diǎn).(數(shù)學(xué)抽象)
3.能根據(jù)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及證明.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
　　如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形中較小的銳角為α，直角三角形中較大的銳角為β.
1.若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，則角α與β的正弦、余弦值分別是多少
2.α和β有什么關(guān)系 α與β的函數(shù)值之間有什么關(guān)系
3.根據(jù)上述結(jié)果，sin+α與cos α，cos+α與sin α之間有什么關(guān)系
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)誘導(dǎo)公式中的角α只能是銳角. (　　)
(2)sin(90°+α)=-cos α. (　　)
(3)cosα-=-sin α. (　　)
2.若sin α=，則cos-α=　　　　.
3.若sin+α=，則cos α=　　　　.
4.已知sin θ=，則cos(450°+θ)=　　　　.
【合作探究】
　化簡(jiǎn)求值
　　如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(x1，y1).根據(jù)三角函數(shù)的定義，sin α=y1，cos α=x1.
問(wèn)題1：如圖，作P1關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P2，以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系 角β與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系
問(wèn)題2：如圖，作P2關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P3，以O(shè)P3為終邊的角γ與角α有什么關(guān)系 角γ與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系
1.誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)
(1)sin-α= ，cos-α= ；
(2)sin+α= ，cos+α= .
2.記憶口訣
對(duì)于角±α，k為奇數(shù)的三角函數(shù)，可通過(guò)記憶口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”來(lái)進(jìn)行變換.
“函數(shù)名改變”是指正弦函數(shù)變?yōu)橛嘞液瘮?shù)，余弦函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào).將α看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上α是任意角.
化簡(jiǎn)：sin2-α-cos2+α.
【方法總結(jié)】　　用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)：(1)化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能少；(2)函數(shù)的種類盡可能少；(3)分母盡量不含三角函數(shù)的符號(hào)；(4)能求值的一定要求值；(5)含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等.
化簡(jiǎn)：(1)·sinα-cos+α；
(2)sin(-α-5π)cosα--cos+αsin(α-2π).
　給值求值
　　數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)小組一組的王浩宇給大家提出了一個(gè)問(wèn)題：已知cos-α=，求sin+α的值.
同組的張瑜同學(xué)是這樣解答的：∵-α=，∴α=-，∴sin+α=sin=.
李琦同學(xué)的解答是這樣的：∵-α++α=，
∴sin+α=sin--α=cos-α=.
謝凡評(píng)價(jià)道：“張瑜的解題過(guò)程有點(diǎn)問(wèn)題，要是換成，張瑜的解法可能無(wú)法再用了.”
問(wèn)題1：謝凡的評(píng)價(jià)是否正確 為什么
問(wèn)題2：將改為后，sin+α的值是什么
問(wèn)題3：sin-α+sin+α的值是多少
給值求值的策略：(1)借助于誘導(dǎo)公式可以將任意的角轉(zhuǎn)化為0，內(nèi)的角；(2)給定某一角的三角函數(shù)值，再求另外一個(gè)不同角的三角函數(shù)值時(shí)，可以用已知的角整體代替未知的角進(jìn)行求解.
(1)已知sin+α=，求sin-α+2cos+α的值；
(2)已知sinα-=，求的值.
【方法總結(jié)】　　已知三角函數(shù)值求值的“二觀察，一轉(zhuǎn)化”
(1)“二觀察”：①觀察已知的角和所求的角之間的差異，尋求角之間的關(guān)系；②觀察已知的三角函數(shù)名與所求的三角函數(shù)名之間的差異.
(2)“一轉(zhuǎn)化”：運(yùn)用誘導(dǎo)公式將不同的角轉(zhuǎn)化為相同的角，將不同名的三角函數(shù)化為同名的三角函數(shù).
已知sinα+=，求cosα-的值.
　誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用
　　已知△ABC.
問(wèn)題1：sin(A+B)與sin C，cos(A+B)與cos C有什么關(guān)系
問(wèn)題2：sin+與cos，cos+與sin有什么關(guān)系
(1)若△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則(　　).
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形
C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形
D.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形
(2)在△ABC中，若cos+Asin+B·<0，則△ABC為　　　　三角形.(填銳角、鈍角或直角)
【方法總結(jié)】誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用，要關(guān)注角的轉(zhuǎn)化、函數(shù)名的變化，要關(guān)注題目中隱含條件的挖掘，如內(nèi)角和為180°等.在三角形的背景中，發(fā)現(xiàn)和使用誘導(dǎo)公式解決問(wèn)題，滲透了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
(1)(多選題)在△ABC中，下列關(guān)系正確的是(　　).
A.cos(A+B)=cos C　　B.sin(A+B)=sin C
C.sin =-sin D.cos =sin
(2)在△ABC中，sin=sin，試判斷△ABC的形狀.
【隨堂檢測(cè)】
1.cos 240°=(　　).
A. B.-
C. D.-
2.若sin+θ<0，且cos-θ>0，則θ是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.已知=2，則=(　　).
A.2 B.-2 C.0 D.
4.化簡(jiǎn)：sin 95°+cos 175°=　　　　.
參考答案
1.4.4 誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴每一個(gè)直角三角形的面積是6.設(shè)直角三角形的兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為a，b(a2.β=-α，sin β==cos α，cos β==sin α.
3.sin+α=sinπ--α=sin-α=cos α；
cos+α=cosπ--α=-cos-α=-sin α.
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.　【解析】cos-α=sin α=.
3.　【解析】sin+α=cos α=.
4.-　【解析】cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=-.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問(wèn)題1：β=2kπ+-α，k∈Z.根據(jù)對(duì)稱性可得P2(y1，x1)，所以sin β=x1=cos α，cos β=y1=sin α.
問(wèn)題2：γ=2kπ++α，k∈Z.根據(jù)對(duì)稱性可得P3(-y1，x1)，所以sin γ=x1=cos α，cos γ=-y1=-sin α.
新知生成
1.(1)cos α　sin α　(2)cos α　-sin α
新知運(yùn)用
例1　【解析】原式=cos2--α-cos2+α=cos2+α-cos2+α=0.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)原式=·sin--α(-sin α)
=·-sin-α(-sin α)
=·(-cos α)(-sin α)
=-cos2α.
(2)原式=sin(-α-π)cos--α-cosπ++αsin[-(2π-α)]
=sin[-(α+π)]cos-α-cos+αsin(2π-α)
=-sin(α+π)sin α-sin αsin α
=sin2α-sin2α
=0.
探究2　情境設(shè)置
問(wèn)題1：正確，張瑜只是找到了滿足條件的特殊角，對(duì)于是否有其他角，其他的結(jié)果，無(wú)從知曉，方法不得當(dāng).
問(wèn)題2：∵-α++α=，
∴sin+α=sin--α=cos-α=.
問(wèn)題3：sin-α+sin+α=sin+-α+sin--α=cos-α-cos-α=0.
新知運(yùn)用
例2　【解析】(1)∵sin+α=，
∴sin-α+2cos+α
=sinπ-+α+2cos++α
=sin+α-2sin+α
=-sin+α=-.
(2)∵sinα-=-cos α=，∴cos α=-.
==cos α=-.
鞏固訓(xùn)練　【解析】由sinα+=，可得cosα-=cosα+-=sinα+=.
探究3　情境設(shè)置
問(wèn)題1：A+B與C互補(bǔ)，所以sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C.
問(wèn)題2：+與互余，所以sin+=cos，cos+=sin.
新知運(yùn)用
例3　(1)D　(2)鈍角　【解析】(1)由題意可知，△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，故△A1B1C1是銳角三角形.假設(shè)△A2B2C2也是銳角三角形，
則由得
則A2+B2+C2=-(A1+B1+C1)=，這與三角形內(nèi)角和為π矛盾，故△A2B2C2不可能是銳角三角形；
假設(shè)△A2B2C2是直角三角形，則必存在一個(gè)角為，而sin=1.由題意可得，△A1B1C1中必有一個(gè)角的余弦值為1，即此角為0，矛盾，故△A2B2C2也不可能是直角三角形.
綜上可知，△A2B2C2為鈍角三角形.
(2)cos+Asin+B·<0，則(-sin A)·(-cos B)·<0，即sin Acos B·<0.∵在△ABC中，00，sin C>0.故<0，∴角B與角C中有一角為鈍角，故△ABC為鈍角三角形.
鞏固訓(xùn)練　(1)BD　【解析】(1)在△ABC中，有A+B+C=π，故A+B=π-C，則=-，
∴sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，sin =cos ，cos =sin .
故選BD.
(2)∵A+B+C=π，
∴A+B-C=π-2C，A-B+C=π-2B.
又∵sin=sin，
∴sin=sin，
∴sin-C=sin-B，∴cos C=cos B.
又B，C為△ABC的內(nèi)角，∴C=B，
∴△ABC為等腰三角形.
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.B　【解析】cos 240°=cos(90°+150°)=-sin 150°=-sin(180°-30°)=-sin 30°=-.
2.B　【解析】因?yàn)閟in+θ=cos θ<0，cos-θ=sin θ>0，
所以角θ的終邊落在第二象限，故選B.
3.B　【解析】原式=====-2.
4.0　【解析】sin 95°+cos 175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos 5°-cos 5°=0.

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