資源簡(jiǎn)介

151 正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)的圖象.(直觀想象)
2.掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.(邏輯推理)
3.通過(guò)用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦曲線，提升直觀想象素養(yǎng).通過(guò)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域、比較三角函數(shù)的大小，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
【自主預(yù)習(xí)】
　　如圖，設(shè)一小球從點(diǎn)A開(kāi)始在豎直平面上按逆時(shí)針?lè)较蜓貑挝粓A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為1 rad/s，經(jīng)過(guò)t1 s后，小球到達(dá)位置P，連接質(zhì)點(diǎn)的半徑在這段時(shí)間中所掃過(guò)的角度φ=t1，可得x1=sin t1.有一水平方向的平行光照在小球上，在豎直平面上生成了一個(gè)小球的投影，投影在上下振動(dòng).
閱讀教材，結(jié)合上述情境回答下列問(wèn)題.
1.正弦函數(shù)的圖象是什么曲線
2.正弦函數(shù)的最小正周期是多少
3.怎樣畫(huà)正弦函數(shù)的圖象
4.在函數(shù)y=sin x，x∈[0，2π]的圖象上，起著關(guān)鍵作用的有哪五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
1.sin 1，sin 2，sin 3按從小到大排列的順序?yàn)?　　).
A.sin 3 B.sin 3 C.sin 1 D.sin 2 2.“sin α=sin β”是“α=β”的(　　).
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
3.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)：f(x)=　　　.(注：f(x)不是常函數(shù)) ①f(0)=；②f(x+2π)=f(x).
4.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=1+sin x，x∈[0，2π]的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0，1)，，2，(π，1)，　　　　，(2π，1).
【合作探究】
　正弦函數(shù)的圖象
　　學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義后，李明用列表、描點(diǎn)、連線的方法畫(huà)正弦函數(shù)的圖象.
問(wèn)題1：李明的方法可行嗎
問(wèn)題2：在精確度不太高的情況下，畫(huà)y=sin x，x∈[0，2π]的圖象，還有更簡(jiǎn)單的方法嗎
問(wèn)題3：怎樣畫(huà)出正弦函數(shù)y=sin x的圖象
1.正弦函數(shù)的圖象
正弦函數(shù)y=sin x的圖象稱(chēng)作正弦曲線，如圖所示.
2.五點(diǎn)(畫(huà)圖)法
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，描出(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0)這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)后，函數(shù)y=sin x，x∈[0，2π]的圖象就基本確定了.
(2)將所得圖象向左、向右平移(每次平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度)得正弦曲線.
用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=+sin x，x∈[0，2π]的簡(jiǎn)圖.
【方法總結(jié)】　　用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y=Asin x+b(A≠0)在[0，2π]的簡(jiǎn)圖的步驟.
①列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y b A+b b -A+b b
　　②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出(0，b)，，A+b，(π，b)，，-A+b，(2π，b)五個(gè)點(diǎn).
③連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái).
用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=1-sin x，x∈[0，2π]的圖象.
　正弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識(shí)
　　正弦函數(shù)y=sin x的圖象如下圖所示，從圖象上可以看出正弦函數(shù)的性質(zhì).
問(wèn)題1：正弦函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎 若是，寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)中心.
問(wèn)題2：正弦函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎 若是，寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸.
問(wèn)題3：正弦函數(shù)的周期為2π，在研究正弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，選取哪個(gè)區(qū)間研究，既好學(xué)，又有效
正弦函數(shù)y=sin x的性質(zhì)
定義域 R
值域
最大值與 最小值 當(dāng)x=2kπ+(k∈Z)時(shí)，ymax=1； 當(dāng)x=2kπ+(k∈Z)時(shí)，ymin=-1
周期性 周期函數(shù)，T=
單調(diào)性 在2kπ-，2kπ+(k∈Z)上是單調(diào)遞增的； 在2kπ+，2kπ+(k∈Z)上是單調(diào)遞減的
奇偶性
對(duì)稱(chēng)性 圖象關(guān)于 對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)，k∈Z；對(duì)稱(chēng)軸為直線x=kπ+，k∈Z
一、比較大小
比較sin與sin-的大小.
【方法總結(jié)】比較三角函數(shù)值的大小的步驟：(1)依據(jù)誘導(dǎo)公式把幾個(gè)三角函數(shù)化為同名函數(shù)；(2)依據(jù)誘導(dǎo)公式把角化到同一個(gè)單調(diào)遞增(減)區(qū)間；(3)依據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小后寫(xiě)出結(jié)論.
二、求正弦函數(shù)的單調(diào)性
求函數(shù)y=-3sin(x+π)的單調(diào)區(qū)間.
【方法總結(jié)】若函數(shù)不是最簡(jiǎn)式，則需要先化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解.注意負(fù)號(hào)對(duì)單調(diào)區(qū)間的影響.
函數(shù)y=cosx+的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　).
A.2kπ-，2kπ+(k∈Z)
B.2kπ+，2kπ+(k∈Z)
C.[2kπ，(2k+2)π](k∈Z)
D.[2k，2k+2](k∈Z)
比較sin與sin的大小.
　與正弦函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題
求下列函數(shù)的值域.
(1)y=3-2sin x；
(2)y=-sin2x+sin x+.
【方法總結(jié)】求這類(lèi)函數(shù)的值域一般有以下兩種方法：(1)將所給三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)配方法求值域，例如轉(zhuǎn)化為y=a(sin x+b)2+c型的值域問(wèn)題；(2)利用sin x的有界性求值域，如y=asin x+b，-|a|+b≤y≤|a|+b.
求y=3+asin x(a≠0)的值域.
【隨堂檢測(cè)】
1.正弦函數(shù)y=sin x，x∈R的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是(　　).
A.y軸　　　　　　　　　 B.x軸
C.直線x= D.直線x=π
2.函數(shù)f(x)=lg x-sin x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
3.函數(shù)f(x)=sin2x+1是　　　　函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
4.比較sin 2 024°和cos 160°的大小.
參考答案
1.5.1 正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.正弦函數(shù)的圖象是正弦曲線.
2.正弦函數(shù)的最小正周期是2π.
3.利用五點(diǎn)(畫(huà)圖)法畫(huà)正弦函數(shù)的圖象.
4.(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0).
自學(xué)檢測(cè)
1.B　【解析】sin 2=sin(π -2)，sin 3=sin(π -3)， 因?yàn)?<π-3<1<π-2<，y=sin x在0，上為增函數(shù)，所以sin(π-3)2.C　【解析】“sin α=sin β”不能推出“α=β”，反之，“α=β”能推出“sin α=sin β”，則“sin α=sin β”是“α=β”的必要不充分條件.故選C.
3.sin x+(答案不唯一)　【解析】由f(x+2π)=f(x)知2π是函數(shù)的一個(gè)周期，則f(x)=sin x+滿足條件②.
∵f(0)=sin 0+=，∴f(x)=sin x+滿足條件①.
綜上，f(x)=sin x+滿足題意.
4.，0　【解析】將x=代入可得y=0，故第四個(gè)點(diǎn)為，0.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問(wèn)題1：可行.
問(wèn)題2：有，先列出函數(shù)y=sin x，x∈[0，2π]的圖象上起著關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)，即(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0)，然后描出這五個(gè)點(diǎn)，最后用光滑的曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn)，函數(shù)y=sin x，x∈[0，2π]的圖象就基本確定了.
問(wèn)題3：先畫(huà)出函數(shù)y=sin x，x∈[0，2π]的圖象，然后左右延伸即可.
新知運(yùn)用
例1　【解析】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
描點(diǎn)，并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖).
鞏固訓(xùn)練　【解析】列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
描點(diǎn)、連線，則函數(shù)y=1-sin x，x∈[0，2π]的圖象如圖所示.
探究2　情境設(shè)置
問(wèn)題1：是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是(kπ，0)(k∈Z).
問(wèn)題2：是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=kπ+，k∈Z.
問(wèn)題3：選取-，上的圖象來(lái)研究，即可掌握整個(gè)定義域上的性質(zhì).
新知生成
[-1，1]　2π　奇函數(shù)　原點(diǎn)
新知運(yùn)用
例2　【解析】(1)sin=sinπ+=-sin，sin-=-sin，
∵0<<<，且y=sin x在0，上單調(diào)遞增，
∴sin從而-sin>-sin，即sin>sin-.
例3　【解析】因?yàn)閥=-3sin(x+π)=-3(-sin x)=3sin x，
所以該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-+2kπ，+2kπ(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為+2kπ，+2kπ(k∈Z).
鞏固訓(xùn)練1　B　【解析】∵y=cosx+=-sin x，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為+2kπ，+2kπ(k∈Z).
鞏固訓(xùn)練2　【解析】sin=sin4π+=sin，sin=sin8π+=sin.
∵y=sin x在0，上單調(diào)遞增，且0<<<，
∴sin探究3
例4　【解析】(1)∵-1≤sin x≤1，∴-1≤-sin x≤1，1≤3-2sin x≤5，
∴函數(shù)y=3-2sin x的值域?yàn)閇1，5].
(2)令t=sin x，則-1≤t≤1，
y=-t2+t+=-t-2+2，
∴當(dāng)t=時(shí)，ymax=2.
此時(shí)sin x=，即x=2kπ+或x=2kπ+，k∈Z.
當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=-.
此時(shí)sin x=-1，即x=2kπ+，k∈Z.
∴函數(shù)y=-sin2x+sin x+的值域?yàn)?，2.
鞏固訓(xùn)練　【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，-1≤sin x≤1.
當(dāng)a>0時(shí)，-a≤asin x≤a，3-a≤3+asin x≤3+a.
當(dāng)a<0時(shí)，a≤asin x≤-a，
3+a≤3+asin x≤3-a.
綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇3-a，3+a]；
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇3+a，3-a].
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.C　【解析】結(jié)合函數(shù)y=sin x，x∈R的圖象可知，直線x=是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸.
2.C　【解析】函數(shù)f(x)=lg x-sin x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=lg x的圖象和函數(shù)y=sin x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由于lg 10=1，sin =1，sin =1，sin =1，
在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=sin x與y=lg x的圖象，如圖所示：
由圖象可知，交點(diǎn)有3個(gè).
故選C.
3.偶　【解析】顯然f(x)的定義域R，且f(-x)=[sin(-x)]2+1=sin2x+1=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).
4.【解析】sin 2 024°=sin(360°×5+224°)=sin 224°=sin(180°+44°)=-sin 44°，
cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
∵sin 44°∴-sin 44°>-sin 70°，
即sin 2 024°>cos 160°.

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