資源簡介

1.5.2 余弦函數的圖象與性質
【學習目標】
1.掌握“五點法”畫余弦曲線的方法和步驟.(直觀想象)
2.理解、掌握余弦函數的性質，會求簡單函數的定義域、值域.(數學運算)
3.能利用單調性比較三角函數值的大小.(數學運算)
【自主預習】
　　前面我們進一步學習了正弦函數的圖象與性質，由正弦函數的圖象與性質能得出余弦函數的圖象與性質嗎 下面我們一起探究.
閱讀教材，結合上述情境回答下列問題.
1.用“五點法”可以作余弦函數的圖象嗎 五點的橫坐標一樣嗎
2.余弦函數是奇函數嗎
3.余弦函數的單調區間是什么
1.下列函數是偶函數的是(　　).
A.f(x)=cos x
B.f(x)=sin x
C.f(x)=ex
D.f(x)=lg x
2.在△ABC中，“cos A >cos B”是“A A.充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.函數f(x)=的定義域為　　　　；若x∈0，，則函數f(x)的值域為　　　　.
4.函數y=-cos x+2 024，x∈[0，2π]的單調遞減區間是　　　；單調遞增區間是　　　　.
【合作探究】
　余弦函數的圖象
　　小明說：“根據李明作正弦函數的圖象的方法，可類比畫出函數y=cos x，x∈[0，2π]的圖象.”
問題1：小明的說法正確嗎
問題2：余弦函數的五個關鍵點是什么
問題3：據y=sin x和y=cos x的關系，你能利用y=sin x，x∈R的圖象得到y=cos x，x∈R的圖象嗎
1.余弦函數的圖象
余弦函數y=cos x(x∈R)的圖象稱作余弦曲線，如圖所示.
2.余弦函數的作圖方法
畫余弦曲線，通常也使用“五點法”，即在函數y=cos x(x∈[0，2π])的圖象上找五個關鍵點：(0，1)，，0，(π，-1)，，0，(2π，1)，它們分別表示了余弦曲線與x軸的交點，0，，0，余弦函數取得最大值時的點為(0，1)，(2π，1)，取得最小值時的點為(π，-1).
在精確度要求不太高時，常常先描出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們順次連接起來，就得到余弦函數的簡圖(如圖)，這種作余弦曲線的方法也稱為“五點(畫圖)法”.
用“五點法”作出函數y=2+cos x，x∈[0，2π]的簡圖.
【方法總結】　　作形如y=acos x+b，a，b∈R，a≠0，x∈[0，2π]的圖象的三個步驟
畫出函數y=-cos x，x∈[0，2π]的簡圖.
　余弦函數的性質
　　給出函數y=cos x的部分圖象，如圖所示.
問題1：觀察余弦函數的圖象，它是不是關于y軸對稱
問題2：余弦函數是中心對稱函數嗎 若是，對稱中心是什么
問題3：余弦函數在[-π，π]上的函數值的變化有什么特點 推廣到整個定義域呢
余弦函數的性質
函數 y=cos x
定義域 R
值域 [-1，1]
最大值， 最小值 當x=2kπ(k∈Z)時，ymax=1；當x=2kπ+π(k∈Z)時，ymin=-1
周期性 周期函數，T=
單調性 在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是單調遞增的；在[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上是單調遞減的
奇偶性 ，圖象關于 對稱
(1)求函數y=1-cos x的單調區間；
(2)比較cos-與cos的大小.
【方法總結】1.形如y=acos x+b(a≠0)函數的單調區間
(1)當a>0時，其單調性與y=cos x的單調性一致；
(2)當a<0時，其單調性與y=cos x的單調性相反.
2.比較cos α與cos β的大小時，可利用誘導公式化為[0，π]內的余弦函數值來進行比較.
函數y=1-2cos x的單調遞增區間是　　　　.
比較大小：cos　　　　cos-.(填“>”“<”或“=”)
　余弦函數圖象的應用
已知y=cos x(x∈R)，求：
(1)當y≥時x的集合；
(2)當-≤y≤時x的集合.
【方法總結】　　利用余弦曲線求解cos α≥a或cos α≤a(|a|<1)的步驟：
(1)作出余弦函數在一個周期內的圖象(選取的一個周期不一定是[0，2π]，應根據不等式來確定)；(2)作直線y=a與函數圖象相交；(3)在一個周期內確定α的取值范圍；(4)根據余弦函數的周期性確定最終的取值范圍.
利用正弦函數和余弦函數的圖象，求滿足下列條件的x的集合.
(1)sin x≥；(2)cos x≤.
【隨堂檢測】
1.用“五點法”作出函數y=3-cos x的圖象，下列點中不屬于五點作圖中的五個關鍵點的是(　　).
A.(π，-1) B.(0，2)
C.，3 D.，3
2.在區間0，上，下列函數是增函數的是(　　).
A.y= B.y=-
C.y=-sin x D.y=-cos x
3.函數y=cos(-x)，x∈[0，2π]的單調遞減區間是　　　　.
4.利用余弦函數的單調性，比較cos-與cos-的大小.
參考答案
1.5.2 余弦函數的圖象與性質
自主預習·悟新知
預學憶思
1.可以；五點的橫坐標一樣.
2.不是，它是偶函數.
3.余弦函數的單調遞增區間是[2kπ-π，2kπ](k∈Z)；單調遞減區間是[2kπ，2kπ+π](k∈Z).
自學檢測
1.A　【解析】對于A，x∈R，cos(-x)=cos x，故f(x)=cos x是偶函數，A正確；對于B，f(x)=sin x是奇函數，B錯誤；對于C，f(x)=ex為非奇非偶函數，C錯誤；對于D，f(x)=lg x，x>0為非奇非偶函數，D錯誤.故選A.
2.C　【解析】當cos A>cos B時，因為y=cos x在(0，π)內單調遞減，所以Acos B”是“Acos B，所以“cos A>cos B”是“A3.　[0，1]　【解析】∵f(x)=，∴2cos x≥1，即cos x≥，得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函數f(x)=的定義域為x-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
若x∈0，，則≤cos x≤1 0≤2cos x-1≤1，∴函數的值域為[0，1].
4.[π，2π]　[0，π]　【解析】畫出函數的圖象(圖略)，可得單調遞減區間為[π，2π]，單調遞增區間為[0，π].
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：正確.
問題2：(0，1)，，0，(π，-1)，，0，(2π，1).
問題3：能，根據cos x=sinx+，只需把y=sin x，x∈R的圖象向左平移個單位長度，即可得到y=cos x，x∈R的圖象.
新知運用
例1　【解析】按五個關鍵點列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
2+cos x 3 2 1 2 3
描點，并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖所示.
鞏固訓練　【解析】列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-cos x -1 0 1 0 -1
描點并將它們用光滑的曲線順次連接起來，如圖所示.
探究2　情境設置
問題1：它是關于y軸對稱.
問題2：是，對稱中心是kπ+，0，k∈Z.
問題3：觀察圖象可知，
當x∈[-π，0]時，曲線逐漸上升，是增函數，cos x的值由-1增大到1；
當x∈[0，π]時，曲線逐漸下降，是減函數，cos x的值由1減小到-1.
推廣到整個定義域可得，
當x∈[2kπ-π，2kπ]，k∈Z時，余弦函數y=cos x是增函數，函數值由-1增大到1；
當x∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z時，余弦函數y=cos x是減函數，函數值由1減小到-1.
新知生成
2π　偶函數　y軸
新知運用
例2　【解析】(1)∵y=1-cos x的單調性與y=cos x的單調性相反，
y=cos x的單調遞增區間是[2kπ-π，2kπ](k∈Z)，單調遞減區間是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)，
∴y=1-cos x的單調遞減區間是[2kπ-π，2kπ](k∈Z)，單調遞增區間是[2kπ，2kπ+π](k∈Z).
(2)cos=cos2π+=cos，
cos-=cos.
又0<<<π，y=cos x在[0，π]上單調遞減，
∴cos->cos.
鞏固訓練1　[2kπ，2kπ+π](k∈Z)　【解析】由于y=cos x的單調遞減區間為[2kπ，2kπ+π](k∈Z)，所以函數y=1-2cos x的單調遞增區間為[2kπ，2kπ+π](k∈Z).
鞏固訓練2　<　【解析】由于cos=cos8π+=cos，
cos-=cos =cos4π+=cos，
又y=cos x在[0，π]上單調遞減，
所以由<知，cos>cos，
即cos探究3
例3　【解析】用“五點法”作出y=cos x的簡圖，如圖.
(1)作直線y=，從圖象中看出，在區間[-π，π]上與余弦曲線交于-，，，兩點，在區間[-π，π]上，當y≥時，x的集合為x-≤x≤.
當x∈R時，若y≥，則x的集合為x-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
(2)作直線y=和直線y=-，從圖象中看出它們分別與余弦曲線交于-+2kπ，-，k∈Z，+2kπ，-，k∈Z和-+2kπ，，k∈Z，+2kπ，，k∈Z，那么曲線上夾在對應兩直線之間的點的橫坐標的集合即為所求，即當-≤y≤時，x的集合為x-+2kπ≤x≤-+2kπ或+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
鞏固訓練　【解析】(1)作出正弦函數y=sin x，x∈[0，2π]的圖象及直線y=，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x的集合為x+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
(2)作出余弦函數y=cos x，x∈[0，2π]的圖象及直線y=，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x的集合為x+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】由五點作圖法知五個關鍵點分別為(0，2)，，3，(π，4)，，3，(2π，2).
2.D　【解析】由正、余弦函數的單調性判斷可知選D.
3.[0，π]　【解析】y=cos(-x)=cos x，其單調遞減區間為[0，π].
4.【解析】cos-=cos=cos，cos-=cos=cos.
因為0<<<π，且函數y=cos x，x∈[0，π]是減函數，所以cos>cos，
即cos-

展開更多......

收起↑