資源簡介

1.6.1 探究ω對y=sin ωx的圖象的影響
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解y=sin ωx中ω對圖象的影響.(邏輯推理)
3.掌握y=sin x與y=sin ωx圖象間的變換關(guān)系.(直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
　　你知道沖浪運(yùn)動嗎 那洶涌的波濤時(shí)而把人們推向高聳的巔峰，時(shí)而又將人們卷入無底的深淵，讓人們盡情地享受沖浪的樂趣.猛然間我們會發(fā)現(xiàn)它竟然與我們所學(xué)的正弦、余弦函數(shù)的圖象是那么的相似，它們之間是不是有某種聯(lián)系 相信學(xué)過本節(jié)之后，你一定會豁然開朗.
閱讀教材，結(jié)合上述情境回答下列問題.
1.如何求函數(shù)y=sin ωx的周期
2.函數(shù)y=sin ωx是怎樣由y=sin x變換得到的
1.若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則ω=(　　).
A.1 B. C.2 D.3
2.若將函數(shù)f(x)=2sin 2x 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，則得到的新函數(shù)圖象的解析式為(　　).
A.y=2sin 8x B.y=2sin x
C.y=8sin 2x D.y=2sinx
3.函數(shù)y=的定義域是　　　　.
4.寫出一個(gè)周期為2且值域?yàn)閇0，2]的函數(shù)的解析式：f(x)=　　　　.
【合作探究】
　ω對y=sin ωx的圖象的影響
　　明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖描繪了筒車的工作原理.如圖，將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形，設(shè)經(jīng)過t s后，盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動到點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度為H.
問題1：H由哪些量決定
問題2：將點(diǎn)P距離水面的高度H表示為時(shí)間t(s)的函數(shù).
問題3：若改變r(jià)，h，φ，ω的值，則可得函數(shù)y=sin x，y=sin 2x和y=sinx，它們的周期分別是什么 當(dāng)三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí)，它們x的取值有什么關(guān)系
問題4：你能在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=sin x，y=sin 2x和y=sinx的圖象嗎
探究ω(ω>0)對y=sin ωx的圖象的影響：
一般地，對于ω>0，有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin ωx+.根據(jù)周期函數(shù)的定義，T= 是函數(shù)y=sin ωx的最小正周期.函數(shù)y=sin ωx的圖象是將函數(shù)y=sin x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo) 到原來的(當(dāng)ω>1時(shí))或 (當(dāng)0<ω<1時(shí))到原來的倍(縱坐標(biāo) )得到的.通常稱周期的倒數(shù)=為頻率.
已知函數(shù)y=sin 2x，該函數(shù)的圖象可由y=sin x，x∈R的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到
【變式設(shè)問】把已知函數(shù)改為y=sinx，其他不變，如何變換
【方法總結(jié)】由y=sin x的圖象，通過變換得到y(tǒng)=sin ωx的圖象時(shí)，注意ω的取值范圍：當(dāng)ω>1時(shí)，縮短到原來的；當(dāng)0<ω<1時(shí)，伸長到原來的倍.
為了得到函數(shù)y=sin x的圖象，只需把函數(shù)y=sin 4x的圖象上所有點(diǎn)的(　　).
A.橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變
B.橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
C.縱坐標(biāo)伸長到原來的4倍，橫坐標(biāo)不變
D.縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變
　函數(shù)y=sin ωx的圖象與性質(zhì)
　　小明用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)y=sin 2x與y=sin x在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，根據(jù)該圖回答下列問題.
問題1：函數(shù)y=sin 2x在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是什么
問題2：如何求函數(shù)y=sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間
函數(shù)y=sin ωx(ω>0)的性質(zhì)
定義域 R
值域 [-1，1]
周期 T=
奇偶性 奇函數(shù)
對稱軸方程 由ωx=kπ+(k∈Z)求得
對稱中心 由ωx=kπ(k∈Z)求得
單調(diào)性 單調(diào)遞增區(qū)間由2kπ-≤ωx≤2kπ+(k∈Z)求得；單調(diào)遞減區(qū)間由2kπ+≤ωx≤2kπ+(k∈Z)求得
已知函數(shù)f(x)=sinx，x∈R.
(1)利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f(x)的簡圖；
(2)研究函數(shù)f(x)=sinx的性質(zhì).
【方法總結(jié)】(1)用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，應(yīng)先令ωx分別為0，，π，，2π，再解出x，從而確定這五點(diǎn)，畫出簡圖.(2)研究函數(shù)y=sin ωx的性質(zhì)可以類比正弦函數(shù)的性質(zhì)，注意換元法的應(yīng)用.
作出函數(shù)f(x)=sin 4x在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡圖，并研究其性質(zhì).
　求ω的值或取值范圍
若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　).
A.0≤ω≤ B.0≤ω≤
C.≤ω≤3 D.≤ω≤3
【方法總結(jié)】　　求ω的值或取值范圍，一般根據(jù)周期、函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，再根據(jù)k的取值求解.
若函數(shù)f(x)=sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間0，上的最大值是，則ω=　　　　.
【隨堂檢測】
1.函數(shù)y=sinx的最小正周期是(　　).
A.1 B.2
C.4 D.8
2.把函數(shù)f(x)=sin 2x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，所得圖象的解析式為(　　).
A.y=sin x B.y=sin x
C.y=sin 2x D.y=sin 4x
3.函數(shù)f(x)=sin 4x的頻率為　　　　.
4.函數(shù)f(x)=cos+2x的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.
參考答案
1.6.1 探究ω對y=sin ωx的圖象的影響
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.T=.
2.把y=sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(當(dāng)ω>1時(shí))或伸長(當(dāng)0<ω<1時(shí))到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的.
自學(xué)檢測
1.B　【解析】由題意可知函數(shù)在x=時(shí)取得最大值，則=2kπ+，k∈Z，所以ω=6k+.當(dāng)k=0時(shí)，ω=滿足選項(xiàng).故選B.
2.D　【解析】橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，則函數(shù)解析式變?yōu)閥=2sin×2x=2sin x.
3.kπ，+kπ(k∈Z)　【解析】由題意知，2sin 2x≥0，即sin 2x≥0，由正弦函數(shù)y=sin x≥0得x∈[2kπ，π+2kπ](k∈Z)，所以2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，所以函數(shù)y=的定義域?yàn)閗π，+kπ(k∈Z).
4.sin πx+1(答案不唯一)　【解析】g(x)=sin πx的周期為2，值域?yàn)閇-1，1]，∴f(x)=sin πx+1滿足題意(答案不唯一).
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1：H 由以下量決定：筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所經(jīng)過的時(shí)間t.
問題2：
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，與水平面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)P0，以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角為φ，經(jīng)過t s后運(yùn)動到點(diǎn)P(x，y).
于是，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為ωt+φ，所以y=rsin(ωt+φ)，
故點(diǎn)P距離水面的高度H=rsin(ωt+φ)+h.
問題3：周期分別為2π，π，4π.
當(dāng)三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí)，y=sin 2x中x的取值是y=sin x中x取值的，y=sinx中x的取值是y=sin x中x取值的2倍.
問題4：能，如圖.
新知生成
　縮短　伸長　不變
新知運(yùn)用
例1　【解析】把函數(shù)y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y=sin 2x的圖象.
變式設(shè)問　提示　把函數(shù)y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y=sinx的圖象.
鞏固訓(xùn)練　A　【解析】根據(jù)ω對函數(shù)圖象的影響，只需把函數(shù)y=sin 4x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，就得到函數(shù)y=sin x的圖象.
探究2　情境設(shè)置
問題1：0，，，π.
問題2：因?yàn)閥=sin x在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，
所以函數(shù)y=sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是+kπ，+kπ(k∈Z).
新知運(yùn)用
例2　【解析】(1)列表取值，描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線順次連接，得到一個(gè)周期的簡圖.
x 0 π 2π 3π 4π
x 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
(2)函數(shù)f(x)=sinx的值域是[-1，1]，f(x)是周期為4π的周期函數(shù)，是奇函數(shù).
由x=kπ，k∈Z，得圖象的對稱中心為(2kπ，0)，k∈Z；
由x=kπ+，k∈Z，得圖象的對稱軸方程為x=2kπ+π，k∈Z；
由-+2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，得單調(diào)遞增區(qū)間為[-π+4kπ，4kπ+π]，k∈Z；
由+2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，得單調(diào)遞減區(qū)間為[π+4kπ，4kπ+3π]，k∈Z.
鞏固訓(xùn)練　【解析】利用五點(diǎn)作圖法畫出簡圖，如圖所示.
函數(shù)f(x)的周期T==；f(x)是奇函數(shù)；f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-，+(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是+，+(k∈Z)；f(x)的值域是[-1，1]；f(x)圖象的對稱軸是直線x=+，k∈Z；f(x)圖象的對稱中心是，0，k∈Z.
探究3
例3　D　【解析】令+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)，則+≤x≤+(k∈Z).
∵函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
∴+≤且+≥，k∈Z，
解得+6k≤ω≤3+4k，k∈Z，
又≥-=，∴T≥，
∴≥，∴ω≤6，∴≤ω≤3，故選D.
鞏固訓(xùn)練　　【解析】∵函數(shù)f(x)的周期T=，
∴f(x)=sin ωx在0，上是增函數(shù)，
∵0<ω<1，∴0，是0，的子集，
∴f(x)在0，上單調(diào)遞增，
∴f=，即sinω=，
∴ω=，∴ω=.
隨堂檢測·精評價(jià)
1.C　【解析】T==4，故選C.
2.D　【解析】由已知得y=sin(2×2x)=sin 4x，故選D.
3.　【解析】因?yàn)門==，所以該函數(shù)的頻率為=.
4.kπ+，kπ+(k∈Z)　【解析】由f(x)=-sin 2x，2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z)，得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).

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