資源簡介

1.6.2 探究φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響
【學習目標】
1.理解y=sin(x+φ)中φ對圖象的影響.(直觀想象)
2.掌握y=sin x與y=sin(ωx+φ)圖象間的變換關系.(邏輯推理)
【自主預習】
　　小孩嬉水時，常將小石子扔進平靜的水中，形成陣陣漣漪.這些都給我們無限的遐想，猛然間我們會發現它竟然與我們所學的正弦函數的圖象是那么的相似，它們之間是不是有某種聯系 相信學過本節之后，你一定會豁然開朗.
閱讀教材，結合上述情境回答下列問題.
1.函數y=sin(x+φ)的定義域、值域、周期與y=sin x相同嗎
2.函數y=sin(x+φ)是怎樣由y=sin x變換得到的
1.在下列區間中，函數f(x)=sinx-單調遞減的是(　　).
A.0， B.，π
C.π， D.，2π
2.(多選題)將函數f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象關于原點對稱，則φ的值可能為(　　).
A.- B.- C. D.
3.(多選題)若函數f(x)=sinωx-(ω>0)的最小正周期為π，則它的一條對稱軸是直線(　　).
A.x=- B.x=0
C.x=- D.x=
4.已知函數f(x)=sinx+，x∈0，，則函數f(x)的最大值為　　　　.
【合作探究】
　φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響
　　在同一平面直角坐標系中畫出y=sin x與y=sinx-的圖象，如圖所示.
問題1：函數y=sinx-的五個關鍵點是什么
問題2：y=sinx-的五個關鍵點與y=sin x的五個關鍵點之間有什么關系
問題3：如何由y=f(x)的圖象變換得到y=f(x+a)的圖象
　　探究φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響
(1)函數y=sin(x+φ)與y=sin x的周期相同.
(2)由x+φ=0，得x=-φ，即函數y=sin x圖象上的點(0，0)平移到了點(-φ，0).
(3)函數y=sin(x+φ)的圖象，可以看作將函數y=sin x圖象上的所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位長度得到的.
(1)要得到函數y=sinx+的圖象，只要將函數y=sin x的圖象(　　).
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
(2)要得到函數y=sin2x+的圖象，只要將函數y=sin 2x的圖象(　　).
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
【方法總結】　　圖象平移變換的策略
(1)先確定平移的方向和平移的量.
(2)當x的系數是1時，若φ>0，則向左平移φ個單位長度；若φ<0，則向右平移|φ|個單位長度.
當x的系數是ω(ω>0)時，若φ>0，則向左平移個單位長度；若φ<0，則向右平移個單位長度.
將函數y=sin 4x的圖象向左平移個單位長度，得到函數y=sin(4x+φ)的圖象，則φ的值為(　　).
A.- B.- C. D.
　函數y=sin(ωx+φ)的圖象與性質
　　李明：要得到函數y=sin2x-的圖象，只需將函數y=sin 2x的圖象向右平移個單位長度.
問題1：李明的說法正確嗎 若錯誤，則該如何訂正
問題2：函數y=sin2x-在0，上的單調遞減區間是什么
函數y=sin(ωx+φ)(ω>0)的性質
定義域 R
值域 [-1，1]
周期性 T=
奇偶性 當φ=kπ(k∈Z)時，是奇函數；當φ=+kπ(k∈Z)時，是偶函數；當φ≠(k∈Z)時，是非奇非偶函數
單調性 單調遞增區間可由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到，單調遞減區間可由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到
對稱性 對稱軸方程：x=+(k∈Z)
對稱中心：，0(k∈Z)
　　注：通常稱φ為初相，ωx+φ為相位.
已知函數f(x)=sin+(x∈R).
(1)用“五點法”畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象.
(2)討論函數f(x)的性質.
【方法總結】　　(1)用“五點法”作圖時，應先令ωx+φ分別為0，，π，，2π，再解出x，從而確定這五點，畫出簡圖.(2)研究函數性質可以類比正、余弦函數的性質，注意換元法的應用.
已知函數f(x)=sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的最小正周期是π，若其圖象向右平移個單位長度后得到的圖象所對應的函數為奇函數，則下列結論正確的是(　　).
A.函數f(x)的圖象關于直線x=對稱
B.函數f(x)的圖象關于點，0對稱
C.函數f(x)在區間-，-上單調遞減
D.函數f(x)在，上有3個零點
　三角函數圖象的應用
已知函數f(x)=sinωx-的圖象關于直線x=π對稱，其中ω為實數.
(1)若ω∈，1，求函數f(x)的周期；
(2)在(1)的條件下，若當x∈[0，3π]時，方程f(x)=2+m有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍.
【方法總結】與方程的根、函數零點有關的問題，常借助數形結合，即借助函數的圖象求解.
已知函數f(x)=sinx+.
(1)f(x)在經過變換后如何得到h(x)=|sin 2x|
(2)當x∈0，時，方程m-h(x)+=0(m>0)有3個不等實根，求實數m的取值范圍.
【隨堂檢測】
1.將函數f(x)=sin 2x的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，則函數g(x)的解析式是(　　).
A.g(x)=sin2x+ B.g(x)=sin2x+
C.g(x)=sin2x- D.g(x)=sin2x-
2.(多選題)已知關于x的函數f(x)=sin(x+φ)，則下列命題是假命題的為(　　).
A. φ∈R，f(x)都是非奇非偶函數
B. φ∈R，f(x)都不是偶函數
C. φ∈R，f(x)是奇函數
D. φ∈R，f(x)既是奇函數又是偶函數
3.將函數y=sinx-的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到的圖象對應的函數的最小正周期是(　　).
A. B.π C.2π D.4π
4.已知函數y=sin(ωx+φ)ω>0，0<φ≤的圖象如圖所示，求ω，φ的值.
參考答案
1.6.2 探究φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響
自主預習·悟新知
預學憶思
1.相同.
2.函數y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖象，可以看作是把y=sin x的圖象上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位長度得到的.
自學檢測
1.C　【解析】由+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.當k=-1時，函數f(x)在-，-上單調遞減；當k=0時，f(x)在，上單調遞減；當k=1時，f(x)在，上單調遞減.結合選項知，函數f(x)在π，上單調遞減.故選C.
2.BD　【解析】設平移后得到函數圖象的解析式為g(x)=sin2x++φ=sin2x+φ+，∵g(x)的圖象關于原點對稱，∴g(x)是奇函數，∴g(0)=sinφ+=0，∴φ+=kπ(k∈Z)，∴φ=kπ-(k∈Z).當k=0時，φ=-；當k=1時，φ=.故選BD.
3.AD　【解析】由T==π，得ω=2，所以f(x)=sin2x-，令2x-=+kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z.當k=0時，x=；當k=-1時，x=-.故選AD.
4.1　【解析】因為0≤x≤，所以≤x+≤，所以≤sinx+≤1，所以f(x)的最大值為1.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：，0，，1，，0，，-1，，0.
問題2：y=sinx-的五個關鍵點可以看作是y=sin x的五個關鍵點向右平移個單位長度得到的.
問題3：向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度.
新知運用
例1　(1)A　(2)C　【解析】(1)將函數y=sin x圖象上所有的點向左平移個單位長度，就可得到函數y=sinx+的圖象.
(2)因為y=sin2x+=sin2x+，所以將函數y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度，就可得到函數y=sin2x+=sin2x+的圖象.
鞏固訓練　D　【解析】將函數y=sin 4x的圖象向左平移個單位長度，得到y=sin4x+=sin4x+的圖象，∴φ的值為.
探究2　情境設置
問題1：不正確，由已知得y=sin2x-=sin 2x-，要得到函數y=sin2x-的圖象，需將函數y=sin 2x的圖象向右平移個單位長度.
問題2：由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.因為x∈0，，所以令k=0，得≤x≤，所以該函數的單調遞減區間是，.
新知運用
例2　【解析】(1)列表：
x -
+ 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
描點畫圖：
(2)由圖可知，該函數的周期為4π，是非奇非偶函數，值域為[-1，1]，單調遞增區間為4kπ-，4kπ+(k∈Z)，單調遞減區間為4kπ+，4kπ+(k∈Z)；對稱軸為直線x=2kπ+(k∈Z)；對稱中心為2kπ-，0(k∈Z).
鞏固訓練　C　【解析】∵該函數的最小正周期是π，∴ω==2，
∵它的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象所對應的函數為奇函數，
∴g(x)=sin2x-+φ為奇函數，則φ=kπ+，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ=-，∴f(x)=sin2x-.
由2x-=kπ+，k∈Z，得x=+，k∈Z，
則f(x)的圖象不關于直線x=對稱，A錯誤；
由2x-=kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，
則f(x)的圖象不關于，0對稱，B錯誤；
由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
則f(x)的單調遞減區間為+kπ，+kπ，k∈Z，
取k=-1，得區間-，-，
由-，- -，-知，C正確；
函數f(x)的零點為x=+，k∈Z，
則函數f(x)在，上有和兩個零點，D錯誤.
探究3
例3　【解析】(1)由直線x=π是函數y=f(x)圖象的一條對稱軸，可得sinωπ-=±1，所以ω=+k，k∈Z，
又ω∈，1，k∈Z，所以ω=，
由T=，得函數f(x)的周期T=.
(2)由(1)可得f(x)=sinx-，所以f(0)=sin-=-，f(3π)=sin×3π-=，
作出函數f(x)在[0，3π]的圖象，如圖所示.
方程有兩個不同的實數根等價于函數f(x)的圖象與y=2+m的圖象有兩個交點，則<2+m<1或-1<2+m<-，解得-3所以實數m的取值范圍為-3，--2∪-，-1.
鞏固訓練　【解析】(1)將f(x)=sinx+的圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到f1(x)=sin x的圖象，然后縱坐標不變，將橫坐標縮短為原來的，得到f2(x)=sin 2x的圖象，再將f2(x)=sin 2x的圖象沿x軸將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，x軸上方的圖象不變，得到h(x)=|sin 2x|的圖象.
(2)當x∈0，時，方程m-h(x)+=0有3個不等實根，即函數y=h(x)-的圖象與直線y=m有3個交點，
畫出兩個函數圖象，如圖所示.
x軸上方的直線為m=，x軸下方的直線為m=-，
所以當函數y=h(x)-的圖象與直線y=m有3個交點時，m∈-，，
又m>0，所以m∈0，.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由題意知，將函數f(x)=sin 2x的圖象向右平移個單位長度，可得g(x)=sin 2x-=sin2x-.
2.ABD　【解析】當φ=kπ，k∈Z時，函數f(x)=sin(x+φ)是奇函數，當φ=+kπ，k∈Z時，函數f(x)=sin(x+φ)是偶函數，所以A錯誤；
當φ=+kπ，k∈Z時，函數f(x)=sin(x+φ)是偶函數，所以B錯誤；
當φ=kπ，k∈Z時，函數f(x)=sin(x+φ)是奇函數，所以C正確；
不存在φ∈R，使函數f(x)=sin(x+φ)既是奇函數又是偶函數，所以D錯誤.
3.D　【解析】將函數y=sinx-的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數y=sinx-的圖象，該函數的最小正周期T==4π.
4.【解析】由=-=，得T=π，
由T=(ω>0)，得ω=2，
所以2×+φ=π+2kπ，k∈Z，
又0<φ≤，所以φ=.

展開更多......

收起↑