資源簡介

1.6.3 探究A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響
【學習目標】
1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω，φ，A對圖象的影響.(數學抽象)
2.掌握y=sin x與y=Asin(ωx+φ)圖象間的變換關系，并能正確地指出其變換步驟.(直觀想象)
【自主預習】
1.用“五點法”作y=2sin x的圖象時，五個關鍵點的坐標分別是什么
2.如何由y=sin x的圖象得到y=2sin x的圖象
3.如何由y=2sin x的圖象得到y=2sinx的圖象
4.如何由y=2sinx的圖象得到y=2sinx+1的圖象
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數y=sin x的圖象向右平移個單位長度，得到函數y=sinx+的圖象. (　　)
(2)將函數y=sin x圖象上各點的縱坐標變為原來的5倍，橫坐標不變，即可得到函數y=5sin x的圖象. (　　)
(3)把函數y=cos x圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，即可得到函數y=cos 3x的圖象.(　　)
2.將函數y=sin x的圖象上各點的縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變，則所得圖象對應的函數為　　　　.
3.將函數y=sin x的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，可得到　　　　的圖象.
4.說明y=-2sin2x-+1的圖象是由y=sin x的圖象經過怎樣的變換得到的.
【合作探究】
　A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響
　　圖①是暑假期間小明幫媽媽推銷紙巾，圖②是小明喊話的聲波，圖③是放大的一部分聲波.
問題1：圖③中三條曲線的振幅相同嗎
問題2：對于同一個x，函數y=2sin x，y=sin x和y=sin x的函數值有何關系
問題3：把函數y=2sin 3x的圖象上所有點的橫坐標都變為原來的2倍，縱坐標變為原來的3倍，得到哪個函數的圖象
A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響
y=Asin(ωx+φ)(A>0)的圖象是將y=sin(ωx+φ)的圖象上的每個點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分圖象如圖所示，其中圖象最高點和最低點的橫坐標分別為和，圖象在y軸上的截距為，給出下列四個結論：①f(x)的最小正周期為π；②f(x)的振幅為2；③f=-1；④fx+為奇函數.其中正確結論的個數是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【方法總結】　　由圖象或部分圖象確定解析式，在觀察圖象的基礎上可按以下規律來確定A，一般由圖象上的最大值m、最小值n來確定，A=.
已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R其中A>0，ω>0，-<φ<，其部分圖象如圖所示，將f(x)的圖象縱坐標不變，橫坐標變成原來的2倍，再向右平移1個單位長度，得到函數g(x)的圖象，則函數g(x)的解析式為(　　).
A.g(x)=sin(x+1) B.g(x)=sin(x+1)
C.g(x)=sinx+1 D.g(x)=sinx+1
　“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象
問題1：作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象，有幾種方法
問題2：五點作圖法的關鍵是什么
用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象的步驟：
第一步：列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
y 0 A 0 -A 0
　　第二步：在同一坐標系中描出各點.
第三步：用光滑的曲線順次連接這些點，形成圖象.
已知函數y=sin2x+，x∈R.
(1)用“五點法”作出它在一個周期內的簡圖；
(2)該函數的圖象可由y=sin x(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到
【方法總結】用“五點法”作圖時，列表一般有下面兩種方法：①先分別令ωx+φ取0，，π，，2π，再求出對應的x，這體現了整體換元的思想；②取ωx0+φ=0，得x0=-，再把x0作為五點中第一個點的橫坐標，依次遞加一個周期的，就可以得到其余四個點的橫坐標.
用“五點法”作函數y=3sinx-的簡圖，并指出這個函數的振幅、周期、
頻率和初相.
　函數y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性質
　　港口水深是港口重要特征之一，表明其自然條件和船舶可能利用的基本界限.如圖，這是某港口一天內6時到18時的水深變化曲線，近似滿足函數y=3sinx-+k.
問題1：由圖如何求k的值
問題2：函數y=3sinx-+k的值域是多少
1.函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)和y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性質
名稱 y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0) y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)
定義域 R R
值域 [-A，A] [-A，A]
周期性 T= T=
對稱性 對稱中心，0 (k∈Z) 對稱中心+，0 (k∈Z)
對稱軸 x=+(k∈Z) x=(k∈Z)
奇偶性 當φ=kπ(k∈Z)時是 函數； 當φ=kπ+(k∈Z)時是 函數 當φ=kπ(k∈Z)時是偶函數； 當φ=kπ+(k∈Z)時是奇函數
單調性 通過整體代換可求出其單調區間 通過整體代換可求出其單調區間
2.研究函數y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0(y=Acos(ωx+φ)，A>0，ω>0)的性質的一般步驟：
第一步：確定周期T=.
第二步：在y=sin x(y=cos x)五個關鍵點(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0)的基礎上確定該函數的五個關鍵點.
第三步：用光滑曲線順次連接五個關鍵點，即可畫出函數y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)在一個周期上的圖象，再利用其周期性把圖象延拓到R，就可以得到它在R上的圖象.
第四步：借助圖象討論性質.
用“五點法”畫函數f(x)=Acos(ωx+φ)+1ω>0，|φ|<在某一周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x
f(x) 4 1 -2 4
(1)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數f(x)的解析式；
(2)若將函數y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g(x)的圖象，求當x∈[0，2π]時，函數y=g(x)的單調遞增區間；
(3)若將函數y=f(x)圖象上的所有點向右平移θ(θ>0)個單位長度，得到y=k(x)的圖象，若y=k(x)圖象的一個對稱中心為，1，求θ的最小值.
已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，其圖象關于點M，0對稱，且在區間0，上是單調函數，求φ和ω的值.
　三角函數的綜合應用
某同學用“五點法”畫函數f(x)=Asin(ωx+φ)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 2 0 0
(1)請將上表數據補充完整，填寫在相應位置，并求出函數f(x)的解析式；
(2)把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數y=g(x)的圖象，求g的值.
【方法總結】由函數的最值求出A，由周期求出ω，由“五點法”作圖求出φ.
已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)將y=f(x)圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y=g(x)的圖象，求函數y=g(x)在R上的單調遞增區間.
【隨堂檢測】
1.函數y=2sin2x++1的最大值是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)其中ω>0，|φ|<的最小正周期是π，且f(0)=，則(　　).
A.ω=，φ= B.ω=，φ=
C.ω=2，φ= D.ω=2，φ=
3.已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，則f=(　　).
A.1　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
4.已知函數f(x)=2sin2x-，x∈R.
(1)寫出函數f(x)的對稱軸方程、對稱中心的坐標；
(2)求函數f(x)在區間0，上的最大值和最小值.
參考答案
1.6.3 探究A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響
自主預習·悟新知
預學憶思
1.(0，0)，，2，(π，0)，，-2，(2π，0).
2.y=sin x的圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，即可得到y=2sin x的圖象.
3.y=2sin x的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，即可得到y=2sinx的圖象.
4.將y=2sinx的圖象向左平移2個單位長度，即可得到y=2sinx+1的圖象.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×
2.y=sin x　【解析】根據變化規則可得，變化后的圖象對應的函數為y=sin x.
3.y=sin 4x　【解析】函數y=sin x的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，即可得到y=sin 4x的圖象.
4.【解析】(法一：先伸縮后平移)y=sin x的圖象y=-2sin x的圖象y=-2sin 2x的圖象y=-2sin2x-的圖象y=-2sin2x-+1的圖象.
(法二：先平移后伸縮)y=sin x的圖象y=-2sin x的圖象y=-2sinx-的圖象y=-2sin2x-的圖象y=-2sin2x-+1的圖象.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：不相同.
問題2：對于同一個x，y=2sin x的函數值是y=sin x的函數值的2倍，而y=sin x的函數值是y=sin x的函數值的.
問題3：y=6sinx.
新知運用
例1　C　【解析】由圖象得，函數f(x)的最小正周期T=2×-=π，①正確；
∵ω==2，∴f(x)=Asin(2x+φ)，
又f=Asin2×+φ=Asin+φ=A，
∴sin+φ=1，結合0<φ<π，得φ=，
即f(x)=Asin2x+，又f(0)=Asin=，
∴A=2，即f(x)=2sin2x+，
∴函數f(x)的最大值為2，即振幅為2，②正確；
f=2sin2×+=2cos=1，③錯誤；
∵f(x)=2sin2x+，∴fx+=2sin2x++=2sin(2x+π)=-2sin 2x，為奇函數，④正確.
故選C.
鞏固訓練　B　【解析】根據圖象可知A=1，T=4×(1+1)=8=，解得ω=，所以f(x)=sinx+φ.由+φ=+2kπ(k∈Z)且-<φ<，解得φ=，所以將函數f(x)=sinx+圖象的橫坐標變為原來的2倍，得到函數y=sinx+的圖象，再向右平移1個單位長度，得到函數g(x)=sin(x-1)+=sin(x+1)的圖象.
探究2　情境設置
問題1：有兩種方法：①通過平移和伸縮變換作y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象；②通過“五點法”作圖，畫出y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象.
問題2：列表.
新知運用
例2　【解析】(1)列表：
2x+ 0 π 2π
x -
y=sin2x+ 0 0 - 0
描點、連線，圖象如圖所示.
(2)將函數y=sin x的圖象向左平移個單位長度，得到函數y=sinx+的圖象，再保持縱坐標不變，把橫坐標縮短為原來的，得到函數y=sin2x+的圖象，再保持橫坐標不變，把縱坐標縮短為原來的，得到函數y=sin2x+的圖象.
鞏固訓練　【解析】(1)列表：
x
x- 0 π 2π
y 0 3 0 -3 0
(2)描點：在平面直角坐標系中描出點，0，，3，，0，，-3，，0.
(3)連線：將所得五點用光滑的曲線順次連起來，如圖所示.
(4)這樣就得到了函數y=3sinx-在一個周期內的圖象，再將這部分圖象向左或向右平移4kπ(k∈Z)個單位長度，得到函數y=3sinx-(x∈R)的圖象.
此函數的振幅為3，周期為4π，頻率為，初相為-.
探究3　情境設置
問題1：由圖象知該函數的最小值為2，故-3+k=2，所以k=5.
問題2：由問題1得函數y=3sinx-+5，因為-3≤3sinx-≤3，所以2≤3sinx-+5≤8，所以該函數的值域是[2，8].
新知生成
1.奇　偶
新知運用
例3　【解析】(1)由表格中的數據可得解得
∴函數f(x)的解析式為f(x)=3cos2x++1，數據補全如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x -
f(x) 4 1 -2 1 4
(2)將函數f(x)=3cos2x++1的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，可得到函數g(x)=3cosx++1的圖象，
由2kπ-π≤x+≤2kπ(k∈Z)，得2kπ-≤x≤2kπ-(k∈Z)，
∴函數y=g(x)在R上的單調遞增區間為2kπ-，2kπ-(k∈Z).
當x∈[0，2π]時，函數y=g(x)的單調遞增區間為，.
(3)由已知，得k(x)=f(x-θ)=3cos2(x-θ)++1=3cos2x-2θ++1，
∵函數y=k(x)圖象的一個對稱中心為，1，
∴k=3cos-2θ++1=-3cos 2θ+1=1，
即cos 2θ=0，
∴2θ=+kπ(k∈Z)，即θ=+(k∈Z)，
∵θ>0，∴當k=0時，θ取到最小值，最小值為.
鞏固訓練　【解析】由f(x)是偶函數，得f(-x)=f(x)，即函數f(x)的圖象關于y軸對稱，
∴f(x)在x=0時取得最值，即sin φ=±1，
依題知0≤φ≤π，解得φ=.
由f(x)的圖象關于點M對稱可知，sinω+=0，
即ω+=kπ，k∈Z，解得ω=-，k∈Z.
又f(x)在0，上是單調函數，∴T≥π，即≥π，
∴ω≤2.
又ω>0，∴當k=1時，ω=；當k=2時，ω=2.
∴φ=，ω=2或ω=.
探究4
例4　【解析】(1)根據表中已知數據，可得
解得
又Asin=2，所以A=2，所以f(x)=2sin2x-.
數據補全如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 2 0 -2 0
(2)由(1)知f(x)=2sin2x-，
把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到y=2sinx-的圖象，
再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到y=2sinx+-=2sin x的圖象，即g(x)=2sin x，所以g=2sin=2sin-=-1.
鞏固訓練　【解析】(1)由圖象可知，A=2，
周期T=--=π，
∴=π，ω>0，則ω=2，
從而f(x)=2sin(2x+φ)，代入點，2的坐標，
得sin+φ=1，則+φ=+2kπ，k∈Z，
即φ=-+2kπ，k∈Z，
又|φ|<，則φ=-，
∴f(x)=2sin2x-.
(2)由(1)知f(x)=2sin2x-，
因此g(x)=2sin2x+-=2sin2x-，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，可得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴函數的單調遞增區間為kπ-，kπ+，k∈Z.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】當2x+=2kπ+(k∈Z)，即x=kπ+(k∈Z)時，該函數的最大值為3.
2.D　【解析】因為函數f(x)的最小正周期是π，所以T==π，所以ω=2.
因為f(0)=2sin φ=，所以sin φ=，又因為|φ|<，所以φ=.
3.A　【解析】由題圖可知f(0)=2sin φ=-，即sin φ=-，又|φ|<，所以φ=-，
又f(π)=2sinπω-=-=f(0)，所以f(x)的圖象關于直線x=對稱.
因為T>π，且ω>0，所以>π，解得0<ω<2，所以-<ω-<，
所以ω-=，解得ω=，所以f(x)=2sinx-，
所以f=2sin×-=2sin2π+=2sin =1.
4.【解析】(1)由2x-=kπ+(k∈Z)，得x=+(k∈Z)，所以函數f(x)的對稱軸方程為x=+，k∈Z.由2x-=kπ(k∈Z)，得x=+(k∈Z)，所以函數f(x)的對稱中心為+，0，k∈Z.
(2)因為0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以當2x-=-，即x=0時，f(x)取得最小值，最小值為-1；當2x-=，即x=時，f(x)取得最大值，最大值為2.

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