資源簡(jiǎn)介

1.7.1 正切函數(shù)的定義及其誘導(dǎo)公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.借助三角函數(shù)定義及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式.(邏輯推理)
2.掌握正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式.(數(shù)學(xué)抽象)
【自主預(yù)習(xí)】
　　前面我們學(xué)習(xí)過π±α，-α，±α，2π±α等的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，并總結(jié)出“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的記憶口訣.利用正弦、余弦的誘導(dǎo)公式和正切tan α的定義，回答下列問題.
1.tan(2π+α)，tan(2π-α)與tan α有什么關(guān)系
2.tan(π+α)，tan(π-α)與tan α有什么關(guān)系
3.求的值.
1.tan-=(　　).
A. B. C.- D.-
2.函數(shù)f(x)=的定義域是(　　).
A.xx≠，k∈Z
B.xx≠+，k∈Z
C.xx≠+kπ，k∈Z
D.xx≠+kπ且x≠+kπ，k∈Z
3.已知tan(π+α)=2，則=　　　　.
4.化簡(jiǎn)：.
【合作探究】
　正切函數(shù)的定義
　　在初中我們學(xué)過正切，是在直角三角形中研究正切的，同時(shí)，在一個(gè)直角三角形中，我們也能得到一個(gè)角的正、余弦值，根據(jù)它們的比值關(guān)系，我們能得到tan A=.
問題1：若將角A擴(kuò)展到任意角時(shí)，此公式是否成立
問題2：結(jié)合前面任意角的正、余弦計(jì)算方法，你能根據(jù)終邊上的一個(gè)點(diǎn)，計(jì)算所對(duì)應(yīng)角的正切函數(shù)值嗎
問題3：若角α的終邊上有一點(diǎn)(3，4)，則tan α等于多少
1.根據(jù)函數(shù)的定義，比值是x的函數(shù)，稱為x的正切函數(shù)，記作y=tan x，其中定義域?yàn)閤∈Rx≠kπ+，k∈Z.
2.若在角α的終邊上任取一點(diǎn)Q(x0，y0)(x0≠0)，則tan α=.
已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3，y)，且tan α=-.
(1)求sin α+cos α的值；
(2)求的值.
【方法總結(jié)】三角函數(shù)之間關(guān)系的應(yīng)用
利用tan α=進(jìn)行弦切互化，正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切.
已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，其終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-8，-6).
(1)求sin α，cos α，tan α的值；
(2)求的值.
　利用誘導(dǎo)公式求值
　　數(shù)學(xué)課上，老師在黑板上寫了這樣一個(gè)問題：已知tan-α=，求的值.
張瑜同學(xué)是這樣解答的：∵-α=，
∴α=-，
∴==.
李琦同學(xué)是這樣解答的：∵-α++α=，
∴==tan-α=.
謝凡評(píng)價(jià)說：張瑜的解題過程有點(diǎn)問題，要是換成，張瑜的解法可能無法再用了.
問題1：謝凡的評(píng)價(jià)是否正確 為什么
問題2：將改為后，的值是什么
問題3：tan-α+tan+α的值是多少
正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式
角x 函數(shù)y=tan x
kπ+α(k∈Z) tan α
-α -tan α
π-α -tan α
+α -
-α
　　給值求值的策略：(1)借助于誘導(dǎo)公式可以將任意的角轉(zhuǎn)化為0~2π內(nèi)的角；(2)給定某一角的三角函數(shù)值，在求另外一個(gè)不同角的三角函數(shù)值時(shí)，可以用已知的角整體代替未知的角進(jìn)行求解.
(1)求值：.
(2)若tan 15°=2-，求2tan 1 095°+tan 975°+tan(-195°)的值.
【方法總結(jié)】　　解答此類問題的基本策略，一方面是準(zhǔn)確化簡(jiǎn)已知條件，另一方面是聯(lián)想所求問題的處理方法，兩方面緊密結(jié)合，找到解題思路.
若角θ的終邊上有一點(diǎn)P(1，2)，求的值.
已知tan-α=，求tan+α的值.
　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)
問題1：與正切函數(shù)有關(guān)的式子求值時(shí)應(yīng)注意什么問題
問題2：利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式解決給角求值的解題流程是怎樣的
三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法
(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù).
(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正、余弦函數(shù).
化簡(jiǎn)：.
【變式設(shè)問】已知tan(3π-α)=，求的值.
【方法總結(jié)】　　用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)：(1)化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；(2)函數(shù)的種類盡可能的少；(3)分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；(4)能求值的一定要求值；(5)含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等方法進(jìn)行化簡(jiǎn).
化簡(jiǎn)sinα+·cosα-·tan-α的結(jié)果是(　　).
A.1 B.sin2α
C.-cos2α D.-1
　利用正切的誘導(dǎo)公式證明三角恒等式
求證：=1.
【方法總結(jié)】　　對(duì)于恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法.熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法，體現(xiàn)了邏輯推理素養(yǎng).
求證：
=tan α.
【隨堂檢測(cè)】
1.tan 330°=(　　).
A.1 B. C.- D.-1
2.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，-1)，則=(　　).
A.3 B. C.- D.-3
3.已知tan α=2，則=　　　　.
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，鈍角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與半徑為3的圓相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)B，OB=2.
(1)求tan α的值；
(2)求的值.
參考答案
1.7.1 正切函數(shù)的定義及其誘導(dǎo)公式
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.tan(2π+α)===tan α，tan(2π-α)===-tan α.
2.tan(π+α)===tan α，tan(π-α)===-tan α.
3.原式===.
自學(xué)檢測(cè)
1.A　【解析】tan-=tan-π=tan=.故選A.
2.A　【解析】由題可得解得x≠(k∈Z)，
∴函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閤x≠，k∈Z.
3.3　【解析】因?yàn)閠an(π+α)=tan α=2，
所以===3.
4.【解析】原式==-=-1.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1：成立.
問題2：能.
問題3：tan α==.
新知運(yùn)用
例1　【解析】(1)因?yàn)閠an α==-，所以y=-4，則r=5，
故sin α=-，cos α=，sin α+cos α=-.
(2)原式=====-10.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)∵角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-8，-6)，∴|PO|=10，
∴sin α=-，cos α=-，tan α=.
(2)原式====-.
探究2　情境設(shè)置
問題1：正確，張瑜只是找到了滿足條件的特殊角，對(duì)于是否有其他角，其他的結(jié)果，無從知曉，方法不得當(dāng).
問題2：∵-α++α=，
∴==tan-α=.
問題3：tan-α+tan+α=tan-α+tan2π--α=tan-α-tan-α=0.
新知運(yùn)用
例2　【解析】(1)原式=
===2+.
(2)tan 1 095°=tan(1 080°+15°)=tan 15°=2-，
tan 975°=tan(720°+255°)=tan(180°+75°)=tan 75°
===2+，
tan(-195°)=-tan 195°=-tan 15°=-(2-).
∴原式=2×(2-)+2+-(2-)=4.
鞏固訓(xùn)練1　【解析】因?yàn)榻铅鹊慕K邊上有一點(diǎn)P(1，2)，
所以tan θ=2，所以==tan2θ=.
鞏固訓(xùn)練2　【解析】由+α=2π--α，得tan+α=tan2π--α=-tan-α=-.
探究3　情境設(shè)置
問題1：求含有正切函數(shù)關(guān)系式的某個(gè)函數(shù)的定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)值存在的條件.求值域時(shí)，不要忽視這個(gè)函數(shù)的定義域.
問題2：
新知運(yùn)用
例3　【解析】原式=
==-cos α.
變式設(shè)問　提示　因?yàn)閠an(3π-α)=tan(-α)=-tan α=，
所以原式=
==-tan α=.
鞏固訓(xùn)練　C　【解析】因?yàn)閟inα+=cos α，cosα-=cosπ+-α=-sin α，tan-α==，所以原式=cos α·(-sin α)·=-cos2α.
探究4
例4　【解析】左邊=
==1=右邊，
所以等式成立.
鞏固訓(xùn)練　【解析】左邊=
=
=tan α=右邊，
所以等式成立.
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.C　【解析】tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=-.
2.D　【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，-1)，所以tan α=-，
所以===-3.
3.-　【解析】原式==-=-.
4.【解析】(1)依題意可知，在Rt△AOB中，OA=3，OB=2，則AB==，tan∠AOB==，
而由圖可知，∠AOB+α=π，
故tan α=tan(π-∠AOB)=-tan∠AOB=-.
(2)因?yàn)閠an α=-，sinα-=sinα-+2π=sinα+=cos α，sin(π+α)=-sin α，cos(α+5π)=cos(α+π)=-cos α，
所以原式==-2+tan α=-2-.

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