資源簡介

1.8 三角函數的簡單應用
【學習目標】
1.會用三角函數解決一些簡單的實際問題.(數學建模)
2.體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型.(直觀想象)
【自主預習】
1.函數y=Asin(ωx+φ)+B是不是周期函數
2.現實世界中的周期現象可以用哪種數學模型描述
3.在建模過程中，怎樣判斷是用正弦函數模型還是用余弦函數模型
4.生活中有哪些事物的變化規律符合三角函數的特征
1.函數y=3sinx-的初相為　　　　.
2.某人的血壓滿足函數式f(t)=24sin 160πt+110，其中f(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時間(單位：min)，則此人每分鐘心跳的次數為　　　　.
3.電流I(單位：A)隨時間t(單位：s)變化的關系式是I=5sin100πt+，則當t=時，電流為　　　A.
4.如圖，這是某簡諧運動的圖象，則這個簡諧運動需要　　　　s往返一次.
【合作探究】
　三角函數在物理中的應用
　　一個彈簧振子做簡諧運動，在完成一次振動過程中，將時間t(單位：s)與位移y(單位：mm)之間對應數據繪成簡圖，如圖所示.
若用函數y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)來刻畫位移y隨時間t變化的規律.
問題1：你能寫出該函數的解析式嗎
問題2：函數y=Asin(ωx+φ)中的參數A，ω，φ對其圖象有怎樣的影響
函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)中各參數的物理意義如下：
(1)A是簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；
(2)簡諧運動的周期T=，它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；
(3)簡諧運動的頻率由公式f==給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；
(4)ωx+φ稱為相位；
(5)x=0時的相位φ稱為初相.
一個簡諧運動的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是(　　).
A.該質點的振動周期為0.7 s
B.該質點的振幅為-5 cm
C.該質點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大
D.該質點在0.3 s和0.7 s時的加速度為零
【方法總結】處理物理學問題的策略
(1)常涉及的物理學問題有彈簧振子、光波、擺鐘、機械波等，其共同的特點是具有周期性.
(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，當小球來回擺動時，離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數關系是s=6sin2πt+.
(1)畫出它的圖象.
(2)回答以下問題：
①當小球開始擺動(即t=0)時，離開平衡位置的距離是多少
②當小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少
③小球來回擺動一次需要多少時間
　三角函數模型在實際問題中的應用
　　如圖，某地夏天8-14時用電量變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+bA>0，ω>0，0<φ<.
問題1：8-14時的最大用電量為多少萬千瓦時 最小用電量為多少萬千瓦時
問題2：這段曲線的函數解析式是什么
解三角函數應用問題的基本步驟
摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色(如圖1).某摩天輪的最高點距離地面90米，最低點距離地面10米，摩天輪上均勻設置了36個座艙(如圖2).開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙.已知摩天輪轉一周需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時.
(1)經過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數關系式滿足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)，求摩天輪轉動一周的解析式H(t).
(2)若游客甲乘坐摩天輪轉動一周，求經過多長時間，游客甲距離地面的高度恰好為30米
通常情況下，同一地區一天的溫度隨時間變化的曲線接近函數y=Asin(ωx+φ)+b的圖象.某年2月下旬某地區連續幾天最高溫度都出現在14時，最高溫度為14 ℃；最低溫度出現在凌晨2時，最低溫度為零下2 ℃.
(1)求出該地區該時段的溫度函數y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表達式.
(2)2月27日上午9時該地區某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10 ℃，教室就要開空調，請問屆時學校后勤應該開空調嗎
　數據擬合建立三角函數模型
　　已知某海濱浴場海浪的高度y(單位：米)是時間t(單位：時)(0≤t≤24)的函數，下表是某日各時的浪高數據：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
問題1：畫出散點圖，根據以上數據的變化，用哪個函數來近似描述y與t的函數關系比較合適
問題2：根據以上數據，怎樣求解函數解析式
問題3：依據規定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動
擬合函數模型的主要類型
擬合模型是通過對有關變量的觀測數據進行觀察、分析和選擇恰當的數學表達式而得到的，它的實質是數據擬合的精度和數學表達式簡化程度間的折中，擬合模型的主要類型如下：
(1)經驗模型：主要探討變量間的內在規律，允許出現一定的誤差，模型將側重于選擇規律簡單的數學表達式，在簡單的數學表達式中選擇擬合效果好的.(2)插值模型：此模型以擬合效果為主，要求精確地擬合觀測數據，即在觀測點之間插入適當的數值.
在某5A級景區內一家專門為游客提供住宿的客棧中，工作人員發現，有些月份為游客準備的食物剩余不少，浪費很嚴重.為了控制經營成本，減少浪費，計劃適時調整投入.為此他們統計每個月入住的游客人數，發現每年各個月份來客棧入住的游客人數呈周期性變化，并且有以下規律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數基本相同；②入住客棧的游客人數在2月份最少，在8月份最多，相差約400；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增，在8月份達到最多.
(1)試用一個正弦型三角函數描述一年中入住客棧的游客人數與月份之間的關系.
(2)請問客棧在哪幾個月份要準備400份以上的食物
一物體相對于某一固定位置的位移y(單位：cm)和時間t(單位：s)之間的一組對應值如下表所示，則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關系的一個三角函數式為　　　　.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0 2.8 4.0 2.8 0 -2.8 -4.0
　簡諧運動中的三角函數模型
如圖所示，彈簧掛著的小球做上下運動，時間t(單位：s)與小球相對平衡位置(即靜止時的位置)的高度h(單位：cm)之間的函數關系式是h=2sin2t+，t∈[0，+∞).
(1)以t為橫坐標，h為縱坐標，畫出該函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖.
(2)小球開始振動的位置在哪里
(3)小球什么時候到達最高點、最低點的位置 最高點、最低點距平衡位置的距離分別是多少
【方法總結】注意簡諧運動中自變量的取值范圍為[0，+∞).
正確理解并識記簡諧運動周期、頻率、振幅的概念以及實際意義是解題的關鍵.
在兩個彈簧上各掛一個質量分別為M1和M2的小球，它們做上下自由振動.已知它們在時間t(單位：s)時離開平衡位置的位移s1(單位：cm)和s2(單位：cm)分別由下列兩式確定：s1=5sin2t+，s2=5cos2t-.當時間t=時，s1與s2的大小關系是(　　).
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能確定
【隨堂檢測】
1.一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖如圖所示，經過周期后，乙的位置將移至(　　).
A.x軸上 B.最低點 C.最高點 D.不確定
2.如圖，某港口一天6—18 h的水深變化曲線近似滿足函數y=3sinx+φ+k.據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　).
A.5 B.6 C.8 D.10
3.一根長l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數關系式為s=3cost+，其中g是重力加速度，當小球擺動的周期是1 s時，線長l=　　　　cm.
4.已知某地一天4~16時的溫度變化曲線近似滿足函數y=10sinx-+20，x∈[4，16].
(1)求該地這一段時間內的最大溫差；
(2)若有一種細菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時間內，該細菌最多能生存多長時間
參考答案
1.8 三角函數的簡單應用
自主預習·悟新知
預學憶思
1.是周期函數.
2.三角函數模型.
3.根據變量和對應值的變化特征來判斷.
4.彈簧的伸縮運動，摩天輪的旋轉，鐘擺運動等.
自學檢測
1.-
2.80　【解析】由題意可得周期為T==，故頻率f==80，即此人每分鐘心跳的次數為80.
3.　【解析】將t=代入關系式，得I=5sin+=5cos=.
4.0.8　【解析】觀察題圖可知，此簡諧運動的周期T=0.8，所以這個簡諧運動需要0.8 s往返一次.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：由圖可知ω==，A=20.
當t=0時，y=20sin φ=-20，又|φ|<π，所以φ=-，
故y=20sint-.
問題2：A影響函數的最值，ω影響函數圖象的周期，φ決定函數圖象的具體位置.
新知運用
例1　D　【解析】由圖象及簡諧運動的有關知識知T=0.8 s，A=5 cm，當t=0.1 s及t=0.5 s時，v=0，故排除選項A，B，C.
鞏固訓練　【解析】(1)周期T==1(s).列表：
t 0 1
2πt+ π 2π
6sin2πt+ 3 6 0 -6 0 3
描點畫圖：
(2)①當小球開始擺動(t=0)時，離開平衡位置的距離為3 cm.
②當小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是6 cm.
③小球來回擺動一次需要1 s.
探究2　情境設置
問題1：由圖象得最大用電量為50萬千瓦時，最小用電量為30萬千瓦時.
問題2：觀察圖象可知，從8-14時的圖象是y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象，
∴A=×(50-30)=10，b=×(50+30)=40，T=2×(14-8)=12，
∴ω==，
∴y=10sinx+φ+40.
將x=8，y=30代入上式，又0<φ<，解得φ=，
∴所求解析式為y=10sinx++40，x∈[8，14].
新知運用
例2　【解析】(1)∵H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)，
∴解得
又T==30，解得ω=，
∴H(t)=40sint+φ+50.
∵H(0)=10，∴sin φ=-1，
又∵|φ|≤π，∴φ=-，
∴H(t)=40sint-+50=-40cos t+50.
故摩天輪轉動一周的解析式H(t)=-40cos t+50，t∈[0，30].
(2)令H(t)=30，則-cos t=-，即cos t=，
∵t∈[0，30]，∴t∈[0，2π]，
∴t=或t=，解得t=5或t=25.
故游客甲坐上摩天輪5分鐘時和25分鐘時，距離地面的高度恰好為30米.
鞏固訓練　【解析】(1)由題意知解得易知=14-2，所以T=24，所以ω=，易知8sin×2+φ+6=-2，即sin×2+φ=-1，故×2+φ=-+2kπ，k∈Z，又|φ|<π，得φ=-，所以y=8sinx-+6(x∈[0，24)).
(2)當x=9時，y=8sin×9-+6=8sin+6<8sin+6=10，
所以屆時學校后勤應該開空調.
探究3　情境設置
問題1：以時間為橫坐標，高度為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖，如圖所示.根據散點圖，可考慮用函數y=Acos ωt+b刻畫y與t的函數關系.
問題2：由表中數據，知最小正周期T=12，∴ω===.
由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，
由t=3，y=1.0，得b=1，
∴A=0.5，b=1，∴y=cost+1.
問題3：由題知，當y>1時才可對沖浪者開放，
∴cost+1>1，∴cost>0，∴2kπ-∵0≤t≤24，∴k可取0，1，2，得0≤t<3或9∴在規定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時可供沖浪者運動，即上午9：00至15：00對沖浪者開放.
新知運用
例3　【解析】(1)設該函數為f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<π)，其中x=1，2，…，12.
根據①可知這個函數的周期是12；
由②可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)-f(2)=400，故該函數的振幅為200；
由③可知f(x)在[2，8]上單調遞增，且f(2)=100，f(8)=500.
根據上述分析可得=12，故ω=，
A=200，B=500-200=300.
當x=2時，f(x)最小，當x=8時，f(x)最大，
故sin2×+φ=-1，且sin8×+φ=1.
又|φ|<π，故φ=-.
所以入住客棧的游客人數與月份之間的函數關系式為f(x)=200sinx-+300(x=1，2，…，12).
(2)由條件，可知200sinx-+300≥400，化簡得sinx-≥，
即2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，
解得12k+6≤x≤12k+10，k∈Z.
因為x∈N*，且1≤x≤12，所以x=6，7，8，9，10.
即客棧在6，7，8，9，10月份要準備400份以上的食物.
鞏固訓練　y=-4cost　【解析】設y=Asin(ωt+φ)ω>0，|φ|≤，則從表中可以得到A=4，T=0.8，ω===.
又由4sin φ=-4.0，可得sin φ=-1，可取φ=-，故y=4sint-，即y=-4cost.
探究4
例4　【解析】(1)畫出函數h=2sin2t+(t≥0)的簡圖(長度為一個周期).
①列表：
2t+ 0 π 2π
t -
2sin2t+ 0 2 0 -2 0
②描點.
③連線，用平滑曲線依次連接各點，又t≥0，所以向右平移區間-，0上的圖象，使其落在區間，π上，即得函數h=2sin2t+的簡圖，如圖所示.
(2)當t=0時，h=2sin2t+=，即小球開始振動時在距平衡位置 cm的上方位置.
(3)當t=+kπ(k∈N)時，h=2；t=+kπ(k∈N)時，h=-2.即當t=+kπ(k∈N)時，小球到達最高點位置，當t=+kπ(k∈N)時，小球到達最低點位置.最高點、最低點各自到平衡位置的距離均為2 cm.
鞏固訓練　C　【解析】當t=時，s1=-5，s2=-5，∴s1=s2.故選C.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】相鄰的最大值與最小值之間間隔半個周期，故乙移至最高點.
2.C　【解析】根據圖象得函數的最小值為2，所以-3+k=2，得k=5，所以水深的最大值為3+k=8.
3.　【解析】由已知得=1，所以=2π，即=4π2，解得l=.
4.【解析】(1)當x=14時函數取得最大值，此時最高溫度為30 ℃；當x=6時函數取得最小值，此時最低溫度為10 ℃.所以最大溫差為30 ℃-10 ℃=20 ℃.
(2)令10sinx-+20=15，得sinx-=-，而x∈[4，16]，所以x=.
令10sinx-+20=25，得sinx-=，
而x∈[4，16]，所以x=.
故該細菌能存活的最長時間為-=小時.

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