資源簡介

2.1 從位移、速度、力到向量
【學習目標】
1.了解位移、速度和力等向量的實際背景，初步認識現實生活中向量與數量的區別.(數學抽象)
2.理解向量的有關概念及向量的幾何表示.(數學抽象)
3.理解共線向量、相等向量、向量夾角的概念.(直觀想象)
【自主預習】
1.在日常生活中有很多量，如面積、質量、速度、位移等，這些量有什么區別
2.對既有大小又有方向的量，如何形象、直觀地表示出來
3.“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對嗎
4.向量的模可以為0嗎 可以為1嗎 可以為負數嗎
5.(1)平行向量是否一定方向相同 (2)不相等的向量是否一定不平行 (3)與任意向量都平行的向量是什么向量 (4)若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果||>||，那么>. (　　)
(2)若a，b都是單位向量，則a=b. (　　)
(3)力、速度和質量都是向量. (　　)
(4)零向量的大小為0，沒有方向. (　　)
2.下列說法中，正確的有(　　)個.
①零向量沒有方向；
②向量的模一定是正數；
③與非零向量a共線的單位向量是唯一的.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.設O為△ABC外接圓的圓心，則，，是(　　).
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起點相同的向量
4.已知A，B，C是不共線的三點，向量m與向量是平行向量，與是共線向量，則m=　　　　.
【合作探究】
　向量的概念
問題1：請觀察這三個物理中的量，它們有什么區別
問題2：在數學中，將以上兩類物理量進行抽象得到數量和向量，請你試著給出這兩個量的定義.
問題3：說一說向量與數量的區別與聯系.
向量與數量
(1)向量：在數學中，我們把既有 又有 的量叫作向量.
(2)數量：把只有 沒有 的量稱為數量.如年齡、身高、長度、面積、體積、質量等都是數量.
有下列說法：
①位移和速度都是向量；
②實數可以比較大小，向量也可以比較大小；
③因為溫度含零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量；
④向量就是有向線段.
其中，正確說法的個數是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
給出下列物理量：①密度；②時間；③彈力；④動摩擦因數；⑤功；⑥加速度.下列說法正確的是(　　).
A.①②③是數量，④⑤⑥是向量
B.②④⑥是數量，①③⑤是向量
C.①④是數量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是數量，③⑥是向量
　向量的幾何表示
問題1：如何表示向量呢 你是怎么想到的
問題2：線段AB與線段BA是同一條線段，向量與向量是同一個向量嗎
問題3：說一說向量和有向線段的關系是什么
問題4：我們知道向量是一個二元概念，它的大小如何表示呢
1.具有 的線段叫作有向線段.通常在有向線段的終點畫上箭頭表示它的方向.它包含三個要素： 、 、 .
2.向量的大小又稱為向量的模，記作 .長度為0的向量叫作零向量，記作0.模等于 個單位長度的向量叫作單位向量.向量也可以用黑斜體小寫字母a，b，c，…或，，，…(書寫)來表示.
一輛汽車從點A出發向西行駛了100千米到達點B，然后改變方向，向西偏北50°方向行駛了200千米到達點C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達點D.請作出向量，，.
【方法總結】準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據向量的大小確定向量的終點.
已知飛機從A地向北偏東30°方向飛行2 000 km到達B地，再從B地向南偏東30°方向飛行2 000 km到達C地，再從C地向西南方向飛行1 000 km到達D地.
(1)作出向量，，，.
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多遠
　相等向量與共線向量
小明沿著籃球場的邊緣，從A點走到B點，又從B點走到A點.
問題1：上述問題中，向量和向量相等嗎 它們共線嗎
問題2：向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎
問題3：若a∥b，b∥c，則一定有a∥c嗎
1.相等向量：長度 且方向 的向量叫作相等向量.
向量a與b相等，記作 .
2.共線向量：方向 的兩個非零向量稱為共線向量或平行向量.
向量a，b平行，記作a∥b.
3.若兩個向量的長度相等、方向相反，則稱它們互為相反向量.向量a的相反向量記為 .零向量的相反向量仍是零向量.
4.規定零向量與任一向量共線，即對于任意的向量a，都有0∥a.
5.兩向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作=a，=b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a與b的夾角.
(2)特例：①當θ=0時，向量a，b ；
②當θ=π時，向量a，b ；
③當θ=時，向量a，b ，記作a⊥b.
規定零向量與任一向量垂直，即對于任意的向量a，都有0⊥a.
如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F，D分別是AC，AB，BC的中點.
(1)寫出與共線的向量，并指出哪些向量是的相反向量；
(2)寫出模與的模相等的向量；
(3)寫出與相等的向量.
【方法總結】相等向量與共線向量的探求方法
(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線.
(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.
如圖所示，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形.
(1)找出與向量共線的向量；
(2)找出與向量相等的向量；
(3)若∠E=45°，求向量和的夾角.
　向量與數量有關概念的辨識
下列說法正確的是(　　).
A.若|a|>|b|，則a>b
B.若|a|=|b|，則a=b
C.若a=b，則a與b共線
D.若a≠b，則a一定不與b共線
【方法總結】向量與數量的區別在于向量有方向而數量沒有方向；向量與向量模的區別在于向量的模是指向量的長度，是數量，可以比較大小，但向量不能比較大小.平行向量即共線向量，但共線的向量不一定就在同一條直線上，也未必是相等的向量.
有下面幾個結論：
①若a=b，則|a|=|b|；
②若|a|=0，則a=0；
③若|a|=|b|，則a=b；
④若向量a，b滿足則a=b.
其中正確結論的個數是(　　).
A.0 B.1
C.2 D.3
【隨堂檢測】
1.下列說法正確的是(　　).
A.零向量沒有大小，沒有方向
B.零向量是唯一沒有方向的向量
C.零向量的長度為0
D.任意兩個單位向量方向相同
2.(多選題)下列說法錯誤的有(　　).
A.共線的兩個單位向量相等
B.相等向量的起點相同
C.若∥，則一定有直線AB∥CD
D.若向量，共線，則點A，B，C，D可能不在同一直線上
3.設O是正方形ABCD的中心，則向量，，，是(　　).
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起點的向量 D.模相等的向量
4.如圖所示，小正方形的邊長為1，則||=　　　　，||=　　　　，||=　　　　.
參考答案
§1　從位移、速度、力到向量
自主預習·悟新知
預學憶思
1.面積、質量只有大小，沒有方向；而速度和位移既有大小又有方向.
2.利用有向線段來表示.
3.錯誤.理由：①向量只有長度和方向兩個要素，與起點無關，只要長度和方向相同就是相同的向量；②有向線段有起點、長度和方向三個要素，起點不同，盡管長度和方向相同，也是不同的有向線段.
4.向量的模可以為0，也可以為1，但不可以為負數.
5.(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共線)向量.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.A　【解析】①錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的；②錯誤，|0|=0；③錯誤，與非零向量a共線的單位向量有兩個，一個與a同向，一個與a反向.故選A.
3.C　【解析】根據圓的性質可知，，是模相等的向量.故選C.
4.0　【解析】因為A，B，C三點不共線，所以與不共線，又因為m∥且m∥，所以m=0.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：質量是標量，只有大小沒有方向；重力、力是矢量，既有大小又有方向.
問題2：數量：只有大小沒有方向的量叫作數量.
向量：既有大小又有方向的量叫作向量.
問題3：向量的兩個要素：大小、方向.數量的一個要素：大小.
向量的大小是數量.
新知生成
(1)大小　方向　(2)大小　方向
新知運用
例1　A　【解析】對于①，因為位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它們是向量，故①正確；對于②，數量可以比較大小，但向量是矢量，不能比較大小，故②錯誤；對于③，溫度是數量，沒有方向，故③錯誤；對于④，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，故④錯誤.
鞏固訓練　D　【解析】由物理知識可知，密度、時間、動摩擦因數、功只有大小，沒有方向，因此是數量.而彈力、加速度既有大小又有方向，因此是向量.
探究2　情境設置
問題1：向量可以用一條帶著箭頭的線段表示，是從物理中位移的表示抽象出來的.
問題2：不是同一個向量，因為起點不同，方向不同.
問題3：它們都是既有大小又有方向的量，有向線段不等同向量.有向線段的基本要素是起點、方向和長度；向量的基本要素是大小和方向.我們用有向線段表示向量，用有向線段的方向表示向量的方向，用有向線段的長度表示向量的大小，向量與起點的具體位置無關.
問題4：可以用有向線段的長度表示.
新知生成
1.方向和長度　起點　方向　長度
2.||　1
新知運用
例2　【解析】作出向量如圖所示.
鞏固訓練　【解析】(1)向量，，，如圖所示.
(2)由圖知，D地在A地的東南方向，距A地1 000 km.
探究3　情境設置
問題1：因為向量和向量方向不同，所以二者不相等.因為表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線.
問題2：不相同，由相等向量的定義可知，向量可以任意移動.因為任意一組平行向量都可以移動到同一直線上，所以平行向量也叫作共線向量.因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合.
問題3：不一定.因為當b=0時，a，c可以是任意向量.
新知生成
1.相等　相同　a=b
2.相同或相反
3.-a
5.(2)①同向　②反向　③垂直
新知運用
例3　【解析】(1)因為E，F分別是AC，AB的中點，
所以EF∥BC，EF=BC.
又因為D是BC的中點，
所以與共線的向量有，，，，，，，其中，，是的相反向量.
(2)模與的模相等的向量有，，，，.
(3)與相等的向量有，.
鞏固訓練　【解析】(1)依據圖形可知，，與方向相同，，，，與方向相反，所以與向量共線的向量為，，，，，，.
(2)由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形，知，與長度相等且方向相同，所以與向量相等的向量為和.
(3)由已知可得AB∥EC，所以∠E與∠EAB互補，而和的夾角與∠EAB也互補，故向量和的夾角為45°.
探究4
例4　C　【解析】A中，向量不能比較大小，A錯誤；B中，a與b的方向不確定，不能得出a=b，B錯誤；D中，a≠b，a可與b共線，D錯誤.故選C.
鞏固訓練　B　【解析】①正確；②錯誤，若|a|=0，則a=0；③錯誤，a與b的方向不一定相同；④錯誤，a與b的方向有可能相反.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】零向量的長度為0，方向是任意的，故A，B錯誤，C正確.任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，故D錯誤.
2.ABC　【解析】A錯誤，共線的兩個單位向量的方向可能相反；B錯誤，相等向量的起點和終點都可能不相同；C錯誤，直線AB與CD可能重合；D正確，AB與CD可能平行，則A，B，C，D四點不共線.
3.D　【解析】
如圖，，，，既不全是相等向量，也不全是平行向量，起點也不全相同，故A，B，C錯誤；
而||=||=||=||，故D正確.
故選D.
4.3　　2　【解析】由題意可知，||==3，
||==，
||==2.

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