資源簡介

2.2.1 向量的加法
【學習目標】
1.理解并掌握向量加法的概念.(數學抽象)
2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.(數學運算)
3.了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性.(直觀想象)
【自主預習】
1.使用向量加法的三角形法則具體做法是什么
2.(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立嗎
3.當向量a與b共線時，a+b=b+a仍然成立嗎
4.|a+b|與|a|和|b|之間的大小關系如何
5.向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區別與聯系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)a+0=a. (　　)
(2)|a+b|=|a|+|b|. (　　)
(3)a+b=b+a. (　　)
(4)=++. (　　)
2.化簡：++=(　　).
A. B.
C. D.
3.在四邊形ABCD中，=+，則(　　).
A.四邊形ABCD一定是矩形
B.四邊形ABCD一定是菱形
C.四邊形ABCD一定是正方形
D.四邊形ABCD一定是平行四邊形
4.已知向量a表示“向東航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，則a+b表示　　　　.
【合作探究】
　向量的加法及幾何意義
如圖，某質點從點A經過點B到點C.
問題1：上述這個質點的位移可以怎么表示
問題2：兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎
1.向量加法的平行四邊形法則
已知兩個不共線的向量a，b，如圖，在平面內任取一點A，作有向線段=a，=b，以有向線段和為鄰邊作 ABCD，則有向線段表示的向量即為向量a與b的和，記作a+b.這種求兩個向量和的作圖方法稱為向量加法的 法則.
秘訣：起點相同，過起點的對角線為和.
2.向量加法的三角形法則
已知非零向量a和b，如圖，在平面內任取一點A，作有向線段=a，以有向線段的終點為起點，作有向線段=b，則有向線段表示的向量即為向量a與b的和，記作a+b，即a+b=+=.這種求兩個向量和的作圖方法稱為向量加法的三角形法則.
秘訣：首尾相連首尾連.
3.向量求和的多邊形法則
(1)已知n個向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即為這n個向量的和，這稱為向量求和的多邊形法則，即+++…++=.
(2)首尾順次相接的若干向量求和，若構成一個封閉圖形，則它們的和為0.
4.對于零向量與任一向量a，規定：0+a=a+0=a.
特別提醒：(1)利用三角形法則時，要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量；利用平行四邊形法則時，要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量.
(2)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的.
(3)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.
(1)如圖①，利用向量加法的三角形法則作出a+b；
(2)如圖②，利用向量加法的平行四邊形法則作出a+b.
【方法總結】應用三角形法則和平行四邊形法則應注意的問題
(1)三角形法則可以推廣到n個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即n個首尾相連的向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第n個向量的終點的向量；
(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合；
(3)求作三個或三個以上的向量的和時，用三角形法則更簡單.
如圖所示，已知向量a，b，c不共線，作向量a+b+c.
　向量模的三角形法則
如圖所示.
問題1：求作向量a+b.
問題2：根據向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，結合問題1，你能發現|a+b|，|a|，|b|之間的關系嗎
一般地，我們有|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當a，b方向相同時，等號成立.
若||=8，||=5，則||的取值范圍是(　　).
A.[3，8] B.(3，8) C.[3，13] D.(3，13)
【方法總結】向量|a+b|，|a|，|b|之間的關系
當a和b反向或不共線時，|a+b|<|a|+|b|；當a和b同向時，|a+b|=|a|+|b|.所以|a+b|≤|a|+|b|.
若|a|=|b|=1，則|a+b|的最大值為　　　　.
　向量加法的運算律
實數的加法滿足交換律，向量的加法是否也滿足呢
問題：根據圖中的平行四邊形ABCD，驗證向量加法是否滿足交換律.(注：=a，=b)
向量加法的運算律
(1)交換律：a+b=b+a.
(2)結合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
注意：由于向量的加法滿足交換律與結合律，因此，多個向量的加法運算就可以按照任意的次序與組合來進行.例如，(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c)=(a+d)+(b+c).
化簡：
(1)+；
(2)++；
(3)++++.
【方法總結】多個向量求和的原則：利用代數方法，通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：
(1)++；
(2)+++.
　向量加法的應用
一架飛機從A地向北偏東35°方向飛行800 km到達B地放下物資，然后又從B地向南偏東55°方向飛行800 km到達C地執行新任務，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和.
【方法總結】向量加法應用的關鍵及技巧
(1)三個關鍵：一是搞清構成平面圖形的向量間的相互關系；二是熟練找出圖形中的相等向量；三是能根據三角形法則或平行四邊形法則作出向量的和向量.
(2)應用技巧：①準確畫出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉化為向量；②將所求問題轉化為向量的加法運算，進而利用向量加法的幾何意義進行求解.
如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B處所受力的大小.(繩子的重量忽略不計)
【隨堂檢測】
1.在正六邊形ABCDEF中，++=(　　).
A. B. C. D.0
2.(多選題)已知a，b為非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，則(　　).
A.a∥b，且a與b的方向相同
B.a，b是共線向量
C.a=-b
D.a，b無論什么關系均可
3.(多選題)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運算結果是的為(　　).
A.++
B.++
C.++
D.++
4.某小船發動機突然發生故障停止轉動，失去動力的小船在水中漂行，此時，風向是北偏東30°，風速大小是30 km/h，水的流向是正東方向，流速大小是30 km/h.若不考慮其他因素，小船在水中漂行的速度的方向是北偏東　　　　，大小是　　　　km/h.
參考答案
§2　從位移的合成到向量的加減法
課時1　向量的加法
自主預習·悟新知
預學憶思
1.先把兩個向量首尾順次相接，然后連接第一個向量的始點和后一個向量的終點，并指向后一個向量的終點，就得到兩個向量的和向量.
2.成立.
3.成立.
4.當a與b同向共線時，a+b與a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|.當a與b反向共線時，若|a|>|b|，則a+b與a的方向相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，則a+b與b的方向相同，且|a+b|=|b|-|a|.當a與b不共線時，|a+b|<|a|+|b|.
5.向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別：①三角形法則中強調“首尾相連”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.聯系：當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　【解析】根據平面向量的加法運算，得++=(+)+=+=.
3.D　【解析】由=+知，=，所以A，B，C，D四點構成的四邊形一定是平行四邊形.
4.向東南航行3 km　【解析】由向量a表示“向東航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，得a+b表示“向東南航行3 km.”
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：從運算的角度看，可以認為是與的和，即=+.
問題2：不是，向量的相加滿足三角形法則，而模相加是數量的加法.
新知生成
1.平行四邊形
新知運用
例1　【解析】(1)如圖③，設=a，因為a與b有公共點A，所以過點A作=b，連接，即得a+b.
(2)如圖④，設=a，過點O作=b，則以OA，OB為鄰邊作 OACB，連接OC，則=+=a+b.
鞏固訓練　【解析】(法一：三角形法則)如圖①，在平面內作=a，=b，則=a+b，再作=c，則=a+b+c.
(法二：平行四邊形法則)如圖②，在平面內作=a，=b，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則=a+b，再作=c，以OD，OC為鄰邊作平行四邊形ODEC，則=a+b+c.
探究2　情境設置
問題1：首先作向量=a，然后作向量=b，則向量=a+b.如圖所示.
問題2：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
新知運用
例2　C　【解析】如圖，當點A，B，C不共線時，|，||，||為三角形的三邊，由三邊關系可得8-5<||<8+5，即3<||<13.
當點A，B，C共線且與同向時，||=8-5=3；
當，反向時，||=8+5=13.
故選C.
鞏固訓練　2　【解析】由|a+b|≤|a|+|b|知，|a+b|的最大值為2.
探究3　情境設置
問題：∵=+，
∴=a+b.
∵=+，∴=b+a，∴a+b=b+a.
故向量加法滿足交換律.
新知運用
例3　【解析】(1)+=+=.
(2)++=++
=+=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
鞏固訓練　【解析】(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
探究4
例4　【解析】如圖，設，分別表示飛機從A地向北偏東35°方向飛行800 km，從B地向南偏東55°方向飛行800 km，則飛機飛行的路程指的是||+||，兩次飛行的位移的和指的是+=.
依題意，有||+||=800+800=1 600(km).
因為α=35°，β=55°，所以∠ABC=35°+55°=90°，
所以||==
=800(km)，
其中∠BAC=45°，
所以的方向為北偏東35°+45°=80°.
從而飛機飛行的路程是1 600 km，兩次飛行的位移和的大小為800 km，方向為北偏東80°.
鞏固訓練　【解析】如圖所示，設，分別表示A，B處所受的力，10 N的重力用表示，則+=.
由題意可得∠ECG=180°-150°=30°，∠FCG=180°-120°=60°.
∴||=||cos 30°=10×=5，
||=||cos 60°=10×=5.
∴A處所受的力為5 N，B處所受的力為5 N.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】如
圖，連接AD，BE，設AD與BE交于點O，則=，=，
所以++=++=+=0.
故選D.
2.AB　【解析】當兩個非零向量a與b不共線時，a+b的方向與a，b的方向都不相同，則|a+b|<|a|+|b|；當向量a與b同向時，a+b的方向與a，b的方向都相同，則|a+b|=|a|+|b|；當向量a與b反向且|a|<|b|時，a+b的方向與b的方向相同(與a的方向相反)，則|a+b|=|b|-|a|.故選AB.
3.ABC　【解析】選項A中，++=+=；
選項B中，++=+(+)=+=；
選項C中，++=+=；
選項D中，++=+(+)=+≠.
故選ABC.
4.60°　30　【解析】如圖，風速大小是30 km/h，即||=30，
水的流速大小是30 km/h，即||=30，則小船速度的大小為||.
由題意可知，四邊形OACB為菱形，且∠AOB=60°，
所以∠BOC=30°，
所以小船在水中漂行的速度的方向是北偏東60°，大小為30 km/h.

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