資源簡介

2.2.2 向量的減法
【學習目標】
1.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量減法的意義.(數學抽象)
2.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算.(數學運算)
3.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.(邏輯推理)
【自主預習】
1.實數a的相反數為-a，向量a與-a的關系應叫作什么
2.向量的減法可否轉化為向量的加法
3.向量減法的三角形法則是什么
4.若a，b是不共線向量，|a+b|與|a-b|的幾何意義分別是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. (　　)
(2)向量與是相反向量. (　　)
(3)a-b=b-a. (　　)
(4)兩個相等向量之差等于0. (　　)
2.化簡-++的結果是(　　).
A. B. C. D.
3.(多選題)下列各向量運算的結果與相等的有(　　).
A.+ B.- C.- D.-
4.如圖，已知向量a和向量b，用三角形法則作出a-b+a.
【合作探究】
　向量的減法
如圖所示，已知向量a，b.
問題1：根據向量的加法，如何求作a-b
問題2：不借助向量的加法法則，你能直接作出a-b嗎
問題3：在什么條件下，|a-b|=|a|+|b|
1.(1)定義：求兩個向量差的運算叫作向量的減法.
(2)向量的減法可以轉化為向量的加法進行：減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量，即a-b=a+(-b).
2.幾何意義：如圖所示，已知向量a，b，在平面內任取一點O，作=a，=b，則=a-b，即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義.
一、向量減法的作圖
如圖所示，已知向量a，b，c，求作向量a+b-c.
【方法總結】求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可.
(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.
二、向量減法的運算
(1)如圖所示，
①用a，b表示；
②用b，c表示.
(2)化簡：(-)-(-).
【方法總結】向量減法運算的常用方法
如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點，且=，則化簡+--的結果為(　　).
A.0
B.
C.
D.
化簡：(-)+(-)=　　　　.
如圖所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
　向量加減法的綜合運用
已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點，且向量，，，滿足+=+，則四邊形ABCD的形狀為　　　　.
【方法總結】用向量法判斷四邊形形狀的方法
(1)利用向量證明線段平行且相等，從而證明四邊形為平行四邊形，只需證明對應有向線段所表示的向量相等即可.
(2)根據圖形靈活應用向量的運算法則，找到向量之間的關系是解決此類問題的關鍵.
在四邊形ABCD中，=，若|-|=|-|，則四邊形ABCD是(　　).
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不確定
【隨堂檢測】
1.在平行四邊形ABCD中，-=(　　).
A. B.
C. D.
2.在邊長為1的正△ABC中，|-|的值為(　　).
A.1 B.2
C. D.
3.已知在四邊形ABCD中，-=-，則四邊形ABCD一定是(　　).
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.化簡下列各式：
(1)-+-；
(2)(-)+(-).
參考答案
課時2　向量的減法
自主預習·悟新知
預學憶思
1.相反向量.
2.可以.向量的減法可以轉化為向量的加法，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.
3.如
果把兩個向量a，b的起點放在一起，那么這兩個向量的差a-b是以向量b的終點為起點，向量a的終點為終點的向量.
這種求差向量的方法叫向量減法的三角形法則，簡記為“共起點，連終點，指被減”.
4.如
圖所示，設=a，=b.根據向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則，有=a+b，=a-b.因為四邊形OACB是平行四邊形，所以|a+b|，|a-b|分別是以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】原式=(+)+(+)=+0=.
3.AD　【解析】由題意知，AD正確.
4.【解析】如圖所示，作向量=a，=b，則向量=a-b，
作向量=a，則=a-b+a.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：先作出-b，再按三角形法則或平行四邊形法則作出a+(-b).
問題2：
能.如圖，在平面內任取一點O，作=a，=b，則=a-b，即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
問題3：當a，b至少有一者為0或a，b均為非零向量且反向時，結論成立.
新知運用
例1　【解析】(法一：幾何意義法)如圖①所示，在平面內任取一點O，作=a，=b，則=a+b，再作=c，則=a+b-c.
(法二：定義法)如圖②所示，在平面內任取一點O，作=a，=b，則=a+b，再作=-c，連接OC，則=a+b-c.
例2　【解析】(1)由題圖可知=a，=b，=c.
①=-=--=-a-b.
②=-=-(+)=-b-c.
(2)(-)-(-)=(+)-(+)=-=0.
鞏固訓練1　A　【解析】+--=(-)+(-)=+=-=0.
鞏固訓練2　　【解析】原式=++-=+-=.
鞏固訓練3　【解析】如
圖所示，在平面內任取一點O，作=a，=b，=c，=d，
則a-b=，c-d=.
探究2
例3　平行四邊形　【解析】∵+=+，
∴-=-，∴=，
∴||=||，且DA∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
鞏固訓練　B　【解析】∵=，∴四邊形ABCD為平行四邊形.
∵|-|=|-|，∴||=||，
∴四邊形ABCD為矩形.故選B.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】-==.
2.D　【解析】
如圖，作菱形ABCD，
則|-|=|-|=||=.
3.A　【解析】由-=-，可得=，
所以四邊形ABCD一定是平行四邊形.
4.【解析】(1)-+-=+-=-=.
(2)(-)+(-)=+++=+(++)=+0=.

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