資源簡介

2.3.1 向量的數乘運算
【學習目標】
1.掌握向量數乘的定義并理解其幾何意義.(直觀想象)
2.理解向量數乘的運算律.(數學抽象)
3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.(直觀想象、邏輯推理)
【自主預習】
　　夏季的雷雨天，我們往往先看到閃電，后聽到雷聲，這說明聲速與光速的大小不同，光速是聲速的88萬倍.
閱讀教材，結合上述情境回答下列問題：
1.若設光速為v1，聲速為v2，則v1與v2有何關系
2.實數與向量相乘結果是實數還是向量
3.向量數乘運算滿足結合律、分配律嗎
1.下列運算正確的個數是(　　).
①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若=a，=b，則=(　　).
A.(a-b)
B.-(a-b)
C.(a+b)
D.-(a+b)
3.4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【合作探究】
　數乘運算的定義
一物體做勻速直線運動，1秒鐘的位移對應的向量為a，在同一方向上前進3秒鐘的位移對應的向量是3a嗎 在其反方向上運動3秒鐘的位移對應的向量又是多少
問題1：物體的位移是多少
問題2：向量3a，-3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關系
問題3：λa的幾何意義是什么
向量數乘的定義
實數λ與向量a的乘積是一個 ，記作 ，滿足以下條件：
(1)當λ>0時，向量λa與向量a的方向 ；
當λ<0時，向量λa與向量a的方向 ；
當λ=0時，0a=0.
(2)|λa|= .
這種運算稱為向量的數乘.
已知點C在線段AB上，且=，則等于(　　).
A. B.　 C.- D.-
【方法總結】(1)在數乘向量λa中，實數λ稱為向量a的系數.
(2)實數與向量積的運算，結果仍是一個向量，它可以看成實數與實數積的定義的推廣，但不能進行加減運算，如λ+a，λ-a均無意義.
(3)數乘向量主要用來解決平面幾何中的平行、相似等問題.
已知λ∈R，則下列結論正確的是(　　).
A.|λa|=λ|a|
B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ||a|
D.非零向量λa方向上的單位向量是a
　數乘運算的運算律
已知向量a，有以下三個結論：
(1)3(2a)=6a；
(2)(2+3)a=2a+3a；
(3)2(a+b)=2a+2b.
問題：請通過作圖判斷以上結論是否成立.
1.向量數乘的運算律：設λ，μ為實數，a，b為向量，則
(1)(λ+μ)a= ；
(2)λ(μa)= ；
(3)λ(a+b)= .
特別地，有(-λ)a= = ，
λ(a-b)= .
2.線性運算：向量的加法、減法和數乘的綜合運算，通常稱為向量的線性運算(或線性組合)，向量線性運算的結果仍是向量.對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= .
一、向量的線性運算
化簡6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b).
【方法總結】向量線性運算的基本方法是類比法.向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數.
二、解向量方程
已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關系式3x-2y=a，-4x+3y=b，求向量x，y.
【方法總結】向量方程類比代數方程，可利用解代數方程的方法求解.在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.
化簡：
(1)(3a+2b)-a+b-2a+b；
(2)(4a-3b)+b-(6a-7b).
若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0，則x=　　　　.
【隨堂檢測】
1.(a+2b)+2(a-b)=(　　).
A.2a B.3a C.-b D.0
2.在四邊形ABCD中，=2，則=(　　).
A.-++
B.-++
C.++
D.++
3.若M是△ABC所在平面內的一點，滿足=+，則=(　　).
A. B.4 C. D.3
4.如圖所示，在四邊形ABCD中，M，N分別是DC，AB的中點，已知=a，=b，=c，試用a，b，c表示，.
參考答案
§3　從速度的倍數到向量的數乘
課時1　向量的數乘運算
自主預習·悟新知
預學憶思
1.v1=880 000 v2.
2.是向量.
3.滿足.
自學檢測
1.C　【解析】根據向量數乘運算和加減運算規律知①②正確；因為(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0，是零向量，而不是0，所以③錯誤.所以運算正確的個數為2.
2.C　【解析】因為M是BC的中點，所以=(a+b).
3.10a　【解析】4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：類比數的運算，前進3秒鐘的位移是3a，反向運動3秒鐘的位移是-3a.
問題2：3a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相同.-3a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相反.
問題3：λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.當|λ|>1時，表示a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的|λ|倍.
新知生成
向量　λa　(1)相同　相反　(2)|λ||a|
新知運用
例1　D　【解析】∵=，∴=-，∴=-.故選D.
鞏固訓練　C　【解析】當λ<0時，|λa|=λ|a|不成立，A錯誤；|λa|是一個非負實數，而|λ|a是一個向量，B錯誤；非零向量λa方向上的單位向量是，D錯誤.
探究2　情境設置
問題：各式均是成立的(如圖).
(1)3(2a)=6a；
(2)(2+3)a=2a+3a；
(3)2(a+b)=2a+2b.
新知生成
1.(1)λa+μa　(2)(λμ)a　(3)λa+λb　-(λa)　λ(-a)　λa-λb
2.λμ1a±λμ2b
新知運用
例2　【解析】原式=6a-(4a-b-10a+15b)+a+7b=(6-4+10+1)a+(1-15+7)b=13a-7b.
例3　【解析】已知
由①×3+②×2，得x=3a+2b，
代入①得3×(3a+2b)-2y=a，所以y=4a+3b.
故x=3a+2b，y=4a+3b.
鞏固訓練1　【解析】(1)原式=2a+b-a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式=4a-3b+b-a+b=4-a+-3++b=a-b=a-b.
鞏固訓練2　4b-3a　【解析】由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0，所以x+3a-4b=0，所以x=4b-3a.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】原式=a+2b+2a-2b=3a.
2.B　【解析】因為=2，所以=，
所以=+=-++=-++(-)=-++.
3.C　【解析】∵=+=(+)+(+)=++，
∴+=0，∴=.
故選C.
4.【解析】=++=-++=-a+b+c，
=++=--+=-c-b+a=a-b-c.

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