資源簡介

2.3.2 向量的數乘與向量共線的關系
【學習目標】
1.理解共線(平行)向量基本定理，并運用其解決相關問題.(數學抽象)
2.會利用共線(平行)向量基本定理判斷三點共線及線線平行.(邏輯推理)
3.了解直線的向量表示.(數學抽象)
【自主預習】
1.非零向量a與向量b共線的充要條件是什么
2.一條直線的方向向量是唯一的嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若向量b與a共線，則存在唯一的實數λ，使b=λa. (　　)
(2)若b=λa，則a與b共線. (　　)
(3)若λa=0，則a=0. (　　)
(4)|λa|=λ|a|. (　　)
2.(多選題)已知平面向量a，b不共線，=2a+λb，=(λ-1)a+b，若A，B，C三點共線，則實數λ的可能取值有(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.已知=3，設=λ，則實數λ=　　　　　.
4.如圖，C是點B關于點A的對稱點，D是線段OB靠近點B的三等分點，設=a，=b.
(1)用向量a與b表示向量，；
(2)若=，求證：C，D，E三點共線.
【合作探究】
　共線(平行)向量基本定理
在某校的綠化帶中，有一花壇是四邊形ABCD，若各邊的向量關系是=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，如何判斷出四邊形ABCD的形狀 為了解決這一問題，我們先探究下列問題.
問題1：若b=2a，則b與a共線嗎
問題2：若b與非零向量a共線，是否存在實數λ滿足b=λa 若b與向量a共線呢
問題3：若存在實數t使得向量=t，則與有什么位置關系
問題4：根據上面的分析，如何解決情境中的問題
共線(平行)向量基本定理：給定一個非零向量b，則對于任意向量a，a∥b的充要條件是存在唯一一個實數λ，使得a=λb.
特別提醒：(1)定理中b≠0 不能漏掉.若a=b=0，則實數λ可以是任意實數；若b=0，a≠0，則不存在實數λ，使得a=λb.
(2)這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使得ta+sb=0，則a與b共線；若兩個非零向量a與b不共線，且ta+sb=0，則必有t=s=0.
一、向量共線的判定
已知e1，e2不共線，則下列各式中，a與b不共線的是(　　).
A.a=-2e1，b=6e1
B.a=e1-e2，b=-2e1+2e2
C.a=2e1-e2，b=e1-e2
D.a=e1+e2，b=3e1-3e2
【方法總結】判斷兩向量共線：把兩向量用共同的已知向量表示出來，進而互相表示，從而判斷共線.
二、由向量共線確定參數的值
已知向量m，n不是共線向量，a=3m+2n，b=6m-4n，c=m+xn.
(1)判斷a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值.
【方法總結】利用向量共線求參數的方法：判斷、證明向量共線問題的思路是根據共線(平行)向量基本定理尋求唯一的實數λ，使得a=λb(b≠0).而已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量的系數相等進而求解.若兩向量不共線，則向量的系數為零，利用待定系數法建立方程，從而解方程求得λ的值.
設a，b是不共線的兩個向量.
(1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點共線.
(2)若8a+kb與ka+2b共線，求實數k的值.
若a，b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點相同，問當實數t為何值時，a，tb，(a+b)三個向量的終點在同一直線上
　直線的向量表示
如圖，已知直線上的三點A，P，B.
問題1：A，P，B三點的位置關系是什么
問題2：能否用向量刻畫直線呢
通常可以用=t表示過點A，B的直線l，其中稱為直線l的方向向量.
特別提醒：已知平面內直線AB外任意一點O，則滿足向量關系式=λ+(1-λ)的點P與點A，B共線.反之，若點P在直線AB上，則存在實數λ，使得=λ+(1-λ)成立.
已知AD為△ABC的中線，G是AD的中點，過點G的直線分別交邊AB，AC于M，N兩點.若=，=λ，則λ=(　　).
A. B.
C. D.
【方法總結】若A，B，C三點共線，O為直線外一點 存在實數x，y，使得=x+y，且x+y=1.
如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點，且=3，P為BE上一點，且滿足=m+n(m>0，n>0)，則+的最小值為　　　　.
　破解向量中的四心問題
設O為△ABC的外心，若++=，則M是△ABC的(　　).
A.重心 B.內心 C.垂心 D.外心
【方法總結】本題給出三角形中的向量等式，判斷點M是三角形的哪一個心，解題時可充分利用向量的線性運算，并結合三角形四心的定義以及三角形的外接圓性質等知識進行推理判斷.
已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ+，λ∈[0，+∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的(　　).
A.內心 B.垂心
C.重心 D.外心
【隨堂檢測】
1.設=(a+5b)，=-2a+8b，=3(a-b)，則共線的三點是(　　).
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
2.下列說法正確的是(　　).
A.若b=λa，則a與b共線
B.若λa=0，則a=0
C.(-7)·6a=-42a
D.若=λ(λ≠0)，則A，B，C，D四點共線
3.設非零向量a，b不平行，若向量λa+b與a-2b平行，則實數λ的值為　　　　.
4.設兩個非零向量a，b不共線.
(1)若=a+2b，=-3(a-b)，=-2a-13b，求證：A，B，D三點共線.
(2)若ka+12b與3a+kb共線，求k的值.
參考答案
課時2　向量的數乘與向量共線的關系
自主預習·悟新知
預學憶思
1.存在唯一一個實數λ，使得b=λa.
2.不是，一條直線的方向向量可以有無數個.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.BC　【解析】因為A，B，C三點共線，所以和共線， 所以存在實數μ，使=μ， 即2a+ λb=μ[(λ-1)a+b]， 所以即 λ2 -λ-2=0， 解得λ=-1或λ=2. 故選BC.
3.2　【解析】∵=-=-3=-2=2=λ，∴λ=2.
4.【解析】(1)∵=a，=b，∴=+=-b-a，=2=2a，
=+=+=+(+)=2a+(-a+b)=a+b.
(2)∵=，∴=-=(-b)+a+b=a+b=，∴∥.又CE與CD有共同點C，∴C，D，E三點共線.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：根據共線向量及向量數乘的意義可知，b與a共線.
問題2：若b與非零向量a共線，則存在實數λ滿足b=λa；若b與向量a共線，則當a=0，b≠0 時，不存在實數λ滿足b=λa.
問題3：平行或共線.
問題4：∵=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，
∴=++=a+2b-4a-b-5a-3b=2.
由向量共線的定義知AD∥BC，且AD≠BC，∴四邊形ABCD為梯形.
新知運用
例1　D　【解析】A中，∵b=-3a，∴a與b共線；B中，b=-2a，則a與b共線；C中，b=a，則a與b共線；D中，設a=λb，則e1+e2=λ(3e1-3e2)，∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0，
∴這樣的λ不存在，因此a與b不共線.故選D.
例2　【解析】(1)顯然a為非零向量，若a∥b，則存在實數λ，使得b=λa，即6m-4n=λ(3m+2n)，
∴解得∴λ不存在，∴a與b不平行.
(2)∵a∥c，∴存在實數r，使得c=ra.
∴m+xn=r(3m+2n)，
∴解得x=.
鞏固訓練1　【解析】(1)∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，
而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2，
∴與共線，又，有公共點B，∴A，B，C三點共線.
(2)∵8a+kb與ka+2b共線，
∴存在實數λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)，
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0，
又a與b不共線，∴
解得λ=±2，∴k=2λ=±4.
鞏固訓練2　【解析】由題設易知，存在唯一實數λ，使得a-tb=λa-(a+b)，化簡得λ-1a=-tb.
∵a與b不共線，∴解得
故當t=時，三個向量的終點在同一直線上.
探究2　情境設置
問題1：A，P，B三點共線.
問題2：能，因為A，B兩點確定一條直線l，直線l上任意一點P所對應的向量與向量平行，即=t，從而可以用表示，即能用向量刻畫直線.
新知運用
例3　A　【解析】先證明：若P，Q，R三點共線，且O為直線PQ外一點，=m+n，則m+n=1.
證明：由題意可知∥，則存在x∈R使得=x，即-=x(-)，
所以=(1-x)+x，
又=m+n，所以m=1-x，n=x，所以m+n=1.
如圖所示，因為G為AD的中點，所以==(+).
因為=，所以=，所以=+.
因為=λ，所以=，所以=+.
因為G，M，N三點共線，所以+=1，解得λ=，故選A.
鞏固訓練　5+2　【解析】由=3，得=m+n=m+3n(m>0，n>0)，
又因為B，P，E三點共線，所以m+3n=1，
所以+=+(m+3n)=5++≥5+2=5+2，當且僅當m=-2，n=時取等號.
探究3
例4　C　【解析】在△ABC中，O為外心，可得OA=OB=OC.
∵++=，∴+=-=.
設AB的中點為D，則OD⊥AB，=2，
∴CM⊥AB，可得CM在AB邊的高線上.
同理可證，AM在BC邊的高線上，
故M是△ABC兩高線的交點，可得M是△ABC的垂心，故選C.
鞏固訓練　A　【解析】∵，分別表示向量，方向上的單位向量，
∴+的方向與∠BAC的平分線一致，
又∵=+λ+，
∴-==λ+，
∴向量的方向與∠BAC的平分線一致，
∴點P的軌跡一定通過△ABC的內心.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】∵=+=a+5b，=，∴A，B，D三點共線.
2.C　【解析】A中，λ≠0；B中，可能λ=0；D中，A，B，C，D可能構成四邊形.故C正確.
3.-　【解析】∵向量λa+b與a-2b平行，
∴存在實數k使得λa+b=k(a-2b)，
化簡得(λ-k)a+(1+2k)b=0.
∵向量a，b不平行，∴解得λ=-.
4.【解析】(1)因為=+=-3(a-b)-2a-13b=-5a-10b=-5(a+2b)=-5，
又AB∩BD=B，所以A，B，D三點共線.
(2)因為ka+12b和3a+kb共線，兩個非零向量a，b不共線，
所以存在實數λ，使得ka+12b=λ(3a+kb)，
所以解得k=±6.

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