資源簡介

2.4.1 平面向量基本定理
【學習目標】
1.理解基的含義，并能判斷兩個向量是否構成一組基.(邏輯推理)
2.理解平面向量基本定理及其意義.(數學抽象)
3.會用基表示平面向量.(邏輯推理)
【自主預習】
音樂是人們在休閑時候的一種選擇，不管是通俗的流行歌曲、動感的搖滾音樂，還是高雅的古典音樂，它們都給了人們不同的享受、不一樣的感覺.事實上，音樂有基本音符Do Re Mi Fa So La Si，所有的樂譜都是這幾個音符的巧妙組合，音樂的奇妙就在于此.
閱讀教材，回答下列問題.
1.在平面向量中，我們能否找到它的“基本音符”呢 你發現它是什么
2.我們知道兩個力可以合成一個力，反之一個力可以分解為兩個力.向量a是否也可以分解為兩個向量呢
3.0能與另外一個向量a構成一組基嗎
1.在△ABC中，=2，E為AD的中點，以，為一組基，則=(　　).
A.- B.-
C.- D.2-
2.如圖，在正方形ABCD中，設=a，=b，=c，則以a，b為基時，可表示為　　　　，以a，c為基時，可表示為　　　　.
3.已知向量e1，e2不共線，實數x，y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值為　　　　.
4.給定一組基{i，j}，且a=4i+j，b=3j，c=12i-3j，如果c=xa+yb，求x，y.
【合作探究】
　平面向量基本定理
如圖(1)，設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，a是在這一平面內與e1，e2都不共線的向量.如圖(2)，在平面內任取一點O，作=e1，=e2，=a.
問題1：上圖中將a按e1，e2的方向分解，你有什么發現
問題2：若向量a與e1或e2共線，a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
問題3：當a是零向量時，a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
問題4：設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，在a=λ1e1+λ2e2中，λ1，λ2是否唯一
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意一個向量a，存在唯一一對實數λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.
2.基：若e1，e2不共線，把e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組 .平面內任一向量都可以用同一組基唯一表示.
3.若基中的兩個向量互相垂直，則稱這組基為正交基.在正交基下向量的線性表示稱為正交分解.
若基中的兩個向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標準正交基.
一、對基的理解
如果e1，e2是平面α內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基的是(　　).
A.e1與e1+e2 B.e1-2e2與e1+2e2
C.e1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與2e1+6e2
【方法總結】對基的理解：兩個向量能否作為一組基，關鍵是看這兩個向量是否共線.若共線，則不能作基；反之，則可作基.
二、用基表示向量
如圖所示，在△ABC中，M是AB的中點，且=，BN與CM相交于點E，設=a，=b，試用基{a，b}表示向量.
【方法總結】將兩個不共線的向量作為基表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對所求向量不斷進行轉化，直至能用基表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基表示向量的唯一性求解.
三、平面向量基本定理的應用
如圖所示，L，M，N分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的點，且=l，=m，=n，若++=0，求證：l=m=n.
【方法總結】平面向量基本定理是向量法的理論基礎，它不僅提供了向量的幾何表示方法，而且使向量用坐標來表示成為可能，從而架起了向量的幾何運算與代數運算之間的橋梁，這就為幾何問題轉化為代數論證提供了理論工具.
若向量a，b不共線，則c=2a-b，d=3a-2b，試判斷c，d能否作為一組基.
如圖所示，在 ABCD中，E，F分別為BC，DC邊上的中點，若=a，=b，試用a，b表示向量，.
【隨堂檢測】
1.已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量是該平面內所有向量的基的是(　　).
A.， B.，
C.， D.，
2.在△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD的中點，若=λ+μ，則λ+μ的值是(　　).
A.1 B. C.- D.-
3.如圖，C，D是△AOB的邊AB的三等分點，設=e1，=e2，以e1，e2為一組基，則=　　　　，=　　　　.
4.在△ABC中，F是邊AB上靠近點B的四等分點，試以=e1，=e2為一組基表示.
參考答案
課時1　平面向量基本定理
自主預習·悟新知
預學憶思
1.能，它是基.
2.因為力是向量，所以向量a也可以分解為兩個向量.
3. 不能.基向量是不共線的，而0與任意向量共線.
自學檢測
1.A　【解析】=-+=-×=-+=-.
2.a+b　2a+c　【解析】以a，b為基時，=a+b；以a，c為基時，=+=a+c，=+=+=a+a+c=2a+c.
3.3　【解析】∵e1，e2不共線，∴由平面向量基本定理可得故x-y=3.
4.【解析】因為c=xa+yb=x(4i+j)+y(3j)=4xi+(x+3y)j，c=12i-3j，
所以解得
合作探究·提素養
探究　情境設置
問題1：如圖，a==+=λ1e1+λ2e2.
問題2：能，當向量a與e1共線時，a=λ1e1+0e2；
當向量a與e2共線時，a=0e1+λ2e2.
問題3：能，a=0e1+0e2.
問題4：假設a=μ1e1+μ2e2，則λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，所以λ1-μ1=0且λ2-μ2=0，即λ1=μ1且λ2=μ2，所以λ1，λ2唯一.
新知生成
2.基
新知運用
例1　D　【解析】對于A，設e1+e2=λe1，則所以λ無解；
對于B，設e1-2e2=λ(e1+2e2)，則所以λ無解；
對于C，設e1+e2=λ(e1-e2)，則所以λ無解；
對于D，設e1+3e2=λ(2e1+6e2)，則解得λ=，所以這兩個向量是共線向量.
故D中向量不能作為平面內所有向量的一組基，故選D.
例2　【解析】易得==b，==a，
由N，E，B三點共線知，存在實數m，
滿足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.
由C，E，M三點共線知，存在實數n，
滿足=n+(1-n)=na+(1-n)b，
所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b.
因為{a，b}為基，所以解得
所以=a+b.
例3　【解析】令=a，=b為一組基，
根據已知有=la，=mb.
∵=+=-a-b，∴=n=-na-nb，
∴=+=(l-1)a-b，=+=a+mb，=+=-na+(1-n)b.
又++=0，
∴(l-n)a+(m-n)b=0.
根據平面向量基本定理，有l-n=m-n=0，故l=m=n.
鞏固訓練1　【解析】設存在實數λ，使得c=λd，
則2a-b=λ(3a-2b)，即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0，
因為向量a，b不共線，所以2-3λ=2λ-1=0，這樣的λ是不存在的，
所以c，d不共線，故c，d能作為一組基.
鞏固訓練2　【解析】=++
=-++
=-++=a-b.
=++
=-++=b-a.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】因為，不共線，所以是一組基.
2.D　【解析】由D是BC邊的中點，E是AD的中點，得=(+)，==(+)，所以=+=-+(+)=-，所以λ=，μ=-，故λ+μ=-.
3.e1+e2　e1+e2　【解析】=+=+=e1+(e2-e1)=e1+e2，
=+=+
=e1+e2+(e2-e1)=e1+e2.
4.【解析】∵=-=e1-e2，且F是邊AB上靠近點B的四等分點，
∴==(e1-e2)，
∴=+=e2+(e1-e2)=e1+e2.

展開更多......

收起↑