資源簡介

2.4.2 平面向量及運算的坐標表示
【學習目標】
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示.(數學抽象)
2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量和、差的坐標運算法則.(數學運算)
3.理解向量的坐標與平面內點的坐標的區別與聯系.(直觀想象)
4.借助向量坐標的加、減線性運算，培養學生的數學運算等素養.
【自主預習】
　　飛機在起飛時，若沿仰角α的方向起飛的速度為v，則v可分解為沿水平方向的速度vcos α和沿豎直方向的速度vsin α.
閱讀教材，回答下列問題.
1.平面內任一向量能否用兩個互相垂直的向量表示
2.如圖，向量i，j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且|a|=4，以{i，j}為基，則向量a如何表示
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)零向量的坐標是(0，0). (　　)
(2)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同. (　　)
(3)當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標. (　　)
(4)向量可以平移，平移前后它的坐標發生變化. (　　)
2.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，則b-a=(　　).
A.(-2，1) B.(2，-1) C.(2，0) D.(4，3)
3.已知向量=(3，-2)，=(-5，-1)，則向量的坐標是(　　).
A.-4， B.4，-
C.(-8，1) D.(8，1)
4.已知向量a=(2x-1，x2+3x-3)與相等，若A(1，3)，B(2，4)，則x=　　　　.
【合作探究】
　平面向量的坐標表示
衛星運載火箭每一時刻的速度都有確定的大小和方向，為了便于分析，需要將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度.
問題1：如何將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度
問題2：我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數(它的坐標)表示，那么如何表示坐標平面內的一個向量呢
1.平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向 的兩個 向量i，j作為 .對于坐標平面內的任意向量a，由平面向量基本定理可知， 一對實數x，y，使得a=xi+yj.我們把實數對 叫作向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，記作a=(x，y)，其中x叫作a在x軸上的坐標，y叫作a在y軸上的坐標，a=(x，y)叫作向量a的坐標表示.
2.向量坐標與點的坐標之間的聯系
在平面直角坐標系中，以原點O為起點作=a，設=xi+yj，則向量的坐標(x，y)就是 的坐標；反過來，終點A的坐標(x，y)也就是向量的坐標.
特別提醒：(1)平面向量的正交分解實質上是平面向量基本定理的一種應用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直.
(2)由向量坐標的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a=b x1=x2且y1=y2，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2).
(3)向量的坐標只與向量的起點、終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關.
(4)當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變.
如圖，在平面直角坐標系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，=a，=b，四邊形OABC為平行四邊形.
(1)求向量a，b的坐標；
(2)求點B的坐標.
【方法總結】求點、向量坐標的常用方法
(1)求點的坐標：可利用已知條件，求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標，該坐標就等于相應點的坐標.
(2)求向量的坐標：先求出這個向量的起點、終點坐標，再用終點坐標減去起點坐標即得該向量的坐標.
如圖，在平面直角坐標系xOy中，||=2||=2，∠OAB=，求.
　平面向量運算的坐標表示
設i，j分別是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a=x1i+y1j，b=x2i+y2j.
問題1：根據向量的線性運算性質，分別用基{i，j}表示向量a+b，a-b.
問題2：向量加、減法的坐標運算，可以類比數的運算進行嗎
　　設向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ∈R，則有
加法 a+b=(x1+x2，y1+y2)
減法 a-b=(x1-x2，y1-y2)
數乘 λa=(λx1，λy1)
　　重要結論：已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1).
中點坐標公式：已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點M的坐標為(x，y)，則
一、平面向量的加、減坐標運算
(1)設向量a，b的坐標分別是(-1，2)，(3，-5)，則a+b=　　　　，b-a=　　　　.
(2)已知平面上三個點A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，+，-.
【方法總結】向量加、減運算的坐標表示要注意的問題：(1)向量加、減運算的坐標表示主要是利用加、減法運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，要注意三角形法則及平行四邊形法則的應用；(2)若是給出向量的坐標，則解題過程中要注意方程思想的應用及正確使用運算法則.
二、平面向量加、減坐標運算的應用
如圖，已知 ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別是(-2，1)，(-1，3)，(3，4)，求頂點D的坐標.
【方法總結】通過建立平面直角坐標系，可以將平面內的任一向量用一個有序實數對來表示；反過來，任一有序實數對都表示一個向量.因此，向量的坐標表示實質上是向量的代數表示，引入向量的坐標后，可使向量運算代數化，將數和形結合起來，從而將幾何問題轉化為代數問題來解決.
三、平面向量數乘的坐標運算
設向量a，b的坐標分別是(-1，2)，(3，-5)，求下列各向量的坐標：
(1)3a；(2)2a+5b.
【方法總結】向量的坐標運算主要是利用向量的加、減及數乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，再進行向量的坐標運算.
在 ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，對稱中心為O，則等于(　　).
A.-，5 B.-，-5
C.，-5 D.，5
已知平行四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D的坐標依次為(3，-1)，(1，2)，(m，1)，(3，n)，求m，n的值.
已知點A(-1，2)，B(2，8)，且=，=-.求點C，D和的坐標.
【隨堂檢測】
1.如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則可以表示為(　　).
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
2.已知向量a=(2，1)，b=(-3，4)，則a+b=(　　).
A.(6，-3) B.(8，-3)
C.(5，-1) D.(-1，5)
3.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，=(2，4)，=(-1，-3)，則=　　　　.
4.已知平面上三個點的坐標為A(3，7)，B(4，6)，C(1，-2)，求點D的坐標，使得這四個點為構成平行四邊形的四個頂點.
參考答案
課時2　平面向量及運算的坐標表示
自主預習·悟新知
預學憶思
1.能，互相垂直的兩個向量可以作為一組基.
2.因為向量a與i的夾角是30°，且|a|=4，所以OA=2，OB=2，于是a=2i+2j.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由題意得b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1).
3.C　【解析】=-=(-5，-1)-(3，-2)=(-8，1).
4.1　【解析】∵=(2，4)-(1，3)=(1，1)，=a=(2x-1，x2+3x-3)，
∴解得x=1.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：將飛行速度分別向坐標軸投影，在xOy平面上分解為x軸、y軸上的向量即可.
問題2：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為一組基，對于坐標平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x，y，使得a=xi+yj.
新知生成
1.相同　單位　標準正交基　有且僅有　(x，y)
2.終點A
新知運用
例1　【解析】
(1)如圖，作AM⊥x軸于點M，
則OM=OA·cos 45°=4×=2，AM=OA·sin 45°=4×=2，
∴A(2，2)，∴a=(2，2).
∵∠AOC=180°-105°=75°，∠AOy=45°，
∴∠COy=30°.
又∵OC=AB=3，
∴C-，，∴==-，，
即b=-，.
(2)∵=a+b
=(2，2)+-，
=2-，2+，
∴點B的坐標為2-，2+.
鞏固訓練　【解析】在平面直角坐標系xOy中，設B(xB，yB)，因為||=2||=2，所以A(2，0).
又∠OAB=，所以xB=2+cosπ-=，yB=0+sinπ-=，
所以點B的坐標為，，所以=.
探究2　情境設置
問題1：a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j，a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j.
問題2：向量加、減法的坐標運算可以完全類比數的運算進行.
新知運用
例2　(1)(2，-3)　(4，-7)　【解析】(1)a+b=(-1，2)+(3，-5)=(-1+3，2-5)=(2，-3)；
b-a=(3，-5)-(-1，2)=(3+1，-5-2)=(4，-7).
(2)∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，
∴=(7-4，5-6)=(3，-1)，
=(1-4，8-6)=(-3，2)，
+=(3，-1)+(-3，2)=(0，1)，
-=(3，-1)-(-3，2)=(6，-3).
例3　【解析】(法一)設頂點D的坐標為(x，y).
因為=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，=(3-x，4-y)，
又=，所以(1，2)=(3-x，4-y).
即解得
所以頂點D的坐標為(2，2).
(法二)如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知=+=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)=(3，-1)，
而=+=(-1，3)+(3，-1)=(2，2).
所以頂點D的坐標為(2，2).
例4　【解析】(1)3a=3(-1，2)=(-3，6).
(2)2a+5b=2(-1，2)+5(3，-5)=(-2，4)+(15，-25)=(13，-21).
鞏固訓練1　B　【解析】=-=-(+)=-(1，10)=-，-5.
鞏固訓練2　【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴=，
即(3-3，n+1)=(m-1，1-2)，整理得
解得
鞏固訓練3　【解析】∵A(-1，2)，B(2，8)，∴=(2，8)-(-1，2)=(3，6)，==(1，2)，=-==(1，2).
則=+=(-1，2)+(1，2)=(0，4)，
=+=-=(-1，2)-(1，2)=(-2，0).
∴C，D的坐標分別為(0，4)，(-2，0).
因此=-=(-2，0)-(0，4)=(-2，-4).
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】因為A(2，3)，B(4，2)，所以=(2，-1)，所以=2i-j.
2.D　【解析】a+b=(2，1)+(-3，4)=(-1，5).
3.(3，5)　【解析】∵=(2，4)，=(1，3)，
∴=+=+=(-)+=2-=(3，5).
4.【解析】設點D的坐標為(x，y)，
①當平行四邊形為ABCD時，=，
∴(4-3，6-7)=(1-x，-2-y)，
即解得∴D(0，-1)；
②當平行四邊形為ABDC時，同①可得D(2，-3)；
③當平行四邊形為ADBC時，同①可得D(6，15).
綜上所述，點D的坐標為(0，-1)或(2，-3)或(6，15).

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