資源簡介

2.4.3 平面向量平行的坐標表示
【學習目標】
1.理解用坐標表示的平面向量共線的充要條件.(數(shù)學抽象)
2.會用坐標表示的平面向量共線的充要條件解決簡單問題.(數(shù)學運算)
【自主預習】
1.向量a與非零向量b為共線向量的等價條件是有且只有一個實數(shù)λ使得a=λb，那么這個共線向量定理如何用坐標來表示
2.如果兩個非零向量共線，你能通過它們的坐標判斷它們同向還是反向嗎
3.a∥b =，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)是否正確
4.把x1y2-x2y1=0寫成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以嗎 怎樣記憶此公式的表達形式
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a∥b，則=. (　　)
(2)若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且x1y1-x2y2=0，則a∥b. (　　)
(3)若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，且x1y2-x2y1=0，則a∥b. (　　)
(4)向量a=(1，2)與向量b=(4，8)共線. (　　)
2.已知向量a=(2，-1)，b=(x-1，2)，若a∥b，則實數(shù)x的值為(　　).
A.2 B.-2
C.3 D.-3
3.與a=(12，5)平行的單位向量為(　　).
A.，-
B.-，-
C.，或-，-
D.±，±
4.已知向量a=(1，λ)，b=(2，1)，c=(1，-2)，若向量2a+b與c共線，則λ=　　　　.
【合作探究】
　平面向量共線充要條件的坐標表示
已知下列幾組向量：
(1)a=(0，3)，b=(0，6)；
(2)a=(2，3)，b=(4，6)；
(3)a=(-1，4)，b=(3，-12)；
(4)a=，1，b=-，-1.
問題1：上面幾組向量中，a，b有什么關(guān)系
問題2：以上幾組向量中，a，b共線嗎
問題3：當a∥b時，a，b的坐標成比例嗎
平面向量共線的坐標表示
設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.
(1)a，b共線的充要條件是存在實數(shù)λ(λ≠0)，使得a=λb.
(2)如果用坐標表示，那么向量a，b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.
簡記：縱橫交錯積相減.
一、向量共線的判定與證明
下列各組向量中，共線的是(　　).
A.a=(-2，3)，b=(4，6)
B.a=(2，3)，b=(3，2)
C.a=(1，-2)，b=(7，14)
D.a=(-3，2)，b=(6，-4)
【方法總結(jié)】向量共線的判定方法
二、已知平面向量共線求參數(shù)
(1)已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ)，若a∥b，則λ=　　　　.
(2)已知點P(-1，2)，線段PQ的中點M的坐標為(1，-1).若向量與向量a=(λ，1)共線，則λ=　　　　.
【方法總結(jié)】用向量平行的條件處理求值問題的思路：(1)利用共線向量定理a=λb(b≠0)列方程組求解；(2)利用向量平行的坐標表達式x1y2-x2y1=0直接求解.
三、利用共線向量求點的坐標
已知點A(3，-4)，B(-1，2)，點P在直線AB上，且||=2||，求點P的坐標.
【方法總結(jié)】求點的坐標時應(yīng)注意的問題
設(shè)點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).(1)若P是P1P2的中點，則點P的坐標為，；(2)求線段P1P2上或延長線上的點的坐標時，不必過分強調(diào)公式的記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后列方程組求解，同時要注意分類討論.
已知點A(1，-3)，B8，，C(9，1)，求證：A，B，C三點共線.
已知向量a=(1，2)，b=(-2，3).若λa+ub與a+b共線，則λ與u的關(guān)系為　　　　.
已知點P1(3，2)，P2(-8，3)，點P，y滿足=λ，求λ及y的值.
　共線向量與三角函數(shù)的綜合
已知向量a=cos θ，，b=sin θ，，且a∥b，則=　　　　.
【方法總結(jié)】共線向量與三角函數(shù)的綜合，主要利用向量共線的坐標表示，求得三角函數(shù)的有關(guān)值.
已知向量m=，-，向量n=(sin x，cos x).若m∥n，則tan x=　　　　.
【隨堂檢測】
1.已知向量a=(1，1)，b=(x2，x+2)，若a，b共線，則實數(shù)x的值為(　　).
A.-1 B.2
C.1或-2 D.-1或2
2.已知點A(2，-1)，B(3，1)，則與平行且方向相反的向量a可以是(　　).
A.(1，-2) B.(9，3)
C.(-2，4) D.(-4，-8)
3.已知=(4，1)，=(-1，k)，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為(　　).
A.4 B.-4
C.- D.
4.如圖，已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標.
參考答案
課時3　平面向量平行的坐標表示
自主預習·悟新知
預學憶思
1.假設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則向量a，b共線(其中b≠0) x1y2-x2y1=0.
2.能.當兩個向量的對應(yīng)坐標同號或同為零時，同向；當兩個向量的對應(yīng)坐標異號或同為零時，反向.例如，向量(1，2)與(-1，-2)反向；向量(1，0)與(3，0)同向；向量(-1，2)與(-3，6)同向；向量(-1，0)與(3，0)反向等.
3.當y1y2=0時不成立.
4.不可以.把x1y2-x2y1=0寫成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不對的，這一公式可簡記為“縱橫交錯積相減”.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.D　【解析】因為a∥b，所以2×2-(-1)×(x-1)=0，解得x=-3.
3.C　【解析】設(shè)與a平行的單位向量為e=(x，y)，
則∴或
4.-　【解析】因為向量a=(1，λ)，b=(2，1)，
所以2a+b=(4，2λ+1)，
所以由2a+b與c共線得-8-(2λ+1)=0，
解得λ=-.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1：(1)(2)中b=2a，(3)中b=-3a，(4)中b=-a.
問題2：共線.
問題3：當a，b的坐標不為0時成比例.
新知運用
例1　D　【解析】A選項中，(-2)×6-3×4=-24≠0，∴a與b不共線；B選項中，2×2-3×3=4-9=-5≠0，∴a與b不共線；C選項中，1×14-(-2)×7=28≠0，∴a與b不共線；D選項中，(-3)×(-4)-2×6=12-12=0，∴a與b共線.
例2　(1)-3　(2)-　【解析】(1)由題意知，-6=2λ，所以λ=-3.
(2)因為點P(-1，2)，線段PQ的中點M的坐標為(1，-1)，
所以向量=2(1-(-1)，-1-2)=(4，-6)，
又因為與向量a=(λ，1)共線，所以4×1+6λ=0，解得λ=-.
例3　【解析】設(shè)點P的坐標為(x，y).
當點P在線段AB上時，可知=2，
∴(x-3，y+4)=2(-1-x，2-y)，
即解得
∴點P的坐標為，0.
當點P在線段AB的延長線上時，可知=-2，
∴(x-3，y+4)=-2(-1-x，2-y)，
即解得
∴點P的坐標為(-5，8).
綜上所述，點P的坐標為，0或(-5，8).
鞏固訓練1　【解析】由題意得=8-1，+3=7，，=(9-1，1+3)=(8，4).
∵7×4-×8=0，∴∥，
又，有公共點A，
∴A，B，C三點共線.
鞏固訓練2　λ=u　【解析】∵a=(1，2)，b=(-2，3)，
∴a+b=(1，2)+(-2，3)=(-1，5)，
λa+ub=λ(1，2)+u(-2，3)=(λ-2u，2λ+3u).
又∵(λa+ub)∥(a+b)，
∴(-1)×(2λ+3u)-5(λ-2u)=0，得λ=u.
鞏固訓練3　【解析】因為=-3，y-2=-，y-2，=-8-，3-y=-，3-y，
所以-，y-2=λ-，3-y，
即解得
探究2
例4　3　【解析】由a∥b得2cos θ=sin θ，即tan θ=2，
∴==3.
鞏固訓練　-1　【解析】由題意得cos x--sin x=0，化簡得cos x+sin x=0，所以tan x=-1.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】由題意知，1·(x+2)-x2·1=0，即x2-x-2=0，解得x=-1或x=2.
2.D　【解析】由題意得=(1，2)，設(shè)a=λ=(λ，2λ)(λ<0).結(jié)合選項知符合條件的只有D項，故選D.
3.C　【解析】因為A，B，C三點共線，所以∥，所以4k+1=0，即k=-.
4.【解析】設(shè)點P(x，y)，則=(x，y).因為=(4，4)，且O，P，B三點共線，所以4x-4y=0.　①
因為=(x-4，y)，=(-2，6)，且A，P，C三點共線，
所以6×(x-4)-(-2)y=0，
即3x+y=12.　②
由①②得x=3，y=3，所以點P的坐標為(3，3).

展開更多......

收起↑