資源簡(jiǎn)介

數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式.(數(shù)學(xué)抽象)
2.會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
　　上一節(jié)我們學(xué)面向量的數(shù)量積，平面向量的數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量.向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算(加法、減法、向量的數(shù)乘)后的又一種新的運(yùn)算，它的內(nèi)容豐富，有廣泛的應(yīng)用.
閱讀教材，結(jié)合上一節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容回答下列問(wèn)題.
1.平面向量的數(shù)量積的定義是什么
2.類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算的消去律(ab=bc(b≠0) a=c)，在向量中，a·b=b·c(b≠0) a=c成立嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量一定與b共線. (　　)
(2)若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角. (　　)
(3)向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足(a·b)·c=a·(b·c). (　　)
(4)已知a≠0，且a·c=a·b，則b=c. (　　)
2.設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，則a·b=(　　).　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(多選題)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為θ，則下列結(jié)論正確的是(　　).
A.e1在e2方向上的投影向量為cos θ·e2
B.=
C.(e1+e2)⊥(e1-e2)
D.e1·e2=1
4.已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=1，a·b=1，則向量a與a-b的夾角為　　　　.
【合作探究】
　向量數(shù)量積的運(yùn)算律
小明學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積的運(yùn)算后，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，類(lèi)比得出向量數(shù)量積的運(yùn)算律，如表所示.
運(yùn)算律 實(shí)數(shù)乘法 平面向量數(shù)量積
交換律 ab=ba a·b=b·a
結(jié)合律 (ab)c=a(bc) (a·b)·c=a·(b·c)
(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)
分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c
問(wèn)題1：表中這些結(jié)果正確嗎
問(wèn)題2：如何證明(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
1.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
2.多項(xiàng)式的乘法公式
(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
注意：①a⊥b a·b=0，既可以用來(lái)證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.
②a·a=a2=|a|2與|a|==也用來(lái)求向量的模，以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.
③用cos θ=求兩向量的夾角，夾角的取值與a·b的符號(hào)有關(guān).
一、數(shù)量積的運(yùn)算
(1)已知向量a與b滿足|a|=10，|b|=3，且向量a與b的夾角為120°，求(2a+b)·(a-b).
(2)在△ABC中，已知AC=6，=2，·=4，求 ·.
【方法總結(jié)】向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，要先確定兩個(gè)向量的模及兩個(gè)向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.
二、與向量模有關(guān)的運(yùn)算
已知|a|=|b|=5，向量a與b的夾角為.
求：(1)|a+b|，|a-b|；
(2)|3a+b|.
【方法總結(jié)】求向量的模的常見(jiàn)思路及方法
(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方問(wèn)題，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2=|a|2，最后不要忘記開(kāi)方；
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.
三、與向量垂直、夾角有關(guān)的問(wèn)題
已知非零向量a，b滿足a+3b與7a-5b互相垂直，a-4b與7a-2b互相垂直，求a與b的夾角.
【方法總結(jié)】(1)求向量a與b的夾角的思路：①求向量夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cos θ=，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值；②在個(gè)別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cos θ的值.
(2)與垂直有關(guān)的問(wèn)題常應(yīng)用性質(zhì)a⊥b a·b=0解答.
如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，·=4，·=-1，則·的值是　　　　.
已知向量a，b滿足|a|=4，|b|=3，(a-b)·(a+2b)=0.
(1)求a·b的值；
(2)求|a-2b|的值.
已知向量與的夾角為120°，且||=2，||=3.若=λ+，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　).
A. B.13 C.6 D.
　向量數(shù)量積的性質(zhì)
已知兩個(gè)非零向量a，b，θ為a與b的夾角，e為與b方向相同的單位向量.
問(wèn)題1：根據(jù)數(shù)量積公式，計(jì)算a·e，a·a.
問(wèn)題2：若a·b=0，則a與b有什么關(guān)系
問(wèn)題3：非零向量的數(shù)量積是否可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零 其數(shù)量積的符號(hào)由什么來(lái)決定
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e=e·a=|a|cos θ；
(2)a⊥b =0；
(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b= ，
當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b= ，
特別地，a·a=a2=|a|2或|a|= ；
(4)|a·b| |a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)，等號(hào)成立.
已知a，b，c是三個(gè)非零向量，則下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　).
①|(zhì)a·b|=|a||b| a∥b；
②a，b反向 a·b=-|a||b|；
③a⊥b |a+b|=|a-b|；
④|a|=|b| |a·c|=|b·c|.
A.1 B.2 C.3 D.4
【方法總結(jié)】數(shù)量積的定義和性質(zhì)是解題的依據(jù)，要熟練掌握.
已知下列說(shuō)法：①若a2+b2=0，則a=b=0；②已知a，b，c是三個(gè)非零向量，若a+b=0，則|a·c|=|b·c|；③|a||b|0，則a與b的夾角為銳角.其中說(shuō)法正確的是　　　　.
　向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用
如圖，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，=2，=2.
(1)求CD的長(zhǎng)；
(2)求·的值.
【方法總結(jié)】根據(jù)平面向量基本定理可知，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量均可以用兩個(gè)不共線的向量表示，所以在求解兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí)，可以先將所求數(shù)量積的向量用已知向量表示，接下來(lái)轉(zhuǎn)化為基的數(shù)量積運(yùn)算.
在△ABC中，AB=6，AC=3，D為BC的中點(diǎn)，=2，=.
(1)若∠A=，求·的值；
(2)若·=0，求·的值.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知a，b均為單位向量，(2a+b)·(a-2b)=-，則a與b的夾角為(　　).
A.30° B.45° C.135° D.150°
2.已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，則b1·b2=　　　　.
3.已知|a|=1，a·b=，(a+b)·(a-b)=.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a-b與a+b夾角的余弦值.
參考答案
課時(shí)2　數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1. a·b=|a||b|cos θ.
2.不成立.
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】因?yàn)閨e1|=|e2|=1，e1·e2=0，
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.
3.ABC　【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量e1，e2的夾角為θ，
所以|e1|=|e2|=1，則e1在e2方向上的投影向量為|e1|cos θ·e2=cos θ·e2，故A正確；
==1，故B正確；
(e1+e2)·(e1-e2)=-=0，
故(e1+e2)⊥(e1-e2)，故C正確；
e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ，故D錯(cuò)誤.
4.　【解析】|a-b|===，
設(shè)向量a與a-b的夾角為θ，
則cos θ===，
又θ∈[0，π]，所以θ=.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問(wèn)題1：除結(jié)合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是錯(cuò)誤的，其他都是正確的.(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線.因此，(a·b)·c=a·(b·c)在一般情況下不成立.
問(wèn)題2：當(dāng)λ>0時(shí)，λa與b的夾角和a與λb的夾角相同，設(shè)夾角為θ，
則(λa)·b=|λa||b|cos θ=λ|a||b|cos θ=λ(a·b)，
a·(λb)=|a||λb|cos θ=λ|a||b|cos θ=λ(a·b).
同理，當(dāng)λ<0時(shí)，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)成立.
所以(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
新知運(yùn)用
例1　【解析】(1)因?yàn)閨a|=10，|b|=3，且向量a與b的夾角為120°，所以a·b=10×3×cos 120°=-15，
所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2
=200+15-9=206.
(2)由于=2，
則=+=+=+，
又·=4，所以+·=4，
又AC=6，所以·=4-=4-×62=-8，
即·=-12.
例2　【解析】(1)由題意知，a·b=|a||b|cos =5×5×=.
因?yàn)閨a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2×=75，所以|a+b|=5.
同理，因?yàn)閨a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25，所以|a-b|=5.
(2)|3a+b|===5.
例3　【解析】由已知條件得
即
由②-①得23b2-46a·b=0，
∴2a·b=b2，代入①得a2=b2，∴|a|=|b|.
設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ===.
∵θ∈[0，π]，∴θ=.
鞏固訓(xùn)練1　　【解析】設(shè)=a，=b，則·=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4，·=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1，解得|a|2=，|b|2=，
則·=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=.
鞏固訓(xùn)練2　【解析】(1)由題意得(a-b)·(a+2b)=0，即a2+a·b-2b2=0，
又因?yàn)閨a|=4，|b|=3，所以42+a·b-2×32=0，解得a·b=2.
(2)因?yàn)?a-2b)2=a2+4b2-4a·b，所以(a-2b)2=16+36-4×2=44.
又因?yàn)閨a-2b|=，所以|a-2b|=2.
鞏固訓(xùn)練3　D　【解析】∵與的夾角為120°，且||=2，||=3，
∴·=||·||cos 120°
=2×3×-=-3.
∵·=(+λ)·(-)
=-λ+(λ-1)·=0，
∴32-λ×22+(λ-1)×(-3)=0，
解得λ=.故選D.
探究2　情境設(shè)置
問(wèn)題1：a·e=|a||e|cos θ=|a|cos θ，
a·a=|a||a|cos 0°=|a|2.
問(wèn)題2：∵a·b=0，a≠0，b≠0，∴cos θ=0，即θ=90°，故a⊥b.
問(wèn)題3：是，由兩個(gè)非零向量的夾角決定.
當(dāng)0°≤θ<90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù).
當(dāng)θ=90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零.
當(dāng)90°<θ≤180°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù).
新知生成
(2)a·b　(3)|a||b|　-|a||b|　　(4)≤
新知運(yùn)用
例4　C　【解析】對(duì)于①，∵a·b=|a||b|cos θ，∴由|a·b|=|a||b|及a，b均為非零向量可得|cos θ|=1，∴θ=0或θ=π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命題①是真命題.對(duì)于②，若a，b反向，則a，b的夾角為π，∴a·b=|a||b|cos π=-|a||b|，且以上各步均可逆，故命題②是真命題.對(duì)于③，當(dāng)a⊥b時(shí)，將向量a，b的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)，則以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形一定為矩形，于是它的兩對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，即有|a+b|=|a-b|；反過(guò)來(lái)，若|a+b|=|a-b|，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，∴a⊥b，故命題③是真命題.對(duì)于④，當(dāng)|a|=|b|但是a與c的夾角和b與c的夾角不相等時(shí)，就有|a·c|≠|(zhì)b·c|，反過(guò)來(lái)，由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|，故命題④是假命題.故選C.
鞏固訓(xùn)練?、佗凇　窘馕觥繉?duì)于①，∵a2+b2=0，∴|a|2+|b|2=0，∴|a|=|b|=0，∴a=b=0，故①正確；對(duì)于②，∵a+b=0，∴a與b互為相反向量，設(shè)a與c的夾角為θ，則b與c的夾角為π-θ，a·c=|a||c|cos θ，b·c=|b||c|cos(π-θ)=-|b||c|cos θ，∴|a·c|=|b·c|，故②正確；對(duì)于③，由于|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由于a·a·a=|a|2a，其結(jié)果為向量，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，當(dāng)a與b為同向的非零向量時(shí)，a·b=|a||b|>0，但夾角不是銳角，故⑤錯(cuò)誤.
探究3
例5　【解析】(1)∵=2，∴=，∴=-=-.
∵AB=2，AC=3，∠BAC=60°，∴·=||·||·cos 60°=2×3×=3.
∴=-2=-·+=×22-×3+32=，故CD的長(zhǎng)為.
(2)∵=2，∴=，
∴=+=+=+(-)=+，
∴·=·+=+·=×22+×3=.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以=(+).因?yàn)?2，=，所以=，=.所以·=(+)·-=--·+=--·+=-×62-×6×3×+×32=-12-+=-12.
(2)因?yàn)?-=-(+)=-，
=-=-(+)=--，
所以·=-·--=-++·=-3++·=0，解得·=.
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1.A　【解析】∵(2a+b)·(a-2b)=2a2-4a·b+a·b-2b2=-3a·b=-，∴a·b=.
設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ==.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ=30°.
2.-6　【解析】由題設(shè)知|e1|=|e2|=1且e1·e2=，所以b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3-2e1·e2-8=3-2×-8=-6.
3.【解析】(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=.
∵|a|=1，∴1-|b|2=，∴|b|=.
(2)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=2，
|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=1，
∴|a+b|=，|a-b|=1.
令a+b與a-b的夾角為θ，
則cos θ===，
即向量a-b與a+b夾角的余弦值是.

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