資源簡介

2.5.1 向量的數量積
【學習目標】
1.了解平面向量夾角的概念.(數學抽象)
2.掌握平面向量的數量積公式.(邏輯推理)
3.理解投影向量、投影數量的幾何意義.(直觀想象)
【自主預習】
　　小明在雪地里，用雪橇拉著妹妹玩耍，在他的拉力F的作用下，雪橇產生了一段位移s.
閱讀教材，結合上述情境回答下列問題.
1.如何計算這個力所做的功
2.力做功的大小與哪些量有關
3.向量數量積的運算結果是什么
4.向量a在向量b上的投影數量一定是正數嗎
5.向量夾角的范圍是什么
1.已知△ABC為等邊三角形，則與的夾角為(　　).　　　　　　　　
A.120° B.60°
C.30° D.-60°
2.等邊三角形ABC的邊長為1，=a，=b，則a·b=(　　).
A. - B.
C.- D.
3.已知|a|=2，b在a方向上的投影向量為-2a，則a·b=(　　).
A.4 B.8
C.-8 D.-4
4.已知a，b的夾角為，|a|=1，|b|=2，則a在b方向上的投影數量為　　　　　.
【合作探究】
　向量數量積的定義
小明用紙片制作了一個邊長為2的正三角形ABC，如圖所示.
問題1：圖中與的夾角是多少
問題2：仿照力做功的公式，如何計算·
問題3：向量的數量積的運算結果與線性運算的運算結果有什么不同
　　平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量a和b，作=a，=b，向量a與b的夾角∠AOB記為或θ(0°≤θ≤180°).|a||b|·cos θ稱為a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ.規定：零向量與任一向量的數量積等于 .
特別提醒：(1)“·”是數量積的運算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“×”.
(2)數量積的結果為數量，不再是向量.
(3)向量數量積的正負由兩個向量的夾角θ決定：當θ是零角或銳角時，數量積為正；當θ是鈍角或平角時，數量積為負；當θ是直角時，數量積等于零.
已知正三角形ABC的邊長為1，求：
(1)·；(2)·.
【方法總結】用定義法求平面向量的數量積，若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b=|a||b|cos θ求解.運用此法計算數量積的關鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點必須重合，否則，要先通過平移使得兩向量符合以上條件.
設正三角形ABC的邊長為，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.
　投影向量
如圖，線段AB在直線l上的投影如下.
問題1：圖中的線段A1B1叫作什么
問題2：設直線AB與直線l的夾角為θ，那么|A1B1|與|AB|，θ之間有怎樣的關系
1.投影
已知兩個非零向量a和b，作=a，=b，過點A向直線OB作垂線，垂足為A'，得向量γ='，γ稱為a在b上的投影向量，|a|cos稱為投影向量γ的數量，也稱為向量a在向量b方向上的投影數量，可以表示為a·.
2.平面向量數量積的幾何意義
a的長度|a|與b在a方向上的投影數量|b|cos θ的乘積；或b的長度|b|與a在b方向上的投影數量|a|cos θ的乘積.
(1)已知|a|=，b為單位向量，a與b的夾角為135°，則a在b上的投影向量的模為(　　).
A.- B.-1 C.1 D.
(2)已知|a|=6，e為單位向量，a與e的夾角為，則向量a在向量e上的投影向量為　　　　.
【方法總結】關于平面向量數量積的幾何意義的兩點注意事項
(1)向量a在b所在直線上的投影是一個向量，向量a在b所在直線上的投影向量的模是一個實數；
(2)向量a在向量b上的投影向量的模是|a|·|cos|，向量b在向量a上的投影向量的模是|b|·|cos|，二者不能混為一談.
如圖，已知向量a與b，其中|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角θ=150°.
(1)求a·b；
(2)畫圖說明b在a上的投影向量；
(3)求向量b在a上的投影數量.
【隨堂檢測】
1.已知單位向量a，b的夾角為60°，則a·b=(　　).
A. B.
C.1 D.-
2.若|a|=4，|b|=2，a和b的夾角為30°，則a在b方向上的投影數量為(　　).
A.2 B. C.2 D.4
3.已知平面上三點A，B，C滿足||=3，||=4，||=5，求·+·+·的值.
參考答案
課時1　向量的數量積
自主預習·悟新知
預學憶思
1.W=|F||s|cos θ.
2.與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關.
3.向量數量積的運算結果是實數.
4.不一定，可正、可負、可為0.
5.[0，π].
自學檢測
1.A　【解析】因為△ABC為等邊三角形，所以與的夾角為 60°，與的夾角和與的夾角互補，為 120°.
2.A　【解析】∵a·b=1×1×cos=-，故選A.
3.C　【解析】由|a|=2得|-2a|=4，根據b在a方向上的投影向量為-2a，可知b在a方向上的投影數量為-4，故根據數量積的幾何意義，a·b等于|a|與b在a方向上的投影數量的乘積，故a·b=2 ×(-4)=-8，故選C.
4.　【解析】由題意可得a在b方向上的投影數量為|a|cos=1 ×=.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：與的夾角是∠ABC的補角，而∠ABC=60°，故與的夾角為120°.
問題2：根據力做功的公式，得·=||·||·cos∠BAC=2×2×cos 60°=2.
問題3：數量積的運算結果是實數，線性運算的運算結果是向量.
新知生成
0
新知運用
例1　【解析】(1)∵與的夾角為60°，
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)∵與的夾角為60°，
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
鞏固訓練　【解析】∵|a|=|b|=|c|=，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b+b·c+c·a=××cos 120°×3=-3.
探究2　情境設置
問題1：線段A1B1叫作線段AB在直線l上的投影線段.
問題2：|A1B1|=|AB|cos θ.
新知運用
例2　(1)C　(2)-3e　【解析】(1)因為|a|=，b為單位向量，a與b的夾角為135°，
所以a在b上的投影向量的模為|a||cos|=×|cos 135°|=×-=1.故選C.
(2)因為|a|=6，=，
所以向量a在向量e上的投影向量為|a|cos·e=6×-·e=-3e.
鞏固訓練　【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=3×4×cos 150°=12×=-6.
(2)如圖所示，作=a，=b，過點B作直線OA的垂線，垂足為B1，即b在a上的投影向量.
(3)因為|b|cos θ=4×-=-2，所以向量b在a上的投影數量為-2.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】a·b=1×1×cos 60°=.
2.C　【解析】a在b方向上的投影數量為|a|cos 30°=2.故選C.
3.【解析】由條件知∠ABC=90°，
所以原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)
=-20cos C-15cos A
=-20×-15×
=-16-9
=-25.

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