資源簡介

2.5.2 向量數量積的坐標表示
【學習目標】
1.掌握平面向量數量積的坐標表示.(邏輯推理)
2.能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題.(數學運算)
【自主預習】
1.若兩個非零向量的夾角θ滿足cos θ<0，則兩個向量的夾角θ一定是鈍角嗎
2.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則公式a·b=|a||b|cos與a·b=x1x2+y1y2有什么關系
3.(a·b)c=a(b·c)是否成立
4.對于實數λ，(λa)·b有意義嗎 它可以轉化為哪些運算
1.(原創)判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a=(m，0)，則|a|=m. (　　)
(2)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a⊥b x1x2-y1y2=0. (　　)
(3)若a·b≠0，則a與b不垂直. (　　)
(4)已知向量a=(1，2)，b=(2，-2)，則a·b=-2. (　　)
2.設a=(1，-2)，b=(3，1)，c=(-1，1)，則(a+b)·(a-c)等于(　　).
A.11 B.5 C.-14 D.10
3.已知向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，則|a+b|等于(　　).
A. B. C.2 D.10
4.已知向量=(4，0)，=(2，2)，則與的夾角的大小為　　　　.
【合作探究】
　平面向量數量積的坐標表示
已知兩個向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，類比向量數乘的坐標表示，探究平面向量數量積的坐標表示.
問題1：若i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量，則a，b如何用i，j表示
問題2：能否用a，b的坐標表示a·b 怎樣表示
問題3：向量垂直與向量的數量積的關系是什么 能用坐標表示向量垂直嗎
　　設向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2).
數量積 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
一、給出坐標求數量積
已知向量a=(-1，2)，b=(3，2).
(1)求a·(a-b)；
(2)求(a+b)·(2a-b)；
(3)若c=(2，1)，求(a·b)c，a(b·c).
【方法總結】進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質，解題時通常有兩種方法：一是先將各向量用坐標表示，再直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算.
二、向量垂直的坐標表示
設=(2，-1)，=(3，1)，=(m，3).
(1)當m=2時，用和表示；
(2)若⊥，求實數m的值.
【方法總結】用向量數量積的坐標表示解決垂直問題是把垂直條件代數化，方法更簡捷，運算更直接，體現了向量問題代數化的思想.
已知向量a與b同向，b=(1，2)，a·b=10.
(1)求向量a的坐標；
(2)若c=(2，-1)，求(a·c)b.
已知在△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，AD為BC邊上的高，求點D的坐標.
　平面向量的模、夾角
問題1：若把表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別設為(x1，y1)，(x2，y2)，如何求a的坐標 |a|怎么用坐標表示
問題2：設非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是向量a，b的夾角，則cos θ如何用坐標表示
問題3：已知向量a=(x，y)，則與a共線的單位向量的坐標是什么 與a垂直的單位向量的坐標是什么
1.向量模的公式
設a=(x，y)，則|a|2=x2+y2，或|a|=.
2.兩點間的距離公式
如果表示向量a的有向線段的起點和終點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=||=.
3.向量的夾角公式
設兩非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cos θ==.
一、向量的模
已知平面向量a=(3，5)，b=(-2，1)，求a-2b及其模的大小.
【方法總結】求向量a=(x，y)的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉化為求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模時，不要忘記開方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|==，此性質可用來求向量的模，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化.
二、向量的夾角
已知O是原點，點A(-2，4)，B(1，a)，若∠ABO為鈍角，則a的取值范圍是(　　).
A.(1，2)
B.(-∞，1)∪(2，+∞)
C.(1，3)
D.(-∞，1)∪(3，+∞)
【方法總結】解決向量夾角問題的方法及注意事項
(1)非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的夾角的求解方法：由cos θ==直接求出cos θ.
(2)注意事項：利用三角函數值cos θ求θ的值時，應注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判斷θ的值時，要注意當cos θ<0時，有兩種情況：一是θ為鈍角，二是θ為180°.當cos θ>0時，也有兩種情況：一是θ為銳角，二是θ為0°.
已知向量a=(2，1)，a·b=10，|a+b|=5，則|b|等于(　　).
A. B. C.5 D.25
已知a=(1，-1)，b=(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，求實數λ的取值范圍.
　點到直線的距離的向量表示
　　如圖，P為直線AB外一點，n⊥，則點P到直線AB的距離為·.
(原創)已知點A(1，1)，直線AB的一個方向向量為n=(-1，1)，求點P(-1，-1)到直線AB的距離.
【方法總結】利用點到直線的距離的向量公式，關鍵是找到與該直線的方向向量垂直的向量，因為這種向量有無數個，所以可以取最有利于計算的最簡向量，然后代入公式求解即可.
(原創)已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1，0)，B(0，1)，C(3，2)，求點C
到直線AB的距離.
　建系法在向量中的應用
如圖，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，E為BC的中點，點F在邊CD上，若·=，則·的值是　　　　.
【方法總結】在解數學題時，當結論復雜，難以直接將條件聯系起來時，可考慮先解決問題的一部分，或把結論分解為簡單的幾部分，以便各個擊破，從而使問題得到解決.
在Rt△ABC中，∠C=，AB=4，AC=2，若=，則·=(　　).
A.-18 B.-6
C.18 D.6
【隨堂檢測】
1.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，2)，則(2a+b)·a=(　　).
A.6 B.5
C.1 D.-6
2.若向量a=(4，3-m)，b=(1，m)的夾角為銳角，則實數m的取值范圍是(　　).
A.-1，∪，4
B.(-1，4)
C.-4，∪，1
D.(-4，1)
3.已知向量a，b的夾角為，a=(0，1)，|b|=2，則|2a-b|=　　　　.
4.已知a=(4，3)，b=(-1，2).
(1)求a與b的夾角的余弦值；
(2)若(a-λb)⊥(2a+b)，求實數λ的值.
參考答案
課時3　向量數量積的坐標表示
自主預習·悟新知
預學憶思
1.不一定，當cos θ<0時，兩個向量的夾角θ可能是鈍角，也可能是180°.
2.a·b=|a||b|cos與a·b=x1x2+y1y2都是用來求兩個向量的數量積的公式，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導.
3.(a·b)c=a(b·c)一般情況下不會成立.
4.(λa)·b有意義，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.A　【解析】由題意得a+b=(4，-1)，a-c=(2，-3)，所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故選A.
3.B　【解析】由題意得a·b=x×1+1×(-2)=x-2=0，解得x=2，
則a+b=(x+1，-1)=(3，-1)，可得|a+b|=.
4.90°　【解析】=-=(2，2)-(4，0)=(-2，2)，所以·=2×(-2)+2×2=0，所以⊥，即與的夾角為90°.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：a=x1i+y1j，b=x2i+y2j.
問題2：能，a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
問題3：a⊥b a·b=0，能.
新知運用
例1　【解析】(1)(法一)∵a=(-1，2)，b=(3，2)，∴a-b=(-4，0)，∴a·(a-b)=(-1，2)·(-4，0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(法二)a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1，2)+(3，2)=(2，4)，
2a-b=2(-1，2)-(3，2)=(-2，4)-(3，2)=(-5，2)，
∴(a+b)·(2a-b)=(2，4)·(-5，2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1，2)·(3，2)](2，1)
=(-1×3+2×2)(2，1)=(2，1).
a(b·c)=(-1，2)[(3，2)·(2，1)]
=(-1，2)(3×2+2×1)=8(-1，2)=(-8，16).
例2　【解析】(1)當m=2時，設=x+y=(2，3)，
則解得
即=-+.
(2)由題意得=-=(1，2)，=-=(m-3，2).
因為⊥，所以·=0，
即1×(m-3)+2×2=0，解得m=-1.
鞏固訓練1　【解析】(1)由題意可設a=λb=(λ，2λ)(λ>0).
∵a·b=10，∴λ+4λ=10，解得λ=2，∴a=(2，4).
(2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0，
∴(a·c)b=0.
鞏固訓練2　【解析】設點D的坐標為(x，y)，則=(x-2，y+1)，=(-6，-3)，=(x-3，y-2).
∵點D在直線BC上，即與共線，
∴存在實數λ，使=λ，
即(x-3，y-2)=λ(-6，-3)，
∴
∴x-3=2(y-2)，即x-2y+1=0.　①
∵AD⊥BC，∴·=0，
即(x-2，y+1)·(-6，-3)=0，
∴-6(x-2)-3(y+1)=0，
化簡得2x+y-3=0.　②
由①②可得∴D(1，1).
故點D的坐標為(1，1).
探究2　情境設置
問題1：a=(x2-x1，y2-y1)，
|a|=.
問題2：cos θ==.
問題3：設與a共線的單位向量為a0，則a0=±a=±，=±，，其中正號、負號分別表示與a同向、反向.
易知b=(-y，x)和a=(x，y)垂直，
所以與a垂直的單位向量b0的坐標為±，.
新知運用
例3　【解析】∵a=(3，5)，b=(-2，1)，
∴a-2b=(3，5)-2(-2，1)=(3+4，5-2)=(7，3)，
∴|a-2b|==.
例4　C　【解析】由題意得，=(-3，4-a)，=(-1，-a)，
則·=(-3，4-a)·(-1，-a)=3-4a+a2<0，解得1且與不共線，即3a+4-a≠0，解得a≠-2，
綜上，a∈(1，3)，故選C.
鞏固訓練1　C　【解析】∵a=(2，1)，∴a2=5.
∵|a+b|=5，∴(a+b)2=50，
即a2+2a·b+b2=50，
∴5+2×10+b2=50，∴b2=25，∴|b|=5.
鞏固訓練2　【解析】∵a=(1，-1)，b=(λ，1)，
∴|a|=，|b|=，a·b=λ-1.
又∵a，b的夾角α為鈍角，
∴即
解得λ<1且λ≠-1.
∴實數λ的取值范圍是(-∞，-1)∪(-1，1).
探究3
新知運用
例5　【解析】任取m=(1，1)，因為m·n=0，所以m⊥，根據點到直線的距離的向量公式可得，點P(-1，-1)到直線AB的距離為·=(-2，-2)·，=2.
鞏固訓練　【解析】因為=(-1，1)，所以可取n=(1，1)，使得·n=0，即n⊥，根據點到直線的距離的向量公式可得，點C到直線AB的距離為·=(2，2)·，=2.
探究4
例6　　【解析】
以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則A(0，0)，B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1).
設F(x，2)，因為·=(，0)·(x，2)=x=，解得x=1，
所以·=(，1)·(1-，2)=.
鞏固訓練　C　【解析】(法一)由∠C=，AB=4，AC=2，得CB=2，·=0.故·=(+)·=·+·=(-)·==18.
(法二)如圖，以C為坐標原點，CA，CB所在的直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，
則C(0，0)，A(2，0)，B(0，2).由題意得∠CBA=，又=，所以D(-1，3)，則·=(-1，3)·(0，2)=18.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】由題意知2a+b=(3，0)，則(2a+b)·a=(3，0)·(2，-1)=6，故選A.
2.A　【解析】因為向量a=(4，3-m)，b=(1，m)的夾角為銳角，所以a·b>0，即m2-3m-4<0，解得-1綜上可知，實數m的取值范圍是-1，∪，4.
3.2　【解析】易知|a|=1，a·b=|a||b|cos =1×2×=1，
∴|2a-b|====2.
4.【解析】(1)設a與b的夾角為θ.
∵a·b=4×(-1)+3×2=2，
|a|==5，|b|==，
∴cos θ===.
(2)∵a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)，
(a-λb)⊥(2a+b)，
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0，
解得λ=.

展開更多......

收起↑