資源簡介

2.5.3 利用數量積計算長度與角度
【學習目標】
1.進一步理解平面向量數量積的含義、幾何意義.(數學抽象)
2.能運用數量積的運算性質和運算律計算長度、夾角等問題.(數學運算)
【課前檢測】
1.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夾角為，則實數m=(　　).
A.2 B.
C.0 D.-
2.已知a=(-1，)，|b|=2，b·(a-b)=-7，則a與b的夾角的大小是(　　).
A. B.
C. D.
3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=3，點M滿足=2.
(1)用，表示向量；
(2)求||.
【題型探究】
　求向量的長度
如圖，四邊形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F.求證：AF=AE.
【方法總結】求向量的長度的兩種基本策略：(1)字母表示向量的運算，利用|a|2=a2，將向量的模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題；(2)坐標表示向量的運算，若a=(x，y)，則a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=.
已知=(4，0)，=(2，2)，=(1-λ)+λ(λ2≠λ).
(1)求·及在上的投影數量；
(2)證明A，B，C三點共線，并求當=時，實數λ的值；
(3)求||的最小值.
　求向量夾角
在四邊形ABCD中，已知A(0，0)，B(4，0)，C(3，2)，D(1，2).
(1)判斷四邊形ABCD的形狀；
(2)若=2，求向量與夾角的余弦值.
【變式設問】將本例(2)改為“若=λ，且向量與的夾角為鈍角，求λ的取值范圍”.
【方法總結】用數量積求解向量夾角的一般步驟：(1)利用平面向量數量積的坐標表示求出兩向量的數量積；(2)求出兩向量的模；(3)由公式cos θ=，計算cos θ的值；(4)在[0，π]內，由cos θ的值確定角θ.
已知a=(1，2)，b=(-2，-4)，|c|=.
(1)求|a+2b|；
(2)若(a+b)·c=，求向量a與c的夾角.
　向量的綜合應用
在平面直角坐標系xOy中，已知向量=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，且∥.
(1)若已知M(1，1)，N(y+1，2)，y∈[0，2]，求·的范圍；
(2)若⊥，求四邊形ABCD的面積.
【方法總結】用向量解決平面幾何問題的步驟：(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.
已知函數f(x)為二次函數，O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)分別為函數f(x)圖象上的三點，M為f(x)圖象上的任意一點.
(1)求·的最小值；
(2)若PQ是以AB為直徑的圓的一條直徑，求·的取值范圍.
【強化訓練】
1.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若2a-b與b垂直，則|a|等于(　　).
A.1 B. C.2 D.4
2.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，則a與b的夾角的大小為　　　　.
3.如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，O是原點，已知點A(16，12)，B(-5，15).
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
參考答案
課時4　利用數量積計算長度與角度
課前檢測·查基礎
1.B　【解析】因為a·b=(1，)·(3，m)=3+m，
又a·b=××cos，
所以3+m=××cos，所以m=.
2.D　【解析】由b·(a-b)=-7得a·b-b2=-7，即有a·b=-7+b2=-3，而a=(-1，)，則|a|==，
于是cos===-，又0≤≤π，解得=，
所以a與b的夾角的大小是.故選D.
3.【解析】(法一)(1)=+=+=+-=+.
(2)||2=+2=+·+=||2+0+||2=×32+×32=5，
∴||=.
(法二)如圖，建立平面直角坐標系，
由題意知，A(3，0)，B(0，3).
設M(x，y)，由=2，得(x，y-3)=2(3-x，-y)，
∴∴
∴M(2，1).
(1)設=λ1+λ2，可求出λ1=，λ2=，
∴=+.
(2)∵=(2，1)，∴||==.
題型探究·悟思路
探究1
例1　【解析】如圖，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則A(-1，1)，B(0，1).
設E(x，y)，則=(x，y-1)，=(1，-1).
∵∥，∴-x-1×(y-1)=0，
∴x+y-1=0.
∵||=||，∴x2+y2-2=0.
由得或(舍去)，
∴E，.
設F(x'，1)，則由=(x'，1)和=，共線，得x'-=0，解得x'=-2-，∴F(-2-，1)，∴=(-1-，0)，=，-，
∴||==1+=||，
∴AF=AE.
針對訓練　【解析】(1)由題意知·=8，
設與的夾角為θ，
則cos θ===，
所以在上的投影數量為||cos θ=4×=2.
(2)=-=(-2，2)，=-=(1-λ)-(1-λ)=(λ-1)，
因為與有公共點B，所以A，B，C三點共線.
當=時，λ-1=1，所以λ=2.
(3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2
=16λ2-16λ+16=16λ-2+12，
所以當λ=時，||取到最小值，最小值為2.
探究2
例2　【解析】(1)因為=(2，0)，=(4，0)，所以=2.
又因為||==，||==，
所以四邊形ABCD是等腰梯形.
(2)設E(x，y)，所以=(x，y)，=(3-x，2-y).
因為=2，所以解得
所以=2，-，=1，.
設向量與的夾角為θ，
則cos θ===，
故向量與夾角的余弦值為.
變式設問　提示　設E(x，y)，所以=(x，y)，=(3-x，2-y)，
因為=λ，所以解得
所以=4-，-，
=3-，2-.
由(t為實數)，解得λ>12.
針對訓練　【解析】(1)∵a+2b=(1，2)+2(-2，-4)=(-3，-6)，
∴|a+2b|==3.
(2)∵b=(-2，-4)=-2(1，2)=-2a，
∴a+b=-a，∴(a+b)·c=-a·c=.
設a與c的夾角為θ，則cos θ===-.
∵0≤θ≤π，∴θ=π，即a與c的夾角為.
探究3
例3　【解析】(1)由題意得=++=(x+4，y-2)，
因為∥，=(x，y)，所以(x+4)y-(y-2)x=0，
即x+2y=0.
因為·=(x+1)y=(-2y+1)y=-2y2+y=-2y-2+，y∈[0，2]，
所以·的取值范圍是-6，.
(2)由題意得=+=(x+6，y+1)，=+=(x-2，y-3).
因為⊥，
所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0，
即x2+y2+4x-2y-15=0.
由
解得或
當時，=(8，0)，=(0，-4)，
S四邊形ABCD=|AC||BD|=16；
當時，=(0，4)，=(-8，0)，
S四邊形ABCD=|AC||BD|=16.
故四邊形ABCD的面積為16.
針對訓練　【解析】(1)根據題意，設f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，代入O，A，B三點的坐標可得
解得所以f(x)=x2.
設M(x，y)，則=(-2-x，1-y)，=(2-x，1-y)，x2=4y，
所以·=x2-4+(y-1)2=(y+1)2-4.
因為y≥0，所以(y+1)2≥1.
所以·≥-3，當y=0時，等號成立.
故·的最小值為-3.
(2)設AB的中點(0，1)為D，
因為PQ為圓D的直徑，所以|PQ|=|AB|=4，=-，
則=+，=+=-，
所以·=(+)·(-)=||2-||2=||2-4，
因為||2=x2+(y-1)2=(y+1)2≥1，當y=0時等號成立，
所以||2-4≥-3，所以·的取值范圍為[-3，+∞).
強化訓練·精評價
1.C　【解析】∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0，∴n=±，∴|a|==2.
2.　【解析】設a與b的夾角的大小為θ，
則cos θ==，
又θ∈[0，π]，所以θ=.
3.【解析】(1)由=(16，12)，
=-=(-21，3)，
得||==20，||==15.
(2)因為cos∠OAB=cos<，>=，
又·=-·
=-(16，12)·(-21，3)
=-[16×(-21)+12×3]=300，
所以cos∠OAB==，
故∠OAB=45°.

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