資源簡介

2.6.1 余弦定理
【學習目標】
1.了解向量法證明余弦定理的推導過程.(邏輯推理)
2.掌握余弦定理及其推論，并能用其解決一些簡單的三角形度量問題.(數學運算)
3.能運用余弦定理判斷三角形的形狀.(邏輯推理)
【自主預習】
1.在a2=b2+c2-2bccos A中，若A=90°，公式會變成什么
2.在△ABC中，“A>90°” “a23.在三角形中，大邊對大角，小邊對小角，正確嗎
4.利用余弦定理可以解決哪兩類三角形問題
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)在△ABC中，已知兩邊及夾角時，△ABC不一定唯一. (　　)
(2)在△ABC中，三邊一角隨便給出三個，可求其余一個. (　　)
(3)在△ABC中，若a2+b2-c2=0，則角C為直角. (　　)
(4)在△ABC中，若a2+b2-c2>0，則角C為鈍角. (　　)
2.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，則c=(　　).
A. B.8 C.10 D.7
3.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=，c=2，cos A=，則b=(　　).
A. B. C.2 D.3
4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2-c2+b2=ab，則cos C=　　　　.
【合作探究】
　余弦定理
問題1：在初中數學學習中，判定三角形全等的方法有哪些
問題2：給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的嗎 為什么 你能用數學知識解釋一下嗎
問題3：已知三角形的兩邊a，b及它們的夾角C，如何求第三邊c
問題4：余弦定理的適用范圍、結構特征是什么
1.余弦定理
三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍，即a2= ，b2= ，c2= .
2.余弦定理的推論
cos A= ，cos B= ，
cos C= .
3.一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫作三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作 .
在△ABC中，AB=2，D為AB的中點，若BC=DC=，則AC的長為　　　　.
【方法總結】對余弦定理的理解
(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立.
(2)結構特征：“平方”“夾角”“余弦”.
(3)揭示的規律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系.
(4)主要功能：實現三角形中邊角關系的互化.
在△ABC中，角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，則bccos A+accos B+abcos C的值為　　　　.
　余弦定理及其推論的應用
問題：已知三角形的兩邊及其夾角，三角形的其他元素是否唯一確定 利用余弦定理可解決哪幾類三角形問題
運用余弦定理及其推論可解決兩類解三角形的問題：一類是已知 解三角形，另一類是已知 解三角形.
(1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，求角A，角C和邊a.
【方法總結】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊.
在△ABC中，若AB=，AC=5，且cos C=，則BC=　　　　.
在△ABC中，a=1，b=2，cos C=，則c=　　　　，cos A=　　　　.
在△ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求最小角的大小.
　利用余弦定理判斷三角形的形狀
在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且sin A=sin B，試確定△ABC的形狀.
【方法總結】由余弦定理的推論cos A=可以看出：若①a2=b2+c2，則cos A=0，A=90°；若②a20，A<90°；若③a2>b2+c2，則cos A<0，A>90°.故余弦定理可以視為勾股定理的推廣形式，從①和③式可判斷三角形是直角或鈍角三角形，由②式判斷不出三角形的形狀，還要考慮B或C的大小.利用余弦定理判斷三角形的形狀是利用余弦定理或推論把已知條件轉化為邊的關系，通過因式分解、配方等方法得出邊或角的相應關系，從而判斷出三角形的形狀.利用余弦定理判斷三角形形狀的過程也體現了邏輯推理的素養的滲透與養成.
在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c2=bccos A+cacos B+abcos C，則△ABC是 三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)
【隨堂檢測】
1.已知a，b，c是△ABC的三邊長，若滿足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab，則角C的大小為(　　).
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.在△ABC中，a=7，b=4，c=，則△ABC的最小角的大小為(　　).
A. B. C. D.
3.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若>0，則△ABC(　　).
A.一定是銳角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形
D.可能是銳角三角形，也可能是直角三角形
4.已知a，b，c為△ABC的三邊，B=120°，則a2+c2+ac-b2=　　　　.
參考答案
課時1　余弦定理
自主預習·悟新知
預學憶思
1.公式會變成a2=b2+c2，即勾股定理.
2.不成立，應是b2+c23.正確.
4.(1)已知三邊，求各角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.D　【解析】由余弦定理得c
===7.
故選D.
3.D　【解析】由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×，解得b=3或b=-(舍去).故選D.
4.　【解析】∵a2-c2+b2=ab，∴c2=a2+b2-ab.
又∵c2=a2+b2-2abcos C，
∴2cos C=1，∴cos C=.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：在初中數學學習中，判定三角形全等的方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
問題2：因為兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(SAS)，所以給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.
問題3：因為涉及三角形的兩邊長和它們的夾角，所以可以考慮用向量的數量積來求，即c2=||2=(-)2=+-2·=a2+b2-2abcos C.
問題4：余弦定理對任意的三角形都成立；結構特征：“平方”“夾角”“余弦”.
新知生成
1. b2+c2-2bccos A　a2+c2-2accos B　a2+b2-2abcos C
2.　　
3.解三角形
新知運用
例1　2　【解析】在△BCD中，BC=DC=，BD=AB=1，由余弦定理的推論，得cos B===.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=4+2-2×2××=4，解得AC=2，所以AC的長為2.
鞏固訓練　　【解析】原式=bc·+ac·+ab·==.
探究2　情境設置
問題：由余弦定理可知，不妨設a，b邊和其夾角C已知，則c2=a2+b2-2abcos C，c唯一，cos B=，因為0新知生成
兩邊及其夾角　三邊
新知運用
例2　【解析】(1)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3，所以a=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°，
即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6.
當a=3時，A=30°，C=120°；
當a=6時，由余弦定理得cos A==0，A=90°，C=60°.
鞏固訓練1　4或5　【解析】由余弦定理得()2=52+BC2-2×5×BC×，
所以BC2-9BC+20=0，解得BC=4或BC=5.
鞏固訓練2　2　　【解析】根據余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4，解得c=2.由a=1，b=2，c=2，得cos A==.
鞏固訓練3　【解析】易知a根據余弦定理的推論，得cos A===.
∵A∈(0°，180°)，∴A=30°，
∴最小角的大小為30°.
探究3
例3　【解析】∵sin A=sin B，A與B均為△ABC的內角，∴A=B.
由(a+b+c)(a+b-c)=3ab，得(a+b)2-c2=3ab，
∴a2+b2-c2=ab，
∴cos C=，C=60°，∴△ABC為等邊三角形.
鞏固訓練　直角　【解析】由余弦定理得c2=bc·+ac·+ab·，
整理得c2=a2+b2，∴△ABC是直角三角形.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得(a+b)2-c2=ab，∴a2+b2+ab=c2=a2+b2-2abcos C，∴cos C=-，∴△ABC的內角C=120°.
2.B　【解析】由三角形的邊角關系可知，角C為△ABC的最小角，則cos C===，所以C=.
3.C　【解析】由>0，得cos C<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.
4.0　【解析】∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac，∴a2+c2+ac-b2=0.

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