資源簡介

2.6.2 正弦定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解正弦定理的推導(dǎo)過程.(邏輯推理)
2.掌握正弦定理并能解決一些簡單的三角形問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.如圖，在Rt△ABC中，，，存在什么關(guān)系
2.在一般的△ABC中，==還成立嗎
3.在正弦定理中，三角形的各邊與其所對(duì)角的正弦的比都相等，那么這個(gè)比值等于多少 與該三角形外接圓的直徑有什么關(guān)系
4.已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個(gè)數(shù)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)正弦定理對(duì)任意的三角形都成立. (　　)
(2)在△ABC中，等式bsin C=csin B總能成立. (　　)
(3)在△ABC中，已知a，b，A，則能求出唯一的角B. (　　)
(4)任意給出三角形的三個(gè)元素，都能求出其余元素. (　　)
2.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，則sin B=(　　).
A. B. C. D.
3.在△ABC中，A=30°，a=3，b=2，則這個(gè)三角形有(　　).
A.一解 B.兩解
C.無解 D.無法確定
4.已知△ABC的外接圓半徑為2，A=60°，則BC邊的長為　　　　.
【合作探究】
　正弦定理
如圖，在Rt△ABC中，A=30°，斜邊c=2.
問題1：試求△ABC其他的邊和角，計(jì)算，，的值，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎
問題2：對(duì)于其他的直角三角形，此結(jié)論是否成立呢 是否能夠猜測(cè)，此結(jié)論對(duì)于其他的銳角和鈍角三角形都成立呢
1.正弦定理
在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即= = = .
2.正弦定理的變形
設(shè)三角形的三邊長為a，b，c，外接圓的半徑為R，正弦定理有如下變形：
(1)a=2Rsin A，b= ，c= ；
(2)sin A=，sin B= ，sin C= ；
(3)a∶b∶c=sin A∶ ∶ ；
(4)===.
(1)在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b=2asin B，則角A等于(　　).
A.30° B.45° C.60° D.75°
(2)在△ABC中，A∶B∶C=4∶1∶1，則a∶b∶c=(　　).
A.4∶1∶1 B.2∶1∶1
C.∶1∶1 D.∶1∶1
【方法總結(jié)】對(duì)正弦定理的理解
(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立.
(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式.
(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.
(4)主要功能：實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
在△ABC中，若=，則B的值為　　　　.
在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若b=a，B=60°，則A=　　　　.
　利用正弦定理解三角形
木工張師傅的一個(gè)三角形形狀的模型壞了，只剩下如圖所示的部分，A=47°，B=53°，AB長為1 m，張師傅想修好這個(gè)零件，但他不知道AC和BC的長度是多少，你能幫張師傅這個(gè)忙嗎
問題：完成情境中的問題求解.
利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：
(1)已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和第三個(gè)角；
(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而求出其他的邊和角.
在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，求A，b，c.
【方法總結(jié)】在解三角形時(shí)，常用到以下結(jié)論：
(1)a+b>c，b+c>a，a+c>b，即任意兩邊之和大于第三邊.
(2)在△ABC中，①sin A=sin B A=B a=b，②cos A=cos B A=B a=b，③cos A>cos B A(3)在△ABC中，A>B a>b sin A>sin B，即大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角.
(4)三角形內(nèi)角和定理及相關(guān)結(jié)論：A+B+C=π，A+B=π-C，=-，sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，sin =cos ，cos =sin .
(5)在銳角△ABC中，A+B> A>-B sin A>cos B cos A(6)若sin 2A=sin 2B，則A=B或A+B=.
△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=　　　　.
△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c=，b=，B=120°，則a=　　　　.
　三角形解的個(gè)數(shù)的判斷
在△ABC中，a=9，b=10，A=60°.
問題：你能判斷三角形解的個(gè)數(shù)嗎
已知三角形的兩角和任意一邊，求其他兩邊和第三個(gè)角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.以已知a，b和A解三角形為例說明：
圖形 關(guān)系式 解的個(gè)數(shù)
A 為 銳 角 ①a=bsin A； ②a≥b
bsin A無解
(1)已知在△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么解此三角形可得(　　).
A.一解 B.兩解
C.無解 D.解的個(gè)數(shù)不確定
(2)在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，則B=　　　　.
【方法總結(jié)】1.已知三角形的兩角與其中一邊，可用正弦定理求出三角形的其他元素，此類題有唯一解.
2.已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角，三角形形狀一般不確定.用正弦定理求解時(shí)需判斷是否有解，有一個(gè)解，還是兩個(gè)解，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題.
已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對(duì)角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a=10，b=20，A=80°；
(2)a=2，b=6，A=30°.
　利用正弦定理判斷三角形的形狀
在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀.
【方法總結(jié)】判斷三角形的形狀，可以從三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷.判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.利用正弦定理判斷三角形形狀的過程，也體現(xiàn)了邏輯推理素養(yǎng)的滲透與養(yǎng)成.
在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a2+b2)(sin Acos B-cos Asin B)=(a2-b2)·sin C，試判斷三角形的形狀.
【隨堂檢測(cè)】
1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則下列各式正確的是(　　).
A.= B.=
C.asin B=bsin A D.=
2.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，則B等于(　　).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上答案都不對(duì)
3.在△ABC中，a=bsin A，則△ABC一定是(　　).
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b=2，B=45°.若利用正弦定理解△ABC僅有唯一解，則a的取值范圍是　　　　　　　.
參考答案
課時(shí)2　正弦定理
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.===c.
2.在一般的△ABC中，==仍然成立.
3.等于2R(R為該三角形外接圓的半徑)，與該三角形外接圓的直徑相等.
4.如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等.即三角形的兩邊及其夾角確定時(shí)，三角形的六個(gè)元素即可完全確定，故不必考慮解的個(gè)數(shù)的問題.
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.A　【解析】由于=，故=，解得sin B=.故選A.
3.A　【解析】∵b4.2　【解析】因?yàn)?2R(R為△ABC的外接圓半徑)，所以BC=2Rsin A=4sin 60°=2.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1：B=60°，C=90°，a=1，b=；=2，=2，=2，三者的值相等.
問題2：
對(duì)于其他的直角三角形結(jié)論成立.如圖，在Rt△ABC中，sin A=，sin B=，∴=c，=c.
∵sin C=1，∴==.
可以猜測(cè)，此結(jié)論對(duì)于其他的銳角或鈍角三角形都成立.
新知生成
1.　　2R(R為外接圓半徑)
2.(1)2Rsin B　2Rsin C　(2)　　(3)sin B　sin C
新知運(yùn)用
例1　(1)A　(2)D　【解析】(1)∵b=2asin B，∴利用正弦定理的變式得sin B=2sin Asin B.
∵sin B≠0，A為銳角，∴sin A=，A=30°.
(2)∵A+B+C=180°，A∶B∶C=4∶1∶1，∴A=120°，B=30°，C=30°.由正弦定理的變形公式得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 120°∶sin 30°∶sin 30°=∶∶=∶1∶1.
鞏固訓(xùn)練1　45°　【解析】根據(jù)正弦定理知=，結(jié)合已知條件可得sin B=cos B，又0°鞏固訓(xùn)練2　30°　【解析】∵b=a，∴sin B=sin A.
又∵B=60°，∴=sin A，
∴sin A=，∴A=30°或A=150°，
又∵b=a>a，∴A=30°.
探究2　情境設(shè)置
問題：C=180°-A-B=80°，利用正弦定理==，可得BC==，AC==，利用計(jì)算器計(jì)算相關(guān)三角函數(shù)值可求出BC，AC的長度.
新知運(yùn)用
例2　【解析】A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由=，得b===4，
由=，得c====4+4.
故A=45°，b=4，c=4+4.
鞏固訓(xùn)練1　75°　【解析】由題意得=，所以sin B===.因?yàn)閎鞏固訓(xùn)練2　　【解析】在△ABC中，由正弦定理，得=，所以sin C==，所以C=30°或C=150°(舍去)，所以A=30°，所以a=c=.
探究3　情境設(shè)置
問題：因?yàn)閟in B=sin A=×=，而<<1，所以60°新知生成
一解　兩解　a新知運(yùn)用
例3　 (1)C　 (2)105°或15°　【解析】(1)∵c=2，bsin C=2，∴c(2)根據(jù)正弦定理=，得sin C===.∴C=45°或C=135°.當(dāng)C=45°時(shí)，B=105°；當(dāng)C=135°時(shí)，B=15°.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)∵bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10，∴a(2)∵bsin A=6sin 30°=3，a>bsin A，∴bsin A∴本題有兩解.
由正弦定理得sin B===.又∵0°當(dāng)B=60°時(shí)，C=90°，c===4；
當(dāng)B=120°時(shí)，C=30°，c===2.
探究4
例4　【解析】根據(jù)正弦定理，得==，
∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角，B+C=90°，
∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1，
∴sin B=.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形.
鞏固訓(xùn)練　【解析】由正弦定理和余弦定理得(a2+b2)a·-·b=(a2-b2)·c，
化簡得(a2+b2)(a2-b2)=c2(a2-b2)，
所以(a2+b2-c2)(a2-b2)=0，即a2+b2=c2或a=b，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.C　【解析】在△ABC中，由正弦定理得==，
∴asin B=bsin A，==，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確.
2.C　【解析】∵sin B===，∴B=45°或B=135°.但當(dāng)B=135°時(shí)，不符合題意，∴B=45°.
3.B　【解析】由正弦定理和a=bsin A，得sin A=sin Bsin A，易得sin A≠0，所以sin B=1，所以B=.
4.(0，2]∪{2}　【解析】由正弦定理得==2，所以a=2sin A，
因?yàn)锽=45°，所以A+C=180°-45°=135°，
因?yàn)椤鰽BC僅有唯一解，所以A，C的值確定.
當(dāng)A≤45°時(shí)，C≥90°，△ABC僅有唯一解，此時(shí)0當(dāng)A=90°時(shí)，C=45°，△ABC僅有唯一解，此時(shí)a=2；
當(dāng)45°綜上，a的取值范圍是(0，2]∪{2}.

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