資源簡介

2.6.3 利用余弦定理和正弦定理解三角形
【學習目標】
1.能夠解決平面幾何中的解三角形問題.(直觀想象)
2.初步解決正、余弦定理與向量等知識的綜合問題.(邏輯推理)
3.能夠解決與三角形有關的最值(取值范圍)問題.(數學運算)
【課前檢測】
1.在△ABC中，已知∠ABC=，AB=，BC=3，則sin∠BAC=(　　).
A. B. C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=，b=3，c=2，則·=(　　).
A.10 B.12 C.10 D.12
3.在△ABC中，若b=2，A=120°，其面積S=，則△ABC外接圓的半徑為(　　).
A. B.2 C.2 D.4
4.在△ABC中，a=2b-c，sin B=2sin C，則cos A的值為　　　　.
【題型探究】
　平面幾何中的解三角形問題
如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=，AB⊥AD，AB=1，AC=.
(1)求△ABC的面積；
(2)若∠ADC=，求CD的長.
【方法總結】求解與平面圖形有關的解三角形問題的關鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數據化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關系.
已知在△ABC中，D是邊BC上一點，AD=，∠ADC=，∠ACD=.
(1)求AC的長；
(2)若AB=，求△ABC的面積.
　平面向量與正弦定理、余弦定理的綜合
在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AD為∠BAC的平分線，且滿足4-3=，AD=.
(1)若BD=，c=，求∠BAC的大小；
(2)若4c+a=8，求△ABC的面積.
【方法總結】正、余弦定理將三角形中的邊和角的關系進行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據，而三角形中的問題常與向量、函數、方程及平面幾何相結合，通常可以利用正、余弦定理完成證明、求值等問題.(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉化求解.(2)解三角形與其他知識的交匯問題，可以運用三角形的基礎知識，正、余弦定理，三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價轉化或構造方程及函數求解.
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量m=(sin A，sin B)，n=(cos A，cos B)，p=2，2sin A，m∥n，|p|=，求角A，B，C的值.
　解三角形中的最值(取值范圍)問題
已知函數f(x)=sin2x++.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)=，b+c=3，求a的最小值.
【方法總結】在解答與解三角形有關的最值(取值范圍)問題時，要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題.在解題過程中，要搞清已知變量的取值范圍，利用已知的取值范圍進行求解，已知邊的取值范圍求角的取值范圍時，可以利用余弦定理進行轉化.
設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=btan A，且B為鈍角.
(1)證明：B-A=.
(2)求sin A-2sin2A的取值范圍.
【強化訓練】
1.在△ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且b2=ac，a+c=3，cos B=，則·=(　　).
A. B.- C.3 D.-3
2.已知銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos A=，a=7，c=6，則b=(　　).
A.10 B.9 C.8 D.5
3.在△ABC中，已知A=105°，B=30°，BC=，BD為角B的平分線，則BD的長度為(　　).
A. B. C.1 D.2
4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c=，b=1，C=120°.
(1)求B的大小；
(2)求△ABC的面積S.
參考答案
課時3　利用余弦定理和正弦定理解三角形
課前檢測·查基礎
1.C　【解析】由余弦定理得AC==，由正弦定理得=，所以sin∠CAB==.
2.B　【解析】由余弦定理得cos A===，所以·=||||cos A=12.
3.B　【解析】∵S=bcsin A，∴=×2csin 120°，∴c=2，
∴a=
= =2，
設△ABC外接圓的半徑為R，∴2R===4，
∴R=2.
4.　【解析】由sin B=2sin C以及正弦定理，得b=2c.
又因為a=2b-c=3c，所以a=c.
由余弦定理的推論，得cos A===.
題型探究·悟思路
探究1
例1　【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，
即5=1+BC2+BC，解得BC=，
所以△ABC的面積S=AB·BC·sin∠ABC=×1××=.
(2)設∠CAD=θ，則θ=-∠BAC，所以sin θ=cos∠BAC.
又因為cos∠BAC===，
所以sin θ=.
在△ACD中，由正弦定理得=，即=，
所以CD===4.
針對訓練　【解析】(1)∵∠ADC=，∠ACD=，AD=，
∴在△ADC中，=，
即=，
∴AC=.
(2)在△ABC中，AB=AC=，∠ACD=，
∴△ABC為等腰直角三角形，
故△ABC的面積為AB·AC=××=.
探究2
例2　【解析】由4-3=，可得=4，
在△ABD中，由正弦定理得=，
在△ACD中，由正弦定理得=，
又AD平分∠BAC，∴AC=3AB，即b=3c(也可由角平分線定理直接得到)，
令BD=m，則CD=3m.
(1)由m=，c=，得b=3c=4，a=4m=，
由余弦定理可得cos∠BAC==，
∵∠BAC為三角形內角，∴∠BAC=60°.
(2)在△ABD中，由余弦定理可得cos B=，
在△ABC中，由余弦定理可得cos B=，
化簡得c2=m2+1.
由4c+a=8，可得c=2-m，
∴c2=m2-4m+4，∴m=，
∴a=3，b=，c=，
∴cos B===-，
sin B=，
∴S△ABC=acsin B=×3××=.
針對訓練　【解析】∵m∥n，∴sin Acos B=sin Bcos A.
由正弦定理和余弦定理得a·=b·，
∴a=b，∴A=B，
而p2=|p|2=4cos A+4sin2A=5，
∴4cos A+4(1-cos2A)=5，
∴4cos2A-4cos A+1=0，∴(2cos A-1)2=0，
∴cos A=.又0∴A=B=C=.
探究3
例3　【解析】 由題意得f(A)=sin2A++=，
∴sin2A+=.
∵A∈(0，π)，∴2A+∈，，
∴2A+=，解得A=.
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc.
∵b+c=3，∴(b+c)2-3bc=9-3b(3-b)=3b-2+≥，當b=時取等號，即a2≥，∴a的最小值為.
針對訓練　【解析】(1)由a=btan A及正弦定理，得==，
所以sin B=cos A，即sin B=sin+A.
因為B為鈍角，所以A為銳角，所以+A∈，π，則B=+A，即B-A=.
(2)由(1)知，C=π-(A+B)=π-2A+=-2A>0，所以A∈0，.
于是-2sin2A+sin A=-2sin A-2+.
因為0因此-1<-2sin A-2+≤.
由此可知sin A-2sin2A的取值范圍是-1，.
強化訓練·精評價
1.B　【解析】由b2=ac，a+c=3，cos B=，
得==，
解得ac=2，
則·=ac·cos(π-B)
=2×-=-.
2.D　【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即49=b2+36-2×b×6×，
整理得5b2-12b-65=0，解得b=5或b=-(舍去).
3.C　【解析】如圖，
在△BCD中，∠CBD=15°，∠C=45°，∠CDB=120°，
∵=，
∴BD===1.
4.【解析】(1)由正弦定理=，得sin B===，
因為b(2)因為A+B+C=180°，
所以A=180°-120°-30°=30°，
所以S△ABC=bcsin A=×1××=.

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