資源簡介

2.6.4 余弦定理、正弦定理應用舉例
【學習目標】
1.熟練掌握正、余弦定理.(數學抽象)
2.能夠運用正、余弦定理等知識和方法求解距離、高度、角度問題.(數學抽象)
【自主預習】
1.在浩瀚無垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向.閱讀教材，看看船只是如何表達位置和航向的
2.方位角和方向角是如何定義的
3.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，試寫出用兩邊及夾角表示的三角形面積公式.
4.如何不登月測量地月的大致距離
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)仰角是視線與視線在水平面的射影的夾角. (　　)
(2)兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解. (　　)
(3)兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解. (　　)
(4)高度問題大多通過正(余)弦定理構造直角三角形來解決. (　　)
2.如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以計算出A，B兩點的距離為(　　).
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
3.如圖，要測出山上一座天文臺BC的高，從山腰A處測得AC=60 m，天文臺最高處B的仰角為45°，天文臺底部C的仰角為15°，則天文臺BC的高為(　　).
A.20 m
B.30 m
C.20 m
D.30 m
4.一船以15 km/h的速度向東行駛，船在A處看到一燈塔B在北偏東60°的方向上，行駛4 h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°的方向上，這時船與燈塔的距離為　　　　km.
【合作探究】
　測量距離問題
問題1：如圖所示，A，B兩點在河的兩岸，在點A的一側，需測出哪些量，可以求出A，B兩點的距離
問題2：如圖所示，A，B兩點都在河的對岸(不可到達)，結合圖形，需測出哪些量，可以求出A，B兩點間的距離
1.基線的概念與選擇原則
(1)定義：在測量上，根據測量需要適當確定的 叫作基線.
(2)性質：在測量過程中，要根據實際需要選取合適的 ，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越 .
2.測量不可到達的兩點間的距離，若是其中一點可以到達，利用一個三角形即可解決，一般用正弦定理；若兩點均不可到達，則需用3個三角形才能解決，一般正、余弦定理都要用到.
如圖，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀察對岸的點C，測得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米，則該河段的寬度為　　　　米.參考數據：sin 75°=
在某次軍事演習中，紅方為了準確分析戰場形勢，在兩個相距為a的軍事基地C和D測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如圖所示，則藍方這兩支精銳部隊的距離是　　　　.參考數據：sin 75°=
【方法總結】三角形中與距離有關的問題的求解策略：
(1)解決三角形中與距離有關的問題時，若在一個三角形中，則直接利用正弦定理、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，則要根據條件選擇適當的三角形，再利用正弦定理、余弦定理求解.
(2)解決三角形中與距離有關的問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正弦定理、余弦定理來解決.
如圖，貨輪在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC=140°，A處有燈塔，方位角∠NBA=110°.在C處觀察燈塔A的方位角∠N'CA=35°，由B到C需要航行半小時，則C到燈塔A的距離是(　　).參考數據：sin 75°=
A.10 km
B.10 km
C.10(-)km
D.10(+)km
某市電力部門在抗雪救災的某項重建工程中，需要在A，B兩地之間架設高壓電線，因地理條件限制，不能直接測量A，B兩地的距離.如圖，現測量人員在相距 km的C，D兩地(假設A，B，C，D在同一平面上)，測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實際所需電線長度大約是A，B距離的倍，則施工單位至少應該準備　　　　　km長的電線.參考數據：sin 75°=
　測量高度問題
問題：小明要測量底部不能到達的某電視塔的高度.如圖，他選定了離地面高度為15 m的一個地點，他測得電視塔底的俯角為30°，塔頂的仰角為62°.由此估測該電視塔的高為多少 (精確到0.1 m)
1.仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫 ，目標視線在水平視線下方時叫 (如圖所示).
視角：從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的 ，如圖所示，視角50°指的是觀察該物體的兩端視線張開的角度.
一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿A向北偏東30°方向前進100 m到達B處，在B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是(　　).
A.50 m B.100 m
C.120 m D.150 m
【方法總結】解題思路
某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進1 000 m后到達D處，又測得山頂B的仰角為65°，則山的高度約為　　　　m.(精確到1 m，參考數據：≈1.414，sin 35°≈0.574)
　測量角度問題
請結合下圖，探究下面的問題.
問題：你能用方向角表述圖中的角嗎
1.方向角
從指定方向線到 方向線所成的水平角.如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°(如圖所示).
2.方位角
從正北方向 轉到目標方向線所成的水平角.如點B的方位角為α(如圖所示).
方位角的取值范圍： .
甲船在A點發現乙船在北偏東60°的B處，乙船以a海里/時的速度向北行駛，已知甲船的速度是a海里/時，問甲船應沿什么方向前進才能最快與乙船相遇
【方法總結】運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟：
(1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形).
(2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關三角形中，建立一個解三角形的數學模型.
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數學模型的解.
(4)檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.
如圖所示，在海岸A處發現北偏東45°方向，距A處(-1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問：緝私船應
沿什么方向行駛才能最快截獲走私船 并求出所需時間.
【隨堂檢測】
1.學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4 m，A=30°，則其跨度AB的長為(　　).
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
2.身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20 m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有(　　).
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
3.某位居民站在離地20 m高的陽臺上觀測到對面小高層房頂的仰角為60°，小高層底部的俯角為45°，那么這棟小高層的高度為　　　　m.
4.在高出海平面200 m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時兩船間的距離為　　　　m.
參考答案
課時4　余弦定理、正弦定理應用舉例
自主預習·悟新知
預學憶思
1.用方向角和方位角.
2.方位角：指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角.
方向角：從指定方向到目標方向線所成的水平角.如南偏西60°.
3.S=absin C=bcsin A=acsin B.
4.可以在地球上選兩點，與月亮構成三角形，測量地球上兩點的距離和這兩點看月亮的視角，通過解三角形求得地月的大致距離.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　【解析】在△ABC中，∠ABC=180°-45°-105°=30°，
由=，得AB=100×=50(m).
3.B　【解析】由題圖可得∠B=45°，∠BAC=30°，故BC===30(m).
4.30　【解析】
如圖所示，AC=15×4=60，
∠BAC=30°，∠B=45°，
在△ABC中，=，
∴BC=30.
故船與燈塔的距離為30 km.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：測量者在點A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離，∠BAC的大小，∠ACB的大小三個量.
問題2：結合圖形，需要測出CD的長，∠BCD的大小，∠BDC的大小，就可以計算出BC的長，同理可以計算出AC的長，再算出AB的長.故只需測量出圖中CD的長，角α，β，γ，δ的大小.
新知生成
1.(1)線段　(2)基線長度　高
新知運用
例1　(1)+50　(2)a　【解析】(1)在△CAB中，∠ACB=180°-75°-45°=60°，由正弦定理得=，于是BC===(3+)(米).
于是河段的寬度為d=BCsin∠CBA=(3+)×=+50(米).
(2)∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°，∠ACD=60°，
∴∠DAC=60°，∴AD=CD=AC=a.
在△BCD中，∠DBC=180°-30°-105°=45°，
∵=，∴BD=CD·=a·=a.
在△ADB中，∵AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB=a2+a2-2×a×a×=a2，∴AB=a，
∴藍方這兩支精銳部隊的距離為a.
鞏固訓練1　C　【解析】根據題意可知，在△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=75°，∠BAC=75°，BC=20 km，
根據正弦定理得，=，
所以AC=·sin∠ABC=·sin 30°=10(-)(km)，故選C.
鞏固訓練2　　【解析】在△ACD中，由已知可得∠CAD=30°，所以AC=CD= km.
在△BCD中，由已知可得∠CBD=60°，由正弦定理可得BC==(km).
在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠BCA=5，所以AB= km.
因此施工單位至少應該準備 km長的電線.
探究2　情境設置
問題：設人的位置為A，塔底為B，塔頂為C，過A作BC的垂線，垂足為D，
則∠DAB=30°，∠DAC=62°，BD=15 m，AB===30(m)，
所以BC=·sin∠CAB=·sin 92°≈63.9(m)，故電視塔的高約為63.9 m.
新知生成
1.仰角　俯角　2.夾角
新知運用
例2　A
　【解析】如圖，設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A=60°，AC=h，AB=100，BC=h，根據余弦定理得，(h)2=h2+1002-2×h×100×cos 60°，即h2+50h-5 000=0，解得h=50或h=-100(舍去)，故水柱的高度是50 m.
鞏固訓練　811　【解析】如圖，過點D作DE∥AC交BC于點E，
因為∠DAC=20°，
所以∠ADE=160°，
于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.
又∠BAD=35°-20°=15°，所以∠ABD=30°.
在△ABD中，由正弦定理，
得AB===1 000(m).
在Rt△ABC中，BC=ABsin 35°≈811(m)，
所以山的高度約為811 m.
探究3　情境設置
問題：情境圖中AB的方向角是北偏東75°，BC的方向角是北偏東32°.
新知生成
1.目標
2.順時針　[0°，360°)
新知運用
例3　【解析】如圖所示.
設經過t小時兩船在C點相遇，則在△ABC中，BC=at，AC=at，∠B=180°-60°=120°.由=，得sin∠CAB====.
∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB=30°，∴∠DAC=60°-30°=30°，
∴甲船應沿北偏東30°的方向前進才能最快與乙船相遇.
鞏固訓練　【解析】設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD=10t海里，BD=10t海里.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=(-1)2+22-2(-1)×2×cos 120°=6，
∴BC=海里.
又∵=，∴sin∠ABC===.
又∠ABC是銳角，
∴∠ABC=45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD=90°+30°=120°.
在△BCD中，由正弦定理，得=.
∴sin∠BCD===，∴∠BCD=30°，
∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛.
又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°，∴∠D=30°.
∴BD=BC，即10t=，∴t=小時≈15分鐘，
∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】由題意知A=B=30°，所以C=180°-30°-30°=120°.由正弦定理得=，即AB===4(m).
2.B　【解析】如圖，d1=，d2=，因為tan 50°>1>tan 40°，所以d120 m，故選B.
3.20(1+)　【解析】如
圖，設AB為陽臺的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線.由題意知AB=20 m，∠DAE=45°，∠CAE=60°，故AE=DE=AB=20 m，CE=AE·tan 60°=20(m)，所以CD=20(1+)(m).
4.200(+1)　【解析】過點A作AH⊥BC于點H，
由圖易知∠BAH=45°，∠CAH=60°，AH=200 m，則BH=AH=200 m，CH=AH·tan 60°=200(m).故兩船距離BC=BH+CH=200(+1)(m).

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