資源簡介

2.6.5 平面向量在幾何中的應(yīng)用舉例
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.會用向量法解決簡單的平面幾何問題，體會向量在數(shù)學(xué)問題中的作用.(數(shù)學(xué)抽象)
2.掌握用向量知識解決一些簡單的平面幾何問題的方法和步驟.(邏輯推理)
3.學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢缀螁栴}轉(zhuǎn)化為向量問題.(直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.如何用向量的方法判斷兩條直線平行或垂直
2.如何用向量的方法求兩條直線的夾角
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若B是線段AC的中點，則有+=2. (　　)
(2)若∥，則直線AB與CD平行. (　　)
(3)若∥，則A，B，C三點共線. (　　)
(4)若△ABC為直角三角形，則有·=0. (　　)
2.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，則BC邊的中線AD的長是(　　).
A.2 B. C.3 D.
3.在△ABC中，若(+)·(-)=0，則△ABC(　　).
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形狀無法確定
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的對角線OB的兩端點分別為O(0，0)，B(1，1)，則·=　　　　.
【合作探究】
　平面向量在幾何中的應(yīng)用
如圖所示，某水渠橫斷面是四邊形ABCD，=，且||=||.
問題1：如何判斷這個四邊形的形狀
問題2：對于結(jié)論“若a=b，則|a|=|b|，且a，b所在直線平行或重合”，你有什么體會
問題3：把直角三角形兩直角邊與斜邊的數(shù)量關(guān)系類比到矩形中，你能發(fā)現(xiàn)矩形兩對角線長度與兩鄰邊長度之間的關(guān)系嗎
用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用 表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為 問題.
(2)通過 運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，解決距離、夾角等問題.
(3)把 “翻譯”成幾何關(guān)系.
已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形，E為AB的中點，點F在BC上，且BF∶FC=2∶1，AF與EC相交于點P，求四邊形APCD的面積.
【方法總結(jié)】用向量法解決平面幾何問題的兩種方法
(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)囊唤M基(基中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行、夾角等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算問題.
如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對角線BD=2，求對角線AC的長.
　用向量法證明幾何問題
如圖所示，P，Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點，且AB∥CD.
(1)試用向量證明：PQ∥AB.
(2)若AB=3CD，求PQ∶AB的值.
【方法總結(jié)】利用向量法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量法解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種是選擇一組基，利用基向量表示涉及的向量；另一種是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo).這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明.
已知四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P，連接AP.用向量法證明：
(1)BE⊥CF；
(2)AP=AB.
【隨堂檢測】
1.已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點O，若=a，=b，=c，=d，且a+c=b+d，則四邊形ABCD為(　　).
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四邊形
2.已知在△ABC中，=a，=b，且a·b<0，則△ABC(　　).
A.為鈍角三角形 B.為直角三角形
C.為銳角三角形 D.形狀不能確定
3.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·的值是　　　　.
4.已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中點，E是AB上的一點，且AE=2EB.求證：AD⊥CE.
參考答案
課時5　平面向量在幾何中的應(yīng)用舉例
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.兩條直線的方向向量共線時，兩條直線平行或重合；兩條直線的方向向量垂直時，兩條直線垂直.
2.求兩條直線的方向向量所成的角.
自學(xué)檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由題意得BC的中點為D，6，=-，5，所以||=.
3.C　【解析】(+)·(-)=-=0，即||=||，∴CA=CB，則△ABC是等腰三角形.
4.1　【解析】由已知得A(1，0)，C(0，1)，所以=(0，1)，=(-1，1)，所以·=1.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1：利用向量共線和向量模的定義，證明該四邊形是等腰梯形.
問題2：可以用向量方法解決平面幾何問題.
問題3：矩形兩對角線的平方和等于四邊的平方和.
新知生成
(1)向量　向量　(2)向量　(3)運算結(jié)果
新知運用
例1　【解析】
以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，F(xiàn)(6，4)，E(3，0).
設(shè)P(x，y)，則=(x，y)，=(6，4)，=(x-3，y)，=(3，6).
由點A，P，F(xiàn)共線，點C，P，E共線，
得
解得
∴S四邊形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB
=6×6-×3×3-×3×6=.
鞏固訓(xùn)練　【解析】設(shè)=a，=b，則=a-b，=a+b.
∵||=|a-b|==
==2，
∴5-2a·b=4，∴a·b=.
又||=|a+b|===，∴AC=.
探究2
例2　【解析】(1)∵Q為BD的中點，∴+=2.
∵P為AC的中點，∴=2，
∴2=2-2=+-=++=+.
∵向量與共線，∴=λ，
∴2=(1+λ)，∴=.　①
在梯形ABCD中，||≠|(zhì)|，∴λ≠-1，∴∥，即PQ∥AB.
(2)∵向量與方向相反，AB=3CD，
∴=-3.
由(1)可知，λ=-，代入①式，得==，
∴PQ∶AB=.
鞏固訓(xùn)練　【解析】
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，其中A為原點，設(shè)AB=2，
則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(xiàn)(0，1).
(1)∵=-=(-1，2)，=-=(-2，-1)，
∴·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)設(shè)P(x，y)，則=(x，y-1)，=(x-2，y)，
由(1)知=(-2，-1)，=(-1，2)，
∵∥，∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2.　①
同理，由∥，得y=-2x+4.　②
由①②解得即P，，
∴=2+2=4=，
∴||=||，即AP=AB.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】由條件知+=+，則-=-，即=，∴四邊形ABCD為平行四邊形.
2.A　【解析】由條件知∠BAC為鈍角，故△ABC為鈍角三角形.
3.22　【解析】由=3，得==，=+=+，=-=+-=-.因為·=2，所以+·-=2，即-·-=2.又因為=25，=64，所以·=22.
4.【解析】以C為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略).
設(shè)AC=a，則C(0，0)，A(a，0)，B(0，a)，D0，，Ea，a，所以=-a，，=a，a，
因為·=-a·a+·a=0，所以⊥，即AD⊥CE.

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