資源簡介

2.6.6 平面向量在物理中的應用舉例
【學習目標】
1.會用向量法解決實際問題，體會向量在解決實際問題中的作用.(數學抽象)
2.利用向量法解決與物理相關的實際問題.(數學運算)
3.會選擇適當的方法，建立以向量為主的數學模型，把物理問題轉化為數學問題.(數學建模)
【自主預習】
1.物理問題中有哪些量是向量
2.當力和位移的夾角為鈍角時，力所做的功是正功還是負功
3.向量的數量積與功有什么聯系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)功是力F與位移s的數量積. (　　)
(2)力的合成與分解體現了向量的加減法運算. (　　)
(3)當力和位移垂直時，力所做的功是0. (　　)
(4)人騎自行車的速度為v1，風速為v2，則逆風行駛的速度為v1+v2. (　　)
2.如果一架飛機向東飛行200 km，再向南飛行300 km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，那么(　　).
A.s>|a| B.s<|a|
C.s=|a| D.s與|a|不能比大小
3.當兩人提起重力大小為|G|的旅行包時，兩人用力方向的夾角為θ，用力大小都為|F|，若|F|=|G|，則θ的值為(　　).
A.30° B.60° C.90° D.120°
4.已知一個物體在大小為6 N的力F的作用下產生的位移s的大小為100 m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W=　　　　J.
【合作探究】
　向量在物理中的應用
這是小明的叔叔在拉單杠時的圖片.
問題1：小明的叔叔感覺兩臂的夾角越大，拉起來越費力，這是為什么
問題2：向量的運算、速度、加速度、位移有什么聯系
向量在物理中的應用
(1)物理問題中常見的向量有 等.
(2)向量的加、減法運算體現在 .
(3)動量mv是向量的 運算.
(4)功是 與 的數量積.
一、向量在力學中的應用
如圖，把一個物體放在傾斜角為30°的斜面上，物體受到三個力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的彈力F2，且處于平衡狀態.已知|G|=100 N，求F1，F2的大小.
【方法總結】(1)力、速度、位移的合成與分解，實質上就是向量的加、減法運算.(2)力做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，實質是力和位移兩個向量的數量積，即W=F·s=|F||s|cos θ(θ為F和s的夾角).
二、向量在運動學中的應用
帆船比賽是借助風帆推動船只在規定距離內競速的一項水上運動，已知一帆船所受的風力方向為北偏東30°，速度大小為20 km/h，此時水的流向是正東方向，流速大小為20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度大小與方向.
【方法總結】向量在物理學中的應用一般涉及力或速度的合成與分解，可以充分借助向量的平行四邊形法則把物理問題轉化為數學問題.
如圖，一物體受到兩個大小均為60 N的力的作用，兩力的夾角為60°，且有一力沿水平方向，求合力的大小及方向.
在風速大小為75(-)km/h的西風中，飛機以150 km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風時飛機的航速大小和航向.
　用向量法解決物理做功問題
質量m=2.0 kg的木塊，在平行于斜面向上的大小為10 N的拉力F的作用下，沿傾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距離.(g=9.8 N/kg)
(1)分別求物體所受各力對物體所做的功.
(2)在這個過程中，物體所受各力對物體做功的代數和是多少
【方法總結】物理上的功實質上就是力與位移兩矢量的數量積，借助向量法可快速解決問題.
已知力F1=(3，4)，F2=(6，-5)作用于同一質點，使之由點A(20，15)移動到點B(7，0).求：
(1)力F1，F2分別對質點所做的功(單位：J)；
(2)力F1，F2的合力F對質點所做的功(單位：J).
【隨堂檢測】
1.已知兩個力F1，F2的夾角為90°，它們的合力大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為(　　).
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
2.一只鷹正從與水平方向成30°角的方向向下直撲獵物，太陽光直射地面，鷹在地面上的影子的速度大小為60 m/s，則鷹的飛行速度大小為(　　).
A.20 m/s B.40 m/s
C.60 m/s D.30 m/s
3.已知三個力F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(7，-3)同時作用于某物體上一點，為使該物體保持平衡，再加上一個力F4，則F4等于(　　).
A.(-2，-2) B.(2，-2)
C.(-1，2) D.(-2，2)
4.一條河寬為0.8 km，一條船從A處出發垂直航行到達河正對岸的B處，船速的大小為20 km/h，水流速度的大小為12 km/h，則船到達B處所需的時間為　　　　min.
參考答案
課時6　平面向量在物理中的應用舉例
自主預習·悟新知
預學憶思
1.物理中有許多量是向量，比如力、速度、加速度、位移等.
2.負功.
3.物理上力做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移距離的乘積，它的實質是向量的數量積.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　【解析】s=200+300=500(km)，|a|==100(km)，∴s>|a|.故選A.
3.D　【解析】作=F1，=F2，=-G(圖略)，
則=+，
當|F1|=|F2|=|G|時，△OAC為正三角形，
所以∠AOC=60°，從而∠AOB=120°.
4.300　【解析】W=F·s=|F||s|cos=6×100×cos 60°=300(J).
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：如圖，可知|F|=|G|，|F|=|F1|cos |F1|=，故夾角越大越費力.
問題2：速度、加速度、位移的合成與分解，實質上是向量的加、減法運算，而運動的疊加也會用到向量的合成.
新知生成
(1)力、速度、加速度、位移　(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解　(3)數乘　(4)力F　物體所產生的位移s
新知運用
例1　【解析】以O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則F1=(-，0)，F2=(0，-).
由已知得G=(100sin 30°，100cos 30°)=(50，50)，
且G+F1+F2=0，所以(50，50)+(-|F1|，0)+(0，-|F2|)=(0，0)，
所以=50 N，=50 N.
例2　【解析】
建立如圖所示的平面直角坐標系，風的方向為北偏東30°，速度大小為|v1|=20 km/h，水流的方向為正東方向，速度大小為|v2|=20 km/h，
設帆船行駛的速度為v，
則v=v1+v2.
由題意，可得v1=(20cos 60°，20sin 60°)=(10，10)，v2=(20，0)，
則v=v1+v2=(10，10)+(20，0)=(30，10)，
所以帆船行駛的速度大小|v|==20(km/h).
因為tan α==(α為v和v2的夾角，且為銳角)，
所以α=30°.
所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度大小為20 km/h.
鞏固訓練1　【解析】以，為鄰邊作平行四邊形OACB(圖略)，則為合力.由已知可得△OAC為等腰三角形，且∠COA=30°，過點A作AD⊥OC于點D(圖略)，則在Rt△OAD中，||=||cos 30°=60×=30，故||=2||=60，即合力的大小為60 N，方向與水平方向成30°角.
鞏固訓練2　【解析】設
w表示風速，va表示有風時飛機的航行速度，vb表示無風時飛機的航行速度，則vb=va-w，如圖所示.
設||=|va|，||=|w|，||=|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于點D，BE⊥AD于點E，則∠BAD=45°，設||=150，||=75(-)，
∴||=||=||=75，||=75，
從而|vb|=||=150，∠CAD=30°.
故沒有風時飛機的航速大小為150 km/h，方向為北偏西60°.
探究2
例3　【解析】
(1)木塊受三個力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如圖所示.
拉力F與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為WF=F·s=|F||s|cos 0°=20(J).
支持力N與位移方向垂直，不做功，
所以WN=N·s=0.
重力G對物體所做的功為WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=-19.6(J).
(2)物體所受各力對物體做功的代數和W=WF+WN+WG=0.4(J).
鞏固訓練　【解析】(1)=(7，0)-(20，15)=(-13，-15)，
W1=F1·=(3，4)·(-13，-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J)，
W2=F2·=(6，-5)·(-13，-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J)，
∴力F1，F2對質點所做的功分別為-99 J和-3 J.
(2)W=F·=(F1+F2)·=[(3，4)+(6，-5)]·(-13，-15)=(9，-1)·(-13，-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J)，
∴合力F對質點所做的功為-102 J.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】由題意得|F1|=10×cos 60°=5(N).
2.B　【解析】如
圖，=v1表示鷹在地面上的影子的速度，=v2表示鷹的飛行速度，
由題意知，||=|v1|=60 m/s，且∠CAB=30°，
所以||=|v2|==40(m/s).
3.D　【解析】因為F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(7，-3)，
所以F1+F2+F3=(-2，-1)+(-3，2)+(7，-3)=(2，-2)，要想使該物體保持平衡，
只需F4 =-(2，-2)=(-2，2)，故選D.
4.3　【解析】如圖，∵v實際=v船+v水=v1+v2，
|v1|=20 km/h，|v2|=12 km/h，
∴|v實際|===16(km/h).
∴所需時間t==0.05(h)=3(min).
∴該船到達B處所需的時間為3 min.

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