資源簡介

6.1　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
【學習目標】 1.通過實例,能歸納總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理.(數學抽象) 2.正確理解“完成一件事情”的含義,能根據具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.(數學抽象) 3.能利用兩個計數原理解決一些簡單的實際問題.(數學運算)
【自主預習】
1.計數問題是我們從小就經常遇到的,通過列舉一個一個的數是計數的基本方法,但當問題中涉及的數很多時,列舉這一方法的效率不高,能否設計巧妙的“計數法”來提高效率呢 是什么計數法
2.使用分類加法計數原理的關鍵是什么 有什么要求
3.使用分步乘法計數原理的關鍵是什么 有什么要求
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在分類加法計數原理中,兩類辦法中的某兩種方法可以相同. ( )
(2)在分類加法計數原理中,任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事. ( )
(3)在分步乘法計數原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的. ( )
(4)在分步乘法計數原理中,如果事情是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成. ( )
2.從甲地到乙地,一天中有5趟火車,12趟客車,3趟飛機航班,還有6趟輪船,某人某天要從甲地到乙地,則共有不同走法的種數是( ).
A.26 B.60 C.18 D.1 080
3.(原創)某公司安排員工進行教輔調研,從南昌到石家莊調研有3種走法,從石家莊到濟南有2種走法,若從南昌到達濟南必須經過石家莊,則從南昌到濟南的不同的走法種數為( ).
A.5 B.6 C.8 D.12
4.多項式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展開式共有 項.
【合作探究】
　分類加法計數原理
問題1:用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的一個座位編號,總共能編出多少種不同的號碼
問題2:在1,2,3,4四個數字中任取兩個及以上的數(不重復取)作和,則取出的這些數的不同的和有多少種
問題3:你能說說解決以上問題的步驟嗎
1.分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同的方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.
2.分類加法計數原理的推廣
完成一件事有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.
3.分類加法計數原理的推廣中“完成一件事有n類不同的方案”是指完成這件事的所有方法可以分為n類,即任何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事,這n類不同方案中的方法互不相同,且完成這件事的任何一種方法都在某一類方案中.
(1)算盤是中國古代的一項重要發明.現有一種算盤(如圖1),共兩檔,自右向左分別表示個位和十位,檔中橫以梁,梁上一枚算珠撥下,記作數字5,梁下有五枚算珠,上撥一枚算珠記作數字1(例如圖2中的算盤表示整數51).如果撥動圖1算盤中的三枚算珠,可以表示多少個不同的整數
圖1　 圖2
(2)從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數字中任取2個,其中一個作為底數,另一個作為真數,求可以得到不同對數值的數的個數.
【方法總結】分類計數原理的解題思路:(1)根據題目特點恰當選擇分類標準;(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法,不能重復;(3)分類時除了不能交叉重復外,還不能有遺漏.
設橢圓+=1(a>0,b>0)的焦點在y軸上,其中a∈,b∈,求滿足上述條件的橢圓的個數.
　分步乘法計數原理
如圖,小明從街道的E處出發,先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動.
問題1:小明從E處到F處的最短路徑有多少條
問題2:小明到老年公寓可以選擇的最短路徑有多少條
1.分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.
2.分步乘法計數原理的推廣
完成一件事需要分成n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
從-2,-1,0,1,2,3這6個數字中任選3個不重復的數字作為二次函數y=ax2+bx+c的系數a,b,c,則可以組成的拋物線的條數為多少
【變式探究1】本例中若要求二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向下,則可以組成多少條不同的拋物線
【變式探究2】若從本例的6個數字中選2個作為橢圓+=1的參數m,n,則可以組成橢圓的個數是多少
【方法總結】利用分步乘法計數原理解題的一般思路 (1)將完成這件事的過程分成若干步; (2)求出每一步中的方法數; (3)將每一步中的方法數相乘得最終結果.
已知有兩個口袋,一個口袋里有5封信,另一個口袋里有4封信,各封信內容均不相同.
(1)從兩個口袋里各取1封信,有多少種不同的取法
(2)把這兩個口袋里的9封信分別投入4個郵筒,有多少種不同的投法
　兩個計數原理的應用
問題:如何區分“完成一件事”需要分類還是分步
兩個計數原理的區別與聯系
分類加法計數原理 分步乘法計數原理
相同點 回答的都是有關完成一件事的不同方法種數的問題
不同點 針對的是“分類”問題,各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以完成這件事 針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法互相依存,只有每一個步驟都完成才算完成這件事
通常,我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字母表示的發牌機關代號,第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號,如圖所示.其中,序號的編碼規則為:
(1)由10個阿拉伯數字和除O,I之外的24個英文字母組成;
(2)最多只能有2個英文字母.
如果某地級市發牌機關采用5位序號編碼,那么這個發牌機關最多能發放多少張汽車號牌
已知某種新產品的編號由1個英文字母和1個數字組合而成,且英文字母在前.其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F這6個字母中的1個,數字可以是1,2,…,9這9個數字中的1個,那么共有多少種不同的編號
參考答案
6.1　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
自主預習·悟新知
預學憶思
1.能,是分類計數法和分步計數法.
2.使用分類加法計數原理的關鍵是分類必須明確標準,要求每一種方法必須屬于某一類方法,不同類的任意兩種方法是不同的方法.要求是分類要做到“不重復”“不遺漏”.
3.使用分步乘法計數原理的關鍵是明確題目中所指的“做一件事”是什么事,單獨用題中所給的某種方法是不是能完成這件事,是不是要經過幾個步驟才能完成這件事.要求是各步驟之間必須連續,只有按照這幾步逐步去做,才能完成這件事,不能重復也不能遺漏各步驟.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　【解析】根據分類加法計數原理,有5+12+3+6=26種不同走法.
3.B　【解析】根據分步乘法計數原理,從南昌到濟南的不同的走法種數為3×2=6.故選B.
4.10　【解析】多項式的展開式共有3×2+2×2=10(項).
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:因為英文字母共有26個,阿拉伯數字共有10個,所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.
問題2:第一類,取兩個數,則1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5(舍去),2+4=6,3+4=7,共5種.
第二類,取三個數,則1+2+3=6(舍去),1+2+4=7(舍去),1+3+4=8,2+3+4=9,共2種.
第三類,取四個數,則1+2+3+4=10,共1種.
故取出這些數得到的不同的和有5+2+1=8(種).
問題3:解決以上問題的步驟如下:
(1)求完成一件事的所有方法數,這些方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不相交;
(2)求每一類中的方法數;
(3)把各類的方法數相加,就可以得到完成這件事的所有方法數.
新知運用
例1　【解析】(1)由題意知,撥動三枚算珠,有4種撥法:
①個位撥動三枚算珠,有2種結果:3,7.
②十位撥動一枚算珠,個位撥動兩枚算珠,有4種結果:12,16,52,56.
③十位撥動兩枚算珠,個位撥動一枚算珠,有4種結果:21,25,61,65.
④十位撥動三枚算珠,有2種結果:30,70.
綜上,撥動題圖1算盤中的三枚算珠,可以表示2+4+4+2=12個不同的整數.
(2)當取出的2個數中含1時,由于1只能作為真數,則以1為真數,從其余各數中任取一數為底數,對數值均為0.當取出的2個數中不含1時,則取出的兩數分別作為對數的底數和真數,共能組成8×7=56個對數式,其中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重復了4次,所以得到不同對數值的數的個數為1+56-4=53.
鞏固訓練　【解析】因為橢圓的焦點在y軸上,所以b>a,
則當a=1時,b可取2,3,4,5,6,7,有6種取法;
當a=2時,b可取3,4,5,6,7,有5種取法;
當a=3時,b可取4,5,6,7,有4種取法;
當a=4時,b可取5,6,7,有3種取法;
當a=5時,b可取6,7,有2種取法.
由分類加法計數原理知,共有6+5+4+3+2=20個滿足條件的橢圓.
探究2　情境設置
問題1:由題意可知,E→F共有6條最短路徑.
問題2:由題意可知,E→F共有6種走法,F→G共有3種走法,由分步乘法計數原理知,共有6×3=18條可以選擇的最短路徑.
新知運用
例2　【解析】由題意知a不能為0,故系數a有5種選法,系數b也有5種選法,系數c有4種選法.
根據分步乘法計數原理,可以組成的拋物線的條數為5×5×4=100.
變式探究1　【解析】可以分三個步驟來解決這個問題:第一步,確定a,有2種選法;第二步,確定b,有5種選法;第三步,確定c,有4種選法.
根據分步乘法計數原理,可組成2×5×4=40條不同的拋物線.
變式探究2　【解析】由條件知,m>0,n>0,且m≠n,故需分兩步完成:第一步,確定m,有3種方法;第二步,確定n,有2種方法.根據分步乘法計數原理,可以組成的橢圓的個數為3×2=6.
鞏固訓練　【解析】(1)由分步乘法計數原理,可得共有5×4=20種不同的取法.
(2)若從每封信投入的郵筒考慮,則第一封信投入的郵筒有4種可能,第二封信投入的郵筒有4種可能……第九封信投入的郵筒也有4種可能,所以共有49種不同的投法.
探究3　情境設置
問題:區分“完成一件事”需要分類還是分步,關鍵是看能否一步完成這件事,若能完成,則是分類,否則,是分步.
新知運用
例3　【解析】由號牌編號的組成可知,這個發牌機關所能發放的最多號牌數就是序號的個數.根據序號編碼規則,5位序號可以分為三類:沒有字母,有1個字母,有2個字母.
(1)當沒有字母時,序號的每一位都是數字.確定一個序號可以分5個步驟,每一步都可以從10個數字中選1個,各有10種選法.根據分步乘法計數原理,這類號牌的張數為10×10×10×10×10=100 000.
(2)當有1個字母時,這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,這類序號可以分為五個子類.
當第1位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數字:第1步,從24個字母中選1個放在第1位,有24種選法;第2~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置,各有10種選法.根據分步乘法計數原理,號牌的張數為24×10×10×10×10=240 000.
同理,其余四個子類號牌也各有240 000張.
根據分類加法計數原理,這類號牌的張數為240 000+240 000+240 000+240 000+240 000=1 200 000.
(3)當有2個字母時,根據這2個字母在序號中的位置,可以將這類序號分為十個子類:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.
當第1位和第2位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數字:第1,2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位,各有24種選法;第3~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置,各有10種選法.根據分步乘法計數原理,號牌的張數為24×24×10×10×10=576 000.同理,其余九個子類號牌也各有576 000張.
于是,這類號牌的張數為576 000×10=5 760 000.
綜合(1)(2)(3),根據分類加法計數原理知,這個發牌機關最多能發放的汽車號牌的張數為100 000+1 200 000+5 760 000=7 060 000.
鞏固訓練　【解析】根據題意,分兩步完成:
第1步,從6個英文字母中選1個,有6種方法;
第2步,從9個數字中選1個,有9種方法.
根據分步乘法計數原理,不同取法的種數為6×9=54,
所以共有54種不同的編號.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】分兩類情況討論:第1類,直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面;第2類,直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.根據分類加法計數原理,共可以確定8+5=13個不同的平面.
2.C　【解析】每名志愿者都有2種不同的選擇方法,根據分步乘法計數原理,不同的選擇方法共有23=8(種).
3.12　【解析】由題意可得,
①若甲部門要2名電腦編程人員,則有3種情況,2名英語翻譯人員的分配方法有2種.根據分步乘法計數原理,不同的分配方案共有3×2=6(種).
②若甲部門要1名電腦編程人員,則有3種情況,2名英語翻譯人員的分配方法有2種.根據分步乘法計數原理,不同的分配方案共有3×2=6(種).
由分類加法計數原理可得,不同的分配方案共有6+6=12(種).
【隨堂檢測】
1.已知兩條異面直線a,b,利用a上的5個點,b上的8個點,共13個點,可以確定不同的平面個數為( ).　　　　　　　　　　　　　
A.40 B.16 C.13 D.10
2.有3名大學生志愿者,每人從2個不同的社區中選擇1個進行服務,則不同的選擇方法共有( ).
A.12種 B.9種 C.8種 D.6種
3.某公司招聘了5名員工,分給下屬的甲、乙兩個部門,其中2名英語翻譯人員不能都分給同一部門,另外3名電腦編程人員不能都分給同一部門,則不同的分配方案種數是 .

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